古典力学 · 第11回 · 動画3 · インタラクティブ教材

重力がつくる二つの円軌道：静止衛星と連星

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$\dfrac{G m_e}{r_s^2} = \omega^2 r_s$	向心力としての重力	$m_s$ は約分されて消える
$r_s = \left(\dfrac{G m_e}{\omega^2}\right)^{1/3},\qquad \omega = \dfrac{2\pi}{T}$	静止軌道の半径	周期と $m_e$
$\omega^2 = \dfrac{G(m_1 + m_2)}{s^3}$	連星の角速度	$s = r_1 + r_2$
$T = \sqrt{\dfrac{4\pi^2 s^3}{G(m_1 + m_2)}}$	連星の周期	両方の質量

ポイント： 物体自身の質量は、その物体の動径方向の式からいつも約分されて消えます。しかし相手の質量は決して消えません。二体の軌道に残るのは、質量の和 $m_1 + m_2$ です。

II静止軌道の半径を探す

周期がちょうど1恒星日 $T = 86164\ \text{s}$ になる軌道半径は、ただ1つです。

軌道半径 r 3.00 Rₑ

III2つの星、1つの角速度

2つの星は同じ時間に同じ角度だけ回るので、それぞれの半径は、間隔を質量の逆比に分け合います。

m₁ 1.0 m₂ 3.0 位相 0°

IV一体の公式が外れるとき

$m_2$ がどれだけ大きくなると、 $m_1$ だけから求めた周期は正しい値でなくなるでしょうか？

予想 q = m₂/m₁ 0.250

💡 太陽を回る天体で最も重い木星でも $q \approx 9.5 \times 10^{-4}$ なので、一体の公式による周期のずれは約 $0.05\%$ にすぎません。正しい二体の法則は、目の前にありながら気づかれにくいのです。

V確認クイズ

問1 · 12時間軌道の半径

条件：地球のまわりを周期 $T = 4.32 \times 10^{4}\ \text{s}$ で等速円運動する衛星があります。 $G = 6.67 \times 10^{-11}$ 、 $m_e = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$ とします。軌道半径 $r$ を求めてください。

✅ 正解です！

\omega = 2\pi/T = 1.454 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}

を使うと、

Gm_e/\omega^2

の立方根から

r = 2.66 \times 10^{7}

m が得られます。

❌ それは静止軌道の半径です。 これは

T = 4.32 \times 10^{4}

s ではなく

T = 86164

s に対応する値です。新しい

\omega

で立方根を計算し直してください。

❌ 周期のべき指数が違います。

T^{1/3}

ではなく

r \propto T^{2/3}

です。

T

を半分にすると、

r

は

2^{-1/3} = 0.794

倍ではなく

2^{-2/3} = 0.631

倍になります。

❌ 周期は半径に比例しません。

r_s^3 = Gm_e/\omega^2

に3乗が入っているので

r \propto T^{2/3}

となり、

T

を半分にしても

r

は半分になりません。

❌ 惜しい！

\omega = 2\pi/T

として

r = (Gm_e/\omega^2)^{1/3}

を使います。

1.885 \times 10^{22}\ \text{m}^3

の立方根が答えです。

解答を見る

重力が向心力をまかない、衛星自身の質量は約分されて消えます。

\frac{G m_s m_e}{r^2} = m_s \omega^2 r \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{G m_e}{\omega^2}

ステップ1 — 角速度：

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4.32 \times 10^{4}} = 1.454 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}

ステップ2 — 半径の3乗：

r^3 = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.98 \times 10^{24})}{(1.454 \times 10^{-4})^2} = \frac{3.99 \times 10^{14}}{2.115 \times 10^{-8}} = 1.885 \times 10^{22}\ \text{m}^3

ステップ3 — 立方根をとる：

r = (1.885 \times 10^{22})^{1/3} = 2.66 \times 10^{7}\ \text{m}

検算として $r \propto T^{2/3}$ を使います。この周期は恒星日の半分なので、 $r = (4.22 \times 10^{7})(2^{-2/3}) = (4.22 \times 10^{7})(0.631) = 2.66 \times 10^{7}$ m です。

問2 · 半径か高度か？

条件：静止軌道の半径 $r_s = 4.22 \times 10^{7}\ \text{m}$ 、地球の平均半径 $R_e = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ です。衛星の地表からの高度を求めてください。

✅ 正解です！

r_s

は地球の中心から測った距離なので、高度は

r_s - R_e = 3.58 \times 10^{7}

m、約

36{,}000

km です。

❌ それは高度ではなく軌道半径です。 重力は地球の中心を向くので、

r_s

は地球の中心から測ります。地表までの距離にするには

R_e

を引いてください。

❌ 符号を確かめてください。 地面は軌道の内側にあります。地表は

R_e

の位置にあるので、高度は

r_s + R_e

ではなく

r_s - R_e

です。

❌ 10のべき乗を確かめてください。

4.22 \times 10^{7} - 0.637 \times 10^{7} = 3.58 \times 10^{7}

m で、あなたの値の10倍です。

❌ 惜しい！ 高度

= r_s - R_e

です。どちらの距離も地球の中心から測ります。

解答を見る

導出全体の原点は地球の中心に置いたので、 $r_s$ は地表からではなく中心からの距離です。引き算の前に10のべき乗をそろえます。

h = r_s - R_e = 4.22 \times 10^{7} - 0.637 \times 10^{7} = 3.58 \times 10^{7}\ \text{m}

