古典力学 · 第11回 · 動画2 · インタラクティブ教材

重力は月まで届く：万有引力の法則から一か月を導く

I重要な公式

公式名称意味
F⃗1,2=−Gm1m2r1,22 r^1,2\vec{F}_{1,2} = -G\dfrac{m_1 m_2}{r_{1,2}^2}\,\hat{r}_{1,2}万有引力の法則引力で、中心を結ぶ直線に沿い、1/r21/r^2 で弱まる
ar=−4π2Re,mT2a_r = -\dfrac{4\pi^2 R_{e,m}}{T^2}向心加速度内向きで、軌道の大きさと周期で決まる
T=4π2Re,m3G mearthT = \sqrt{\dfrac{4\pi^2 R_{e,m}^3}{G\,m_{\text{earth}}}}公転周期重力が向心力をまかなう
T2∝Re,m3T^2 \propto R_{e,m}^3ケプラーの第三法則すぐ上の式からそのまま出てくる

ポイント： 回っている物体自身の質量 m1m_1 は −G m1m2/R2=−m1 4π2R/T2-G\,m_1 m_2 / R^2 = -m_1\,4\pi^2 R / T^2 の両辺にあるので、打ち消し合います。周期は Re,mR_{e,m} と地球の質量だけで決まります。G=6.67×10−11 N m2 kg−2G = 6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}、mearth=5.98×1024 kgm_{\text{earth}} = 5.98\times10^{24}\ \mathrm{kg}、Re,m=3.82×108 mR_{e,m} = 3.82\times10^{8}\ \mathrm{m} とすると、この式から 27.227.2 日が得られます。

II重力を必要な向心力に等しいとおく

打ち消し合いのあとに残る量はどれで、周期にまったく入ってこない量はどれでしょうか。

III恒星月と朔望月

星々に対して一周するのに 27.227.2 日かかります。では、なぜ満月から満月までは 29.529.5 日なのでしょうか。

💡 太陽の方向は1か月に一周の約 112\tfrac{1}{12} だけずれるので、余分な回転にはおよそ T/12≈2.3T/12 \approx 2.3 日かかります。測定された朔望月は 29.5329.53 日です。

IV万有引力の法則からケプラーの第三法則へ

月を外側へ動かすと、周期は RR と同じ割合で増えるでしょうか、それとももっと速く増えるでしょうか。

💡 ケプラーは何十年もの観測から T2∝R3T^2 \propto R^3 を引き出しましたが、ニュートンはただ1つの力の法則から、わずか数行で同じ法則を導きました。

V確認クイズ

問1 · 逆二乗の弱まり方

条件： 力の大きさは F=Gm1m2r2F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2} です。2つの質量はそのままで、地球と月の距離を3倍にすると、重力の引力は何倍になりますか？

✅ 正解です！ F∝1/r2F \propto 1/r^2 なので、r→3rr \to 3r とすると F→F/32=F/9F \to F/3^2 = F/9 です。
❌ 向きが逆です。 物体を遠ざけると重力は弱くなります。倍率は 99 ではなく 1/32=191/3^2 = \tfrac{1}{9} です。
❌ 惜しい！ r2r^2 ではなく rr で割っています。弱まり方は逆二乗なので、19\tfrac{1}{9} になります。
❌ 惜しい！ 距離は分母に r2r^2 として入ります。rr を3倍にすると FF は 99 で割られます。
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2つの質量と GG を一定にすると、効いてくるのは距離だけです。

F=Gm1m2r2  ⇒  F∝1r2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} \;\Rightarrow\; F \propto \frac{1}{r^2}

rr を 3r3r に置き換えると：

FnewFold=(r3r)2=19\frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \left(\frac{r}{3r}\right)^{2} = \frac{1}{9}

引力は9分の1になります。（距離を2倍にすると4分の1になります。動画で紹介した弱まり方です。）

問2 · 回る物体の質量は効くか

条件： 月の2倍の質量をもつ宇宙船を、まったく同じ半径 Re,m=3.82×108 mR_{e,m} = 3.82\times10^{8}\ \mathrm{m} の円軌道に置きます。その公転周期はいくらですか？

✅ 正解です！ 周期について解く前に m1m_1 は打ち消し合っているので、TT は Re,mR_{e,m} と mearthm_{\text{earth}} だけで決まります。
❌ 惜しい！ 回っている物体の質量が答えに残っています。この質量は −Gm1m2/R2=−m14π2R/T2-G m_1 m_2/R^2 = -m_1 4\pi^2 R/T^2 の両辺に現れ、完全に打ち消し合います。
❌ 惜しい！ T=4π2R3/(G mearth)T = \sqrt{4\pi^2 R^3/(G\,m_{\text{earth}})} を書き出してみましょう。回っている物体の質量はどこにもありません。
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ステップ1 — ニュートンの第二法則の動径成分。 回っている物体の質量を m1m_1、m2=mearthm_2 = m_{\text{earth}} とすると：

−Gm1m2R2=m1(−4π2RT2)-G\frac{m_1 m_2}{R^2} = m_1\left(-\frac{4\pi^2 R}{T^2}\right)

ステップ2 — m1m_1 を消去する。 両辺にかかっているので、割ると消えます。

Gm2R2=4π2RT2  ⟹  T=4π2R3G m2G\frac{m_2}{R^2} = \frac{4\pi^2 R}{T^2} \;\Longrightarrow\; T = \sqrt{\frac{4\pi^2 R^3}{G\,m_2}}

