古典力学 · 第1回 · 動画5 · インタラクティブ教材

天文学者はなぜ曲線を直線とみなせるのか：ラジアンと小角近似

I重要な公式

公式 名称 説明
θ=sr\theta = \dfrac{s}{r} ラジアンの定義 弧の長さ ÷ 半径（単なる比）
360∘=2π rad360^\circ = 2\pi \text{ rad} 換算 一周；1 rad≈57.3∘1\text{ rad} \approx 57.3^\circ
sin⁡θ≈θ≈tan⁡θ\sin\theta \approx \theta \approx \tan\theta 小角近似 ラジアンで測った小さな θ\theta で成り立つ
Ω=Ar2\Omega = \dfrac{A}{r^2} ステラジアンの定義 立体角：面積 ÷ 半径の2乗（球全体 =4π= 4\pi sr）

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — ラジアンとは何か

1 rad は弧の長さが半径に等しくなる角度で、そのため θ=s/r\theta = s/r は単なる数になります。

💡 比 s/rs/r はどの円でも同じなので、半径にかかわらず一周は 2π2\pi rad です。

可視化2 — sin θ ≈ θ ≈ tan θ となるのはいつか

0 の近くでは3本の曲線が 45∘45^\circ の直線 y=θy=\theta に重なります。プローブで、それらがどれだけ速く扇のように広がるかを読み取ります。

💡 領域の端 0.20.2 rad は約 11.5∘11.5^\circ です。それを超えると、直線による近似は目に見えて崩れます。

可視化3 — ごく小さな角度、とてつもない距離

底辺を固定すると、距離は d=底辺/θd = \text{底辺}/\theta によって角度と結びつきます。角度が小さいほど、星は遠くにあります。

💡 11 AU の底辺が 1′′1'' に見える距離がパーセクの定義です：1 pc≈2.06×1051\text{ pc} \approx 2.06\times10^{5} AU ≈3.26\approx 3.26 光年。

III確認クイズ

問1

半径 r=1.5r = 1.5 m の円周上に、長さ s=3s = 3 m の弧を描きます。この弧に対する中心角は何ラジアンですか？

✅ 正解です！θ = s/r = 3/1.5 = 2 rad.

❌ 惜しい！θ = s/r を使いましょう。弧の長さを半径で割ります。

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解答：

ラジアンは弧の長さ ÷ 半径として定義されます。 θ=sr=31.5=2 rad.\theta = \frac{s}{r} = \frac{3}{1.5} = 2 \text{ rad}.

結果は単なる比（長さ ÷ 長さ）なので、無次元です。

問2

ある学生が sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta と書き、およそ 0.10.1 になると期待して θ=0.1\theta = 0.1 度を代入しました。この小角近似の使い方は正しいですか？

✅ 正解です！この近似には θ をラジアンで測ることが必要です。度には恣意的な換算係数が入り込みます。

❌ 惜しい！sin(0.1°) ≈ 0.0017 で、0.1 ではありません。度ではこの規則は成り立ちません。

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解答：

近似 sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta が成り立つのはラジアンのときだけです。ラジアンは恣意的な換算係数を含まない、次元をもたない比だからです。

度では sin⁡(0.1∘)≈0.0017\sin(0.1^\circ) \approx 0.0017 で、0.10.1 には遠く及びません。この近似を使うには、まず換算しなければなりません。0.1∘=1.75×10−30.1^\circ = 1.75\times10^{-3} rad で、確かに sin⁡(1.75×10−3)≈1.75×10−3\sin(1.75\times10^{-3}) \approx 1.75\times10^{-3} となります。

問3

遠くの星から見ると、11 AU の底辺が 22 秒角に見えます。1′′=4.85×10−61'' = 4.85\times10^{-6} rad と小角の関係式 d=底辺/θd = \text{底辺}/\theta を使うと、この星までの距離はおよそ何 AU ですか？

✅ 正解です！d = 1 AU / (9.7×10⁻⁶) ≈ 1.0×10⁵ AU.

❌ 惜しい！まず 2″ をラジアンに換算し、それから底辺を θ で割りましょう。

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解答：

角度を換算します：θ=2′′=2×4.85×10−6=9.7×10−6\theta = 2'' = 2 \times 4.85\times10^{-6} = 9.7\times10^{-6} rad。

d=底辺/θd = \text{底辺}/\theta を当てはめます。 d=1 AU9.7×10−6≈1.0×105 AU.d = \frac{1 \text{ AU}}{9.7\times10^{-6}} \approx 1.0\times10^{5} \text{ AU}.

1′′1'' の角度なら 2.06×1052.06\times10^{5} AU（1パーセク）です。角度を2倍にすると、距離は半分になります。

問4

ラジアンは弧 ÷ 半径として定義される二次元の角度で、円全体は 2π2\pi rad です。その三次元版であるステラジアンは、Ω=A/r2\Omega = A/r^2 として定義される立体角です。球全体の立体角は何ステラジアンですか？

✅ 正解です！Ω = 4πr²/r² = 4π sr.

❌ 惜しい！球の表面積 4πr² を r² で割り、半径を打ち消しましょう。

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解答：

立体角は Ω=A/r2\Omega = A/r^2 です。球の表面積は A=4πr2A = 4\pi r^2 なので、 Ωsphere=4πr2r2=4π sr.\Omega_{\text{sphere}} = \frac{4\pi r^2}{r^2} = 4\pi \text{ sr}.

ラジアンのときと同じように、半径は打ち消し合います。円全体 =2π= 2\pi rad、球全体 =4π= 4\pi sr という対応に注目しましょう。4πr24\pi r^2 という答えは誤りです。立体角は無次元なので、r2r^2 は打ち消されなければなりません。

正解数：0 / 4