地球半径を単位にすると $6.62\,R_e - 1.00\,R_e = 5.62\,R_e$ で、 $3.58 \times 10^{7}\ \text{m} \approx 36{,}000$ km です。静止軌道の高さとしてよく知られている値です。

問3 · 連星を最初から最後まで

条件：2つの星が共通の中心のまわりを等速円運動しています。 $m_1 = 2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$ 、 $m_2 = 6.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$ 、間隔は一定で $s = 3.0 \times 10^{11}\ \text{m}$ です（ $G = 6.67 \times 10^{-11}$ ）。星1の軌道半径 $r_1$ と周期 $T$ を求めてください。

$r_1$ はいくらですか？

$T$ はいくらですか？

✅ 正解です！ 軽いほうの星が大きい円を描き、

r_1 = 2.25 \times 10^{11}

m です。質量の和から求めた周期は

4.47 \times 10^{7}

s です。

❌ 比が逆です。 星1にニュートンの第二法則を当てはめると

r_1 = Gm_2/(\omega^2 s^2)

です。星1の半径は相手の質量で決まるので、軽いほうの星のほうが大きく回ります。

❌ それは対称な場合の答えです。

r_1 = r_2 = s/2

となるのは

m_1 = m_2

のときだけです。ここでは質量が3倍違います。

❌ 惜しい！

m_1 r_1 = m_2 r_2

と

s = r_1 + r_2

を組み合わせると、

r_1 = s\,m_2/(m_1 + m_2)

が得られます。

❌ 3乗する距離が違います。 重力は

r_1

ではなく間隔全体

s

で決まります。周期の公式で3乗するのは

s

です。

❌ 質量を1つ落としています。 それは

2\pi\sqrt{s^3/(Gm_2)}

です。正しい二体の結果では、質量の和

m_1 + m_2 = 8.0 \times 10^{30}

kg を使います。

❌ あと一歩です。 $2\pi$ が抜けています。

\sqrt{s^3/(GM)} = 7.11 \times 10^{6}

s は

1/\omega

です。周期は

T = 2\pi/\omega

です。

❌ 惜しい！

s^3 = 2.7 \times 10^{34}\ \text{m}^3

として

T = \sqrt{4\pi^2 s^3 /\big(G(m_1+m_2)\big)}

を使います。

解答を見る

ステップ1 — 半径。 それぞれの星の動径方向にニュートンの第二法則を当てはめると $r_1 = Gm_2/(\omega^2 s^2)$ 、 $r_2 = Gm_1/(\omega^2 s^2)$ となるので、 $m_1 r_1 = m_2 r_2$ です。 $s = r_1 + r_2$ を使うと

r_1 = s\,\frac{m_2}{m_1 + m_2} = (3.0 \times 10^{11})\frac{6.0 \times 10^{30}}{8.0 \times 10^{30}} = 2.25 \times 10^{11}\ \text{m}

（また $r_2 = 0.75 \times 10^{11}$ m なので、 $r_1 + r_2 = s\ \checkmark$ です。）

ステップ2 — 角速度。 2つの半径の式を足し合わせると

\omega^2 = \frac{G(m_1 + m_2)}{s^3} = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(8.0 \times 10^{30})}{2.7 \times 10^{34}} = 1.977 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}

ステップ3 — 周期。

T = \frac{2\pi}{\omega} = \sqrt{\frac{4\pi^2 s^3}{G(m_1+m_2)}} = 2\pi\sqrt{\frac{2.7 \times 10^{34}}{5.336 \times 10^{20}}} = 2\pi (7.11 \times 10^{6}) = 4.47 \times 10^{7}\ \text{s}

これは約 $1.4$ 年です。

問4 · 2つの星と1つの星

条件：質量 $m$ の同じ2つの星が、間隔 $s$ で共通の中心のまわりを回っています。この周期を、質量 $m$ の1つの星のまわりを半径 $s$ で回る無視できるほど軽い惑星の周期と比べます。正しいのはどれでしょうか？

✅ 正解です！ 軌道を決める質量が

m

から

2m

へ2倍になると

\omega^2

が

2

倍になるので、

T

は

\sqrt{2}

分の1になります。

❌ 向きが逆です。 質量の和が大きいほど引力が強く、

\omega

が大きくなるので、周期は短くなります。

❌ 倍率を当てはめる量が違います。 質量の和が2倍になるので

\omega^2

は2倍になります。しかし

T \propto 1/\sqrt{M}

なので、周期は

2

分の1ではなく

\sqrt{2}

分の1になります。

❌ 惜しい！

T = \sqrt{4\pi^2 s^3/(G\cdot 2m)}

と

T = \sqrt{4\pi^2 s^3/(G m)}

を比べてください。間隔は同じで、違うのは分母の質量だけです。

解答を見る

連星。 $m_1 = m_2 = m$ のとき、二体の結果は次のようになります。

T_{\text{bin}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 s^3}{G(m + m)}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 s^3}{2Gm}}

1つの星を回る惑星。 半径 $s$ を回る無視できる質量は、一体の法則に従います。

T_{\text{one}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 s^3}{G m}}

比。

\frac{T_{\text{bin}}}{T_{\text{one}}} = \sqrt{\frac{Gm}{2Gm}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707

連星のほうが速く回るのは、両方の質量が引き合うからです。一体の法則は $m_2 \ll m_1$ の特別な場合で、2つめの質量が無視できるほど小さく、共通の中心は大きな物体の内部に入ります。

正解数：0 / 4