残るのは RR と mearthm_{\text{earth}} だけです。宇宙船の質量を2倍にすると、重力の引力が2倍になり、同時にそれが打ち勝つべき慣性も2倍になります。2つの効果がちょうど打ち消し合うので、周期は27.2日のままです。

問3 · 軌道を大きくする

条件： 仮想的な衛星が、地球と月の距離の4倍、R′=4Re,mR' = 4R_{e,m} のところで地球のまわりを回っています。T2=4π2R3G mearthT^2 = \dfrac{4\pi^2 R^3}{G\,m_{\text{earth}}} と、既知の周期 T=27.2T = 27.2 日を使ってください。

T2T^2 は何倍になりますか？

したがって、新しい周期はおよそいくらですか？

✅ 正解です！ T′2=43T2=64 T2T'^2 = 4^3 T^2 = 64\,T^2 なので、T′=8T=8(27.2)≈218T' = 8T = 8(27.2) \approx 218 日です。
❌ 3乗を確かめましょう。 T2∝R3T^2 \propto R^3 なので、RR を 44 倍にすると T2T^2 は 44 倍でも 424^2 倍でもなく、43=644^3 = 64 倍になります。
❌ T2T^2 で止まっています。 倍率 6464 は T2T^2 に対するものです。27.227.2 日にかける前に平方根 64=8\sqrt{64} = 8 をとりましょう。
❌ 計算し直しましょう。 T′=64 T=8×27.2T' = \sqrt{64}\,T = 8 \times 27.2 日です。
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ステップ1 — 変わるのは RR だけです。 4π24\pi^2、GG、mearthm_{\text{earth}} はすべて一定です。

T′2T2=R′3R3=(4RR)3=43=64\frac{T'^2}{T^2} = \frac{R'^3}{R^3} = \left(\frac{4R}{R}\right)^{3} = 4^3 = 64

ステップ2 — 平方根をとる：

T′=64  T=8T=8×27.2 日=217.6≈218 日T' = \sqrt{64}\;T = 8T = 8 \times 27.2\ \text{日} = 217.6 \approx 218\ \text{日}

よくある間違い： 3乗の代わりに 44 や 424^2 を使う（109109 日や 435435 日になる）、または平方根を忘れて 64×27.2≈174064 \times 27.2 \approx 1740 日と答える。

問4 · もっと短い1年（応用）

条件： 地球が実際の半分弱の時間で太陽のまわりを回り、1年がちょうど恒星月6回分（163.2163.2 日）だったとします。月の軌道は変わらない（T=27.2T = 27.2 日）とします。満月から次の満月までの時間はおよそいくらになりますか？

✅ 正解です！ 太陽の方向が1か月に一周の 16\tfrac{1}{6} だけずれるようになったので、月はその方向に対してまる一周分追いつかなければなりません。角速度どうしを引いて 1Tsyn=127.2−1163.2\tfrac{1}{T_{\text{syn}}} = \tfrac{1}{27.2} - \tfrac{1}{163.2} となり、32.632.6 日が得られます。
❌ それは恒星月です。 星々に対して一周したときには太陽の方向は先へ進んでいるので、月が再び太陽の反対側に来るには、さらに回らなければなりません。
❌ 差は地球の1年の長さで決まります。 29.529.5 日は、実際の 365365 日の1年で決まる実際の朔望月です。1年が短くなると太陽の方向が速くずれるので、差は広がります。
❌ 向きが逆です。 月は先へ進んだ太陽の方向を追いかけなければならないので、朔望月はいつも恒星月より長くなります。
❌ 惜しい！ 満月が再び来るのは、月が太陽の方向に対してまる一周分追いついたときです。したがって角速度どうしを引きます：1/Tsyn=1/T−1/Tyear1/T_{\text{syn}} = 1/T - 1/T_{\text{year}}。
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ステップ1 — 恒星月1回の間に、太陽の方向はどれだけずれるか。 1年はちょうど恒星月6回分なので、1か月で太陽の方向は一周の 16\tfrac{1}{6} だけ回ります。

ステップ2 — 満月が再び来るのは、月がその方向に対してまる一周分追いついたとき。 角速度どうしを引くので、周期の逆数どうしも引くことになります。

1Tsyn=1T−1Tyear=127.2−1163.2\frac{1}{T_{\text{syn}}} = \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{\text{year}}} = \frac{1}{27.2} - \frac{1}{163.2}

ステップ3 — 解く：

Tsyn=T TyearTyear−T=27.2×163.2163.2−27.2=4439.04136=32.64 日T_{\text{syn}} = \frac{T\,T_{\text{year}}}{T_{\text{year}} - T} = \frac{27.2 \times 163.2}{163.2 - 27.2} = \frac{4439.04}{136} = 32.64\ \text{日}

簡単な見積もり T+T/6≈31.7T + T/6 \approx 31.7 日は少し短すぎます。余分に追いかけている 4.54.5 日の間にも太陽の方向はずれ続けるので、月はさらに回らなければならないからです。実際の地球について（恒星月 27.3227.32 日）同じ厳密な関係を使うと、測定値どおり 29.529.5 日になります。1年が短いほど、恒星月と朔望月の差はいつも広がります。

正解数：0 / 4