古典力学 · 第10回 · 動画3 · インタラクティブ教材

速度の二乗に比例する抵抗：速さは指数関数ではなく逆数型で減衰する

I重要な公式

公式名称必要な量
mdvdt=−βv2m\dfrac{dv}{dt} = -\beta v^2運動方程式（二次抵抗）質量 mm、抗力定数 β\beta
β=12CDAρ\beta = \tfrac{1}{2} C_D A \rho抗力定数形 CDC_D、断面積 AA、密度 ρ\rho
v(t)=v01+t/τv(t) = \dfrac{v_0}{1 + t/\tau}速度（逆数型の減衰）初速 v0v_0、時定数 τ\tau
τ=mβv0\tau = \dfrac{m}{\beta v_0}時定数mm, β\beta, v0v_0

ポイント： 力の法則が減衰の法則を決めます。抗力の中の速度を2乗にすると、指数関数的減衰は、よりゆっくりで長く尾を引く 1/t1/t の逆数型の裾に変わります。

II時定数が時間のスケールを決める

時定数 τ=m/(βv0)\tau = m/(\beta v_0) には質量が入っています。重い物体では、減衰の形はどう変わるでしょうか？

III2つの指紋：逆数型と指数関数

はじめのうち、2つの減衰の法則はそっくりに見えます。裾の部分では、どこで分かれていくのでしょうか？

💡 t≫τt \gg \tau では、逆数型の法則は v≈v0 τtv \approx \dfrac{v_0\,\tau}{t} に近づき、1/t1/t のべき乗則の裾になります。一方、指数関数 v0e−t/τv_0 e^{-t/\tau} は、そのころにはもう消えてしまうほど小さくなっています。

IV裾の奥の速さを予想する

計算する前に考えてみましょう。裾にあたる t=3τ=6t = 3\tau = 6 s では、速さはどれだけ残っているでしょうか？

V確認クイズ

問1 · 解に値を代入する

条件： 二次抵抗から v(t)=v01+t/τv(t) = \dfrac{v_0}{1 + t/\tau} が得られ、v0=20v_0 = 20 m/s、τ=2\tau = 2 s です。t=2t = 2 s での vv を求めてください。

✅ 正解です！ t=τt = \tau では分母が 1+1=21 + 1 = 2 なので、速さはちょうど v0v_0 の半分です。
❌ 減衰の法則が違います。 7.47.4 m/s は v0e−t/τv_0 e^{-t/\tau} で、指数関数（線形抵抗）の答えです。二次抵抗では 1/(1+t/τ)1/(1+t/\tau) の形で減衰します。
❌ 惜しい！ 丁寧に代入してください：1+t1 + t ではなく 1+t/τ=1+2/2=21 + t/\tau = 1 + 2/2 = 2 です。
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逆数型の解に t=2t = 2 s、τ=2\tau = 2 s を代入します：

v(2)=v01+t/τ=201+22=202=10 m/sv(2) = \frac{v_0}{1 + t/\tau} = \frac{20}{1 + \tfrac{2}{2}} = \frac{20}{2} = 10\ \text{m/s}

ちょうど時定数1つ分の時刻で、速さは v0/2v_0/2 まで下がっています。（指数関数なら 20 e−1≈7.420\,e^{-1} \approx 7.4 m/s となり、もっと急に落ち込みます。）

問2 · 質量は打ち消されるか？

条件： 2つの物体を、同じ v0v_0 で同じ流体（同じ β\beta）の中へ打ち出します。物体 A の質量は物体 B の2倍です。よりゆるやかに減速するのはどちらですか？

✅ 正解です！ τ∝m\tau \propto m なので τA=2τB\tau_A = 2\tau_B です。時定数が大きいほど v(t)=v0/(1+t/τ)v(t) = v_0/(1+t/\tau) は引き伸ばされ、減衰がゆるやかになります。
❌ 質量は打ち消されません。 m dvdt=−βv2m\,\dfrac{dv}{dt} = -\beta v^2 を mm で割ると dvdt=−βmv2\dfrac{dv}{dt} = -\dfrac{\beta}{m}v^2 となります。質量は減速の大きさを決め、τ=m/(βv0)\tau = m/(\beta v_0) の中に残ります。
❌ 惜しい！ 時定数を比べてください：τ=m/(βv0)\tau = m/(\beta v_0) は質量とともに大きくなり、τ\tau が大きいほど減衰はゆっくりになります。
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時定数は τ=mβv0\tau = \dfrac{m}{\beta v_0} です。v0v_0 と β\beta が一定なら、τ\tau は質量に比例します：

