古典力学 · 第11回 · 動画1 · インタラクティブ教材

見えない綱：円運動のニュートンの第二法則

I重要な公式

公式名称何を決めるか
a⃗=−rθ˙2 r^+rθ¨ θ^\vec{a} = -r\dot{\theta}^2\,\hat{r} + r\ddot{\theta}\,\hat{\theta}極座標での加速度どんな円運動も、内向きの部分と軌道に沿う部分に分ける
Fr=−mrθ˙2F_r = -m r \dot{\theta}^2動径方向の運動方程式（r^\hat{r} 成分）物体が中心の方へどれだけ強く曲げられるか
Fθ=mrθ¨F_\theta = m r \ddot{\theta}接線方向の運動方程式（θ^\hat{\theta} 成分）円に沿った速さがどう変わるか
ar=−4π2RT2a_r = -\dfrac{4\pi^2 R}{T^2}周期 TT の等速な軌道ω=2π/T\omega = 2\pi/T から得られる向心加速度

ポイント： 速さが一定なら接線方向の項は消えますが（θ¨=0⇒Fθ=0\ddot{\theta} = 0 \Rightarrow F_\theta = 0）、動径方向の項は決して消えません。−rθ˙2 r^-r\dot{\theta}^2\,\hat{r} のマイナス符号は、円の上を動くものはいつまでも内向きに加速し続けていることを示しています。したがって、本物の内向きの力が存在しなければなりません。

II物体と一緒に動く座標軸

単位ベクトル r^\hat{r} と θ^\hat{\theta} は空間に固定されておらず、物体と一緒に向きを変えます。

III力のどの部分が残るか

内向きの部分はいつもあります。軌道に沿った力が現れるのは θ¨≠0\ddot{\theta} \neq 0 のときだけです。

IV月の軌道が要求するもの

周期と距離が一つずつあれば、月の内向きの加速度が決まります。

ステップ1 — 一周期で一回転

ω=θ˙=2πT\omega = \dot{\theta} = \frac{2\pi}{T}

💡 ニュートンの第二法則は、内向きの力が存在しなければならないことを証明し、その大きさを決めます。しかし、その正体までは教えてくれません。それに名前を与えるのが次のステップです。

V確認クイズ

問1 · 等速円運動

条件： ひもにつけた石を、半径 rr の円に沿って一定の速さで回します。Fr=−mrθ˙2F_r = -m r \dot{\theta}^2 と Fθ=mrθ¨F_\theta = m r \ddot{\theta} を使うと、正しい組み合わせはどれですか？

✅ 正解です！ 速さが一定なら θ˙\dot{\theta} は一定なので θ¨=0\ddot{\theta} = 0 となり、接線方向の力は消えます。合力はすべて内向きの向心力です。
❌ 逆です。 速さが一定で消えるのは動径方向ではなく接線方向の部分です。Fθ=mrθ¨=0F_\theta = m r \ddot{\theta} = 0 ですが、Fr=−mrθ˙2F_r = -m r \dot{\theta}^2 は残ります。
❌ 惜しい！ 速さが一定でも速度は一定ではありません。向きが変わり続けるので、内向きの加速度 −rθ˙2-r\dot{\theta}^2 は決して消えません。
❌ 成分が入れ替わっています。 r^\hat{r} には −mrθ˙2-m r \dot{\theta}^2、θ^\hat{\theta} には mrθ¨m r \ddot{\theta} が対応します。逆になることはありません。
❌ 惜しい！ 2つのスカラーの式に θ¨=0\ddot{\theta} = 0 を代入して、どちらが残るか確かめましょう。
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半径が一定で速さも一定なら、角速度は変わりません。

θ˙=constant  ⇒  θ¨=0\dot{\theta} = \text{constant} \;\Rightarrow\; \ddot{\theta} = 0

