古典力学 · 第1回 · 動画3 · インタラクティブ教材

光子いくつで一キログラム？金属の円柱が「数」に置き換わった日

I重要な公式

公式 名称 意味
E=mc2E = mc^2 質量とエネルギーの等価性 質量に閉じ込められたエネルギー
E=hfE = hf プランクの関係式 振動数 ff の光子1個のエネルギー
m=hfc2m = \dfrac{hf}{c^2} 光子の有効質量 光子1個の「重さ」
N=1m=c2hfN = \dfrac{1}{m} = \dfrac{c^2}{hf} 光子の個数 1 kg になる光子の個数

定数：h=6.62607015×10−34 J⋅sh = 6.62607015\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s},  c=2.99792458×108 m/s\ c = 2.99792458\times10^{8}\ \text{m/s},  ΔνCs=9 192 631 770 Hz\ \Delta\nu_{Cs} = 9\,192\,631\,770\ \text{Hz}

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 光子1個の有効質量

光子の静止質量はゼロですが、m=hf/c2m = hf/c^2 によって、振動数に比例して大きくなる有効質量を割り当てることができます。

可視化2 — 何個の光子で1キログラムになるか

計算する前に個数を予想してみましょう。N=c2/(hf)N = c^2/(hf) は、1キログラムを1つの途方もない数に変えます。

可視化3 — スペクトル全体で見る質量と個数

電波からX線まで、光子の有効質量は11桁にわたって変わり、1キログラムあたりの個数はその逆向きに変わります。

💡 どの光子を選んでも、固定された定数 hh と cc、それに測定した振動数から、いつもまったく同じキログラムが組み立て直されます。

III確認クイズ

問1

E=mc2E = mc^2 と E=hfE = hf から出発すると、振動数 ff の光子1個の有効質量を表す式はどれですか。

✅ 正解です！mc2=hfmc^2 = hf とおくと m=hf/c2m = hf/c^2 が得られます。

❌ 惜しい！mc2=hfmc^2 = hf から出発して、両辺を c2c^2 で割ります。

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解答：

2つのエネルギーの式を等しいとおきます： mc2=hfmc^2 = hf

有効質量について解くと： m=hfc2m = \frac{hf}{c^2}

これが、プランクの関係式と、質量とエネルギーの等価性をつなぐ橋です。

問2

正しいか誤りか：光子に有効質量 m=hf/c2m = hf/c^2 を割り当てられるということは、光子が実際には0でない静止質量をもつことの証明である。

✅ 正解です！光子の静止質量はゼロです。有効質量は、エネルギーの等価性を借りた橋渡しにすぎません。

❌ 惜しい！有効質量は静止質量ではなく、エネルギーから来ています。光子の静止質量はゼロのままです。

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解答：

光子の静止質量は厳密にゼロです。量 m=hf/c2m = hf/c^2 は有効質量で、光子のエネルギーを E=mc2E = mc^2 によって質量に換算したものです。これは測定の橋渡しであって、光に重さがあると主張しているわけではありません。したがって、この記述は誤りです。

問3

セシウムの振動数をもつ光子1個の有効質量は、およそ 6.78×10−416.78\times10^{-41} kg です。このような光子がおよそ何個集まると1キログラムになりますか。

✅ 正解です！N=1/m≈1.48×1040N = 1/m \approx 1.48\times10^{40} 個です。

❌ 惜しい！光子の個数を求めるには、光子1個の質量の逆数をとります：N=1/mN = 1/m。

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解答：

光子の個数は、光子1個の質量の逆数です： N=1m=16.78×10−41 kg≈1.48×1040N = \frac{1}{m} = \frac{1}{6.78\times10^{-41}\ \text{kg}} \approx 1.48\times10^{40}

したがって、およそ 1.48×10401.48\times10^{40} 個のセシウムの光子で1キログラムになります。

問4

2018年の再定義以降、SI でキログラムを定義しているのは何ですか。

✅ 正解です！キログラムはいま、hh の固定された値によって定義されています。

❌ 惜しい！昔の円柱は2018年に役目を終えました。キログラムはいま、プランク定数に基づいています。

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解答：

2018年11月16日、キログラムはプランク定数を固定することで再定義されました。その厳密な値は次のとおりです。 h=6.62607015×10−34 J⋅s.h = 6.62607015\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}.

1 J⋅s=1 kg⋅m2⋅s−11\ \text{J}\cdot\text{s} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1} であり、メートル（cc による）と秒（ΔνCs\Delta\nu_{Cs} による）はすでに固定されているので、hh を固定すればキログラムが確定します。物理的な人工物（原器）はどこにも必要ありません。火星の研究所でも、同じ定数からキログラムを組み立て直すことができます。

正解数：0 / 4