τAτB=mAmB=2\frac{\tau_A}{\tau_B} = \frac{m_A}{m_B} = 2

v(t)=v0/(1+t/τ)v(t) = v_0/(1 + t/\tau) は τ\tau が大きいほどゆっくり減衰するので、重いほうの物体 A がよりゆるやかに減速します。物理的には、同じ速さなら両者が受ける抗力は同じですが、A のほうが慣性が大きいので、減速されにくいのです。

問3 · 定数から時刻を求める

条件： m=4m = 4 kg、β=0.05\beta = 0.05 kg/m、v0=20v_0 = 20 m/s で、速さは v(t)=v0/(1+t/τ)v(t) = v_0/(1 + t/\tau) のように減衰します。τ\tau を求め、次に v=8v = 8 m/s となる時刻を求めてください。

時定数 τ\tau はいくらですか？

v=8v = 8 m/s となるのはいつですか？

✅ 正解です！ τ=4\tau = 4 s です。v(t)=8v(t) = 8 を逆に解くと t=τ ⁣(v0v−1)=4(2.5−1)=6t = \tau\!\left(\tfrac{v_0}{v} - 1\right) = 4(2.5 - 1) = 6 s となります。
❌ 時定数を確かめてください。 τ=mβv0\tau = \dfrac{m}{\beta v_0} です。3つすべての因子を残してください。β\beta だけで割ると 8080 s になり（v0v_0 が抜けています）、比を逆にすると 0.250.25 s になります。
❌ 時刻を確かめてください。 201+t/τ=8⇒1+t/τ=2.5\dfrac{20}{1 + t/\tau} = 8 \Rightarrow 1 + t/\tau = 2.5 を解きます。τ\tau を落とさないこと（t=τ⋅1.5t = \tau \cdot 1.5）、そして −1-1 を忘れないことです。
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ステップ1 — 時定数：

τ=mβv0=4(0.05)(20)=41=4 s\tau = \frac{m}{\beta v_0} = \frac{4}{(0.05)(20)} = \frac{4}{1} = 4\ \text{s}

ステップ2 — v=8v = 8 m/s となる時刻を求める：

201+t/τ=8  ⇒  1+t4=208=2.5  ⇒  t4=1.5  ⇒  t=6 s\frac{20}{1 + t/\tau} = 8 \;\Rightarrow\; 1 + \frac{t}{4} = \frac{20}{8} = 2.5 \;\Rightarrow\; \frac{t}{4} = 1.5 \;\Rightarrow\; t = 6\ \text{s}

（指数関数なら t=τln⁡2.5≈3.7t = \tau\ln 2.5 \approx 3.7 s で 88 m/s に達します。減衰が速いので、もっと早く到達するのです。）

問4 · 裾の形

条件： v(t)=v01+t/τv(t) = \dfrac{v_0}{1 + t/\tau} です。t≫τt \gg \tau の十分あとの時刻では、速さはどのように減っていきますか？

✅ 正解です！ t≫τt \gg \tau では 11 は無視できるので、v≈v0τ/tv \approx v_0\tau/t となります。1/t1/t のべき乗則、つまり長く尾を引く逆数型の裾です。
❌ それはもう一方の法則です。 e−t/τe^{-t/\tau} は線形抵抗の指紋です。二次抵抗から指数関数が出てくることはなく、その裾はずっとゆっくりした 1/t1/t です。
❌ 惜しい！ tt が大きいときは 1+t/τ1 + t/\tau の 11 を落とします：v≈v0τ/tv \approx v_0\tau/t は 1/t1/t で減衰します（1/t21/t^2 ではなく、またゼロに近づいていきます）。
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t≫τt \gg \tau では、定数項は t/τt/\tau に比べてごく小さくなります：

v(t)=v01+t/τ  → t≫τ   v0t/τ=v0 τt  ∝  1tv(t) = \frac{v_0}{1 + t/\tau} \;\xrightarrow{\,t \gg \tau\,}\; \frac{v_0}{t/\tau} = \frac{v_0\,\tau}{t} \;\propto\; \frac{1}{t}

速度は 1/t1/t のべき乗則で減衰します。ゼロに近づきますが、低速での線形抵抗の指数関数 e−t/τe^{-t/\tau} よりずっとゆっくりです。この長く続く 1/t1/t のふるまいが「逆数型の裾」です。

正解数：0 / 4