これを接線方向の運動方程式に入れます。

Fθ=mrθ¨=mr(0)=0F_\theta = m r \ddot{\theta} = m r (0) = 0

動径方向の運動方程式は影響を受けません。含まれているのは θ¨\ddot{\theta} ではなく θ˙2\dot{\theta}^2 だからです。

Fr=−mrθ˙2≠0F_r = -m r \dot{\theta}^2 \neq 0

したがって合力はすべて −r^-\hat{r} の向き、つまり中心をまっすぐ向いています。この残った内向きの力が向心力です。

問2 · 周期を半分にする

条件： 人工衛星が一定の速さで円軌道を回っており、ar=−4π2rT2a_r = -\dfrac{4\pi^2 r}{T^2} です。半径 rr はそのままで、周期 TT を半分にします。向心加速度の大きさは何倍になりますか？

✅ 正解です！ ∣ar∣∝1/T2|a_r| \propto 1/T^2 なので、TT を半分にすると加速度は (1/12)2=4(1/\tfrac{1}{2})^2 = 4 倍になります。
❌ 惜しい！ 周期は2乗で効きます。∣ar∣∝1/T2|a_r| \propto 1/T^2 なので、倍率は 22 ではなく 22=42^2 = 4 です。
❌ 逆数になっています。 周期が短いほど速く回り、内向きの加速度は大きくなります。倍率は 14\tfrac{1}{4} ではなく 44 です。
❌ 惜しい！ rr が一定なら、∣ar∣=4π2r/T2|a_r| = 4\pi^2 r / T^2 は TT だけで決まり、しかも T2T^2 を通して効きます。
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rr を一定にして、TT への依存のしかたを読み取ります。

∣ar∣=4π2rT2  ⇒  ∣ar∣∝1T2|a_r| = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \;\Rightarrow\; |a_r| \propto \frac{1}{T^2}

TT を T/2T/2 に置き換えます。

∣ar∣new=4π2r(T/2)2=4π2rT2/4=4 ∣ar∣old|a_r|_{\text{new}} = \frac{4\pi^2 r}{(T/2)^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2/4} = 4\,|a_r|_{\text{old}}

加速度は4倍になります。言いかえると、ω=2π/T\omega = 2\pi/T が2倍になり、∣ar∣=rω2|a_r| = r\omega^2 は ω\omega の2乗に比例して大きくなります。

問3 · 月の内向きの加速度

条件： 月の軌道は半径 Re,m=3.84×108 mR_{e,m} = 3.84\times10^{8}\ \mathrm{m} のほぼ円で、月はそれを T=27.3T = 27.3 日ごとに一周します。1 day=86400 s1\ \mathrm{day} = 86400\ \mathrm{s} とします。

角速度 ω=2π/T\omega = 2\pi/T はいくらですか？

向心加速度の大きさはいくらですか？

✅ 正解です！ ω=2.66×10−6 rad/s\omega = 2.66\times10^{-6}\ \mathrm{rad/s}、∣ar∣=4π2Re,m/T2=2.72×10−3 m/s2|a_r| = 4\pi^2 R_{e,m}/T^2 = 2.72\times10^{-3}\ \mathrm{m/s^2} です。ごく小さな値ですが、絶えず内向きです。
❌ 2π2\pi が抜けています。 一回転は 2π2\pi ラジアンなので、1/T1/T ではなく ω=2π/T\omega = 2\pi/T です。
❌ 単位が違います。 TT は秒で表す必要があります：27.3 d×86400 s/d=2.36×106 s27.3\ \mathrm{d} \times 86400\ \mathrm{s/d} = 2.36\times10^{6}\ \mathrm{s}。
❌ ω\omega を計算し直しましょう。 まず周期を秒に直し、それで 2π2\pi を割ります。
❌ それは加速度ではなく速さです。 Re,m ω≈1.0×103 m/sR_{e,m}\,\omega \approx 1.0\times10^{3}\ \mathrm{m/s} は月の公転の速さです。加速度には ω\omega の2乗が必要です。
❌ それは地表での gg です。 月は地球半径の 6060 倍も離れていて、その内向きの加速度は何千分の一も小さくなります。
❌ 計算し直しましょう。 ω=2.66×10−6 rad/s\omega = 2.66\times10^{-6}\ \mathrm{rad/s} として ∣ar∣=Re,m ω2|a_r| = R_{e,m}\,\omega^2 を使い、10の累乗に注意します。
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ステップ1 — 周期を秒で表す。

