古典力学 · 第10回 · 動画2 · インタラクティブ教材

オリーブ油の中のビー玉：ストークスの法則と終端速度

I重要な公式

公式	名称	考え方
$mg - 6\pi\eta R\,v = m\dfrac{dv}{dt}$	運動方程式	重力とストークスの抗力
$v(t) = \dfrac{g}{\gamma}\left(1 - e^{-\gamma t}\right),\quad \gamma = \dfrac{6\pi\eta R}{m}$	速度	上限に向かって増える
$v_\infty = \dfrac{mg}{6\pi\eta R} = \dfrac{2\rho R^2 g}{9\eta}$	終端速度	$R^2$ に比例して大きくなる
$y(t) = \dfrac{g}{\gamma}\,t + \dfrac{g}{\gamma^2}\left(e^{-\gamma t} - 1\right)$	位置	$v(t)$ の積分

ポイント： 終端速度とは、抗力がちょうど重力を打ち消す、ただ1つの速さです： $6\pi\eta R\,v_\infty = mg$ 。

II終端速度への接近

抗力は速さとともに大きくなり、やがて重力とつり合います。こうしてビー玉は、一定の速度に落ち着きます。

t 0.00 s

III大きいビー玉ほど速く落ちる

終端速度は半径の2乗に比例します： $v_\infty = \dfrac{2\rho R^2 g}{9\eta}$ 。

半径 R 5.0 mm

💡 $R^2$ の法則は、材質の密度 $\rho$ が一定のときに成り立ちます。 $v_\infty \propto \rho$ なので、同じ半径でも密度の大きいビー玉のほうが速く落ちます。

IV位置：一定速度の落下と自由落下

ビー玉は実際にどこまで落ち、抗力はそれをどれだけ引きとめるのでしょうか？

予想 y(2 s) 6.0 m

V確認クイズ

問1 · 公式から終端速度を求める

条件： $m = 4.08\times10^{-3}\ \text{kg}$ 、 $R = 5.00\times10^{-3}\ \text{m}$ の鋼のビー玉が、粘度 $\eta = 8.10\times10^{-2}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}$ の油の中にあります（ $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ）。終端速度 $v_\infty$ を求めてください。

✅ 正解です！ 終端速度では抗力が重力とつり合います：

6\pi\eta R\,v_\infty = mg

。したがって

v_\infty = mg/(6\pi\eta R) = 5.24

m/s です。

❌ 惜しい！ R を確かめてください。 それは直径を使った値です。ストークスの法則に入るのは半径なので、分母は

6\pi\eta(2R)

ではなく

6\pi\eta R

です。

❌ 惜しい！ ストークスの抗力の係数は

3\pi\eta R

ではなく

6\pi\eta R

です。2倍ずれています。

❌ 惜しい！

mg = 0.0400

N と

6\pi\eta R = 7.63\times10^{-3}

kg/s を使って、

v_\infty = mg/(6\pi\eta R)

を計算してください。

解答を見る

抗力を重力に等しいとおいても、 $v(t)$ で $t\to\infty$ としても、結果は同じです：

v_\infty = \frac{mg}{6\pi\eta R} = \frac{(4.08\times10^{-3})(9.8)}{6\pi(8.10\times10^{-2})(5.00\times10^{-3})} = \frac{0.0400}{7.63\times10^{-3}} = 5.24\ \text{m/s}

問2 · 半径を2倍にする

条件： 同じ材質で半径が2倍の、2つめのビー玉があります。その終端速度は何倍になりますか？

✅ 正解です！ 密度が一定なら

v_\infty = \dfrac{2\rho R^2 g}{9\eta} \propto R^2

なので、

R

を2倍にすると速さは

2^2 = 4

倍になります。

❌ それは比例のスケーリングです。 半径は2乗で入ります：

v_\infty \propto R^2

。したがって倍率は

2

ではなく

2^2 = 4

です。

❌ 惜しい！ 質量は

R^3

で増えますが、

v_\infty = mg/(6\pi\eta R)

ではさらに

R

で割るので、

v_\infty \propto R^2

が残ります。

❌ 惜しい！ 終端速度は半径に

R^2

の形で依存します。大きいビー玉ほど速く落ちます。

解答を見る

質量を密度で表します： $m = \tfrac{4}{3}\pi\rho R^3$ 。これを $v_\infty = mg/(6\pi\eta R)$ に代入すると、 $\pi$ と $R$ が1つ約分されます：

v_\infty = \frac{2\rho R^2 g}{9\eta} \propto R^2

したがって $R$ を2倍にすると、 $v_\infty$ は $2^2 = \mathbf{4}$ 倍になります。

問3 · 粘度を測る

条件： 問1のビー玉の時間を測ると、一定の速さ $v_\infty = 5.24\ \text{m/s}$ で落ちていました。油の粘度 $\eta$ を求めてください。

✅ 正解です！

v_\infty = mg/(6\pi\eta R)

を変形すると、

\eta = mg/(6\pi R\,v_\infty) = 8.1\times10^{-2}

kg·m⁻¹·s⁻¹ が得られます。

❌ 惜しい！ R を確かめてください。 それは直径

2R

を使った値です。半径を使ってください：

\eta = mg/(6\pi R\,v_\infty)

。

❌ 惜しい！ 係数は

3\pi

ではなく

6\pi

です。係数を半分にすると、

\eta

が2倍になってしまいます。

❌ 惜しい！

v_\infty = mg/(6\pi\eta R)

を粘度について解いて、

\eta = mg/(6\pi R\,v_\infty)

としてください。

解答を見る

終端速度の式を逆に解くと、粘度が直接求まります：

\eta = \frac{mg}{6\pi R\,v_\infty} = \frac{0.0400}{6\pi(5.00\times10^{-3})(5.24)} = \frac{0.0400}{0.494} = 8.1\times10^{-2}

単位は kg·m⁻¹·s⁻¹ です。落ちていくビー玉が、粘度計になるのです。

問4 · 一定の速さで落ちる距離

条件： ビー玉はすでに終端速度 $v_\infty = 5.24\ \text{m/s}$ で一定の速さで落ちています。この後の $2.0\ \text{s}$ の間に落ちる距離を求めてください。

✅ 正解です！ 終端速度では加速度がゼロなので、ビー玉は一定の速さで動きます：

d = v_\infty t = 5.24 \times 2.0 = 10.5

m。

❌ それは自由落下です。

\tfrac12 g t^2

は加速度

g

を仮定していますが、終端速度では

a = 0

です。ビー玉は一定の

v_\infty

で落ちるので、

d = v_\infty t

です。

❌ 惜しい！ 等速運動の距離は

v_\infty t^2

ではなく

v_\infty t

です。

t

が余分にかかることはありません。

❌ 惜しい！ 一定の速さで時間

t

動くと、距離は

d = v_\infty t = 5.24 \times 2.0

m です。

解答を見る

抗力が重力を打ち消すと合力はゼロなので、 $a = 0$ となり、運動は等速になります：

d = v_\infty\,t = (5.24)(2.0) = 10.5\ \text{m}

同じ $2.0$ s の自由落下なら $\tfrac12 g t^2 = 19.6$ m 進むので、抗力によって距離はほぼ半分になります。

正解数：0 / 4