古典力学 · 第1回 · 動画7 · インタラクティブ教材

単位だけで物理法則がわかる：次元解析で振り子の周期とプランク長を導く

I重要な公式

公式 名称 説明
[L], [M], [T][L],\ [M],\ [T] 3つの基本的な次元 長さ、質量、時間
T=2πlgT = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} 振り子の周期 質量にも振幅にもよらない
ℓp=Gℏc3\ell_p = \sqrt{\dfrac{G\hbar}{c^3}} プランク長 ≈1.6×10−35 m\approx 1.6\times10^{-35}\,\text{m}
α=e22ε0ch\alpha = \dfrac{e^2}{2\varepsilon_0 c h} 微細構造定数 無次元、≈1/137\approx 1/137
Ry=12mec2α2R_y = \tfrac{1}{2} m_e c^2 \alpha^2 リュードベリエネルギー ≈13.6 eV\approx 13.6\,\text{eV}（水素を束縛するエネルギー）

すべての原動力になるルール：物理の式では、両辺の次元が必ず一致していなければなりません。

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 振り子の周期

次元解析によって式の形は T∝l/gT \propto \sqrt{l/g} に決まり、質量はまったく入れなくなります。

💡 [M][M] はほかのどの候補の量にも現れないので、打ち消す相手がいません。次元の整合性によって、質量は周期から完全に締め出されます。

可視化2 — 宇宙のスケール

cc、ℏ\hbar、GG を次元解析にかけると、プランク長 ℓp=Gℏ/c3≈1.6×10−35 m\ell_p = \sqrt{G\hbar/c^3} \approx 1.6\times10^{-35}\,\text{m} が得られます。

💡 プランク長を決める実験はありません。純粋に定数だけから組み立てられた長さであり、そのようなスケールを名指しできる道具は次元解析しかありません。

可視化3 — 微細構造定数が原子の大きさを決める

無次元の α≈1/137\alpha \approx 1/137 が、Ry=12mec2α2R_y = \tfrac{1}{2} m_e c^2 \alpha^2 を通して水素の束縛エネルギーを決めます。

III確認クイズ

問1

長さが同じで、おもりの質量だけが違う（一方は軽く、もう一方は重い）2つの振り子があります。次元解析によると、2つの周期はどう比べられるでしょうか。

正しいか誤りか：重いおもりの振り子のほうが周期が長い。

✅ 正解です！質量にはその次元を打ち消す相手となる量がないので、式に入ることができません。2つの周期は等しくなります。

❌ 惜しい！周期 T=2πl/gT = 2\pi\sqrt{l/g} には質量がまったく含まれません。2つのおもりはまったく同じように振れます。

解答を見る

解答：

候補となる量は l [L]l\,[L]、m [M]m\,[M]、g [LT−2]g\,[LT^{-2}]、そして θ0\theta_0（無次元）です。次元 [M][M] は質量にしか現れず、 打ち消してくれるほかの量がありません。式の次元が整合するためには、質量はまったく入れないのです。

T=2πlgT = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

周期は質量にまったくよらないので、2つの振り子は同じ周期で振れます。したがって、この主張は誤りです。

問2

g=9.8 m/s2g = 9.8\,\text{m/s}^2 の地球上に、長さ l=1 ml = 1\,\text{m} の振り子があります。 T=2πl/gT = 2\pi\sqrt{l/g} を使うと、周期はいくらでしょうか（小数第1位まで）。

✅ 正解です！2π1/9.8≈2.02\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.0 s です。

❌ 惜しい！1/9.8≈0.32\sqrt{1/9.8} \approx 0.32 を計算してから、2π2\pi をかけましょう。

解答を見る

解答：

T=2πlg=2π19.8=2π×0.3197≈2.0 sT = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9.8}} = 2\pi \times 0.3197 \approx 2.0\,\text{s}

長さ 1 m の振り子の周期はおよそ 2 秒という、よく知られた結果と一致します。（6.3 s を選んだ場合はルートを忘れて 2π2\pi だけをとっています。 0.3 s は 2π2\pi の係数を除いた l/g\sqrt{l/g} です。）

問3

c [LT−1]c\,[LT^{-1}]、ℏ [ML2T−1]\hbar\,[ML^2T^{-1}]、 G [L3M−1T−2]G\,[L^3M^{-1}T^{-2}] からプランク長を作ります。ℓp=ca1ℏa2Ga3\ell_p = c^{a_1}\hbar^{a_2}G^{a_3} と書き、 結果の次元が [L][L] になることを要求します。

質量の次元を合わせると、方程式が1つ得られます。それはどれでしょうか。

✅ 正解です！ℏ\hbar は M+1M^{+1}、GG は M−1M^{-1} を与えるので、a2−a3=0a_2 - a_3 = 0 です。

❌ 惜しい！質量をもつのは ℏ (M+1)\hbar\,(M^{+1}) と G (M−1)G\,(M^{-1}) だけです。その指数の合計を 0 とおくと方程式が得られます。

解答を見る

解答：

質量の次元をもつのは ℏ\hbar と GG だけです。 ℏ\hbar は M+1M^{+1}、GG は M−1M^{-1} をもちます（cc は M0M^0）。したがって MM の指数の合計は a2−a3a_2 - a_3 です。プランク長は純粋な [L][L] なので、質量をまったく含みません。

a2−a3=0a_2 - a_3 = 0

時間と長さの方程式と組み合わせると a2=a3=12a_2 = a_3 = \tfrac{1}{2}、a1=−32a_1 = -\tfrac{3}{2} となり、 ℓp=Gℏ/c3\ell_p = \sqrt{G\hbar/c^3} が得られます。

問4

微細構造定数 α≈1/137\alpha \approx 1/137 が、プランク長 ℓp≈1.6×10−35 m\ell_p \approx 1.6\times10^{-35}\,\text{m} よりも「普遍的な」自然の指紋だと考えられるのはなぜでしょうか。

✅ 正解です！α は無次元なので、どの単位系でも同じ値をとります。人間の選び方には左右されません。

❌ 惜しい！鍵は、α が次元をもたないことです。長さと違って、単位を変えても値は変わりません。

解答を見る

解答：

1.6×10−35 m1.6\times10^{-35}\,\text{m} のような長さは、フィートやマイルで測れば別の数になります。 その値は人間が選んだ単位に左右されるのです。しかし α=e2/(2ε0ch)\alpha = e^2/(2\varepsilon_0 c h) は無次元です。単位はすべて打ち消し合うので、 SI単位でも、CGS単位でも、自然単位系でも、どんな異星の文明にとっても α≈1/137\alpha \approx 1/137 です。 人間が選んだものに何も左右されないからこそ、これは本物の、普遍的な自然の指紋なのです。

正解数：0 / 4