T=27.3×86400=2.36×106 sT = 27.3 \times 86400 = 2.36\times10^{6}\ \mathrm{s}

ステップ2 — 角速度。 一周期に 2π2\pi ラジアンだけ回ります。

ω=2πT=6.2832.36×106=2.66×10−6 rad/s\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{6.283}{2.36\times10^{6}} = 2.66\times10^{-6}\ \mathrm{rad/s}

ステップ3 — 加速度の動径方向の項。 等速な軌道なので θ¨=0\ddot{\theta} = 0 で、−rθ˙2-r\dot{\theta}^2 だけが残ります。

∣ar∣=Re,m ω2=(3.84×108)(2.66×10−6)2|a_r| = R_{e,m}\,\omega^2 = (3.84\times10^{8})(2.66\times10^{-6})^2 =(3.84×108)(7.10×10−12)=2.72×10−3 m/s2= (3.84\times10^{8})(7.10\times10^{-12}) = 2.72\times10^{-3}\ \mathrm{m/s^2}

同じことを一行で書くと：

ar=−4π2Re,mT2=−(39.48)(3.84×108)(2.36×106)2=−2.72×10−3 m/s2a_r = -\frac{4\pi^2 R_{e,m}}{T^2} = -\frac{(39.48)(3.84\times10^{8})}{(2.36\times10^{6})^2} = -2.72\times10^{-3}\ \mathrm{m/s^2}

マイナス符号は、加速度が地球の中心を向いていることを示しています。

問4 · カーブでブレーキをかける車（応用）

条件： 車が半径 rr の円形のコースを走りながら、減速しています。車にはたらく合力の説明として正しいのはどれですか？

✅ 正解です！ 車は曲がり続けているので Fr=−mrθ˙2≠0F_r = -m r \dot{\theta}^2 \neq 0 です。さらに減速しているので θ¨\ddot{\theta} は θ˙\dot{\theta} と逆符号で、Fθ=mrθ¨F_\theta = m r \ddot{\theta} は軌道に沿って後ろ向きです。
❌ それは等速の場合です。 力が向心力だけになるには θ¨=0\ddot{\theta} = 0、つまり速さが一定である必要があります。しかし、この車はブレーキをかけています。
❌ 惜しい！ ブレーキが接線方向の部分を生みますが、車は曲げられ続けています。θ˙≠0\dot{\theta} \neq 0 である限り Fr=−mrθ˙2F_r = -m r \dot{\theta}^2 はゼロではありません。
❌ 外向きの力はありません。 動径方向の運動方程式 Fr=−mrθ˙2F_r = -m r \dot{\theta}^2 にはマイナス符号が付いています。円運動にはいつも内向きの動径方向の力が必要です。
❌ 惜しい！ 成分を一つずつ確かめましょう。θ˙\dot{\theta} はゼロですか？ θ¨\ddot{\theta} はゼロですか？
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2つのスカラーの式を一つずつ見ていきます。

動径方向。 車は円に沿って動いているので θ˙≠0\dot{\theta} \neq 0 であり、

Fr=−mrθ˙2<0,F_r = -m r \dot{\theta}^2 < 0,

これは −r^-\hat{r} の向き、つまり中心向きの力です。車が加速しても、減速しても、速さを保っても、このことは変わりません。

接線方向。 減速しているということは角速度が減っているということなので、θ¨\ddot{\theta} は θ˙\dot{\theta} と逆符号であり、

Fθ=mrθ¨F_\theta = m r \ddot{\theta}

は軌道に沿って後ろ向きです。これがブレーキの力です。

したがって合力は両方の部分の和で、内向きかつ後ろ向き、つまり半径より後ろ側に傾いています。θ¨=0\ddot{\theta} = 0 のときに限り、向心力だけの場合になります。

正解数：0 / 4