古典力学 · 第11回 · 動画6 · インタラクティブ教材

球殻定理：球の重力はなぜ中心から来るのか、積分で証明する

I重要な公式

公式名称必要な量
dm=σR2sin⁡θ dθ dϕ=ms4πsin⁡θ dθ dϕdm = \sigma R^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi = \dfrac{m_s}{4\pi}\sin\theta\, d\theta\, d\phi球殻の質量要素σ=ms/4πR2\sigma = m_s/4\pi R^2
rs,12=R2+z2−2Rzcos⁡θr_{s,1}^2 = R^2 + z^2 - 2Rz\cos\theta余弦定理 — 中心の角RR, zz, θ\theta
cos⁡α=(z2−R2)+rs,122z rs,1\cos\alpha = \dfrac{(z^2 - R^2) + r_{s,1}^2}{2z\,r_{s,1}}余弦定理 — 物体の位置の角RR, zz, rs,1r_{s,1}
Fz=−Gmsm14Rz2[−z2−R2rs,1+rs,1]rmin⁡rmax⁡F_z = -\dfrac{G m_s m_1}{4Rz^2}\left[-\dfrac{z^2 - R^2}{r_{s,1}} + r_{s,1}\right]_{r_{\min}}^{r_{\max}}基本となる結果積分区間の両端 rmin⁡,rmax⁡r_{\min}, r_{\max} だけ

ポイント：1つの原始関数が両方の場合を決めます。外側では rs,1r_{s,1} が z−R→z+Rz-R \to z+R と動き、括弧の値は 4R4R となって Fz=−Gmsm1/z2F_z = -Gm_sm_1/z^2 が残ります。内側では R−z→R+zR-z \to R+z と動き、括弧の値は 00 になります。

IIなぜ軸方向の引力だけが残るのか

どの要素も、物体を内向きだけでなく横向きにも引きます。では、横向きの引力はどこへ行くのでしょうか？

III積分区間がすべてを決める

θ\theta が 0→π0 \to \pi と動くと、線分 rs,1r_{s,1} はある範囲を動きます。その範囲がすべてを決めます。

IV球殻による力の分布

表面を越えると引力は消えます。球殻の内側では、重力はちょうど0です。

💡 中身の詰まった球は入れ子になった球殻の集まりです。だから外から見ると、どの球殻も、したがって球全体も、中心にある1つの質点として引きます。

V確認クイズ

問1 · 質量要素

条件：質量 msm_s、半径 RR の一様な球殻があり、面密度は σ=ms4πR2\sigma = \dfrac{m_s}{4\pi R^2} です。θ, θ+dθ\theta,\ \theta + d\theta と ϕ, ϕ+dϕ\phi,\ \phi + d\phi のあいだの切れ端の質量 dmdm を求めてください。

✅ 正解です！ 切れ端の面積は da=R2sin⁡θ dθ dϕda = R^2\sin\theta\, d\theta\, d\phi で、σR2=ms/4π\sigma R^2 = m_s/4\pi です。R2R^2 はきれいに約分されます。
❌ 面積の因子が抜けています。これは σsin⁡θ dθ dϕ\sigma\sin\theta\,d\theta\,d\phi です。da=R2sin⁡θ dθ dϕda = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi からくる因子 R2R^2 がまだ足りません。これが σ\sigma の中の R2R^2 と約分されます。
❌ 惜しい！ 順に組み立てましょう。辺 R dθR\,d\theta と Rsin⁡θ dϕR\sin\theta\,d\phi から da=R2sin⁡θ dθ dϕda = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi が得られ、それに σ\sigma をかけます。
解答を見る

切れ端の辺の長さは R dθR\,d\theta（余緯度の方向）と Rsin⁡θ dϕR\sin\theta\,d\phi（軸のまわりの方向。緯線の円の半径は RR ではなく Rsin⁡θR\sin\theta）です。

da=(R dθ)(Rsin⁡θ dϕ)=R2sin⁡θ dθ dϕda = (R\,d\theta)(R\sin\theta\, d\phi) = R^2\sin\theta\, d\theta\, d\phi

一様な面密度をかけます。

dm=σ da=ms4πR2⋅R2sin⁡θ dθ dϕ=ms4πsin⁡θ dθ dϕdm = \sigma\, da = \frac{m_s}{4\pi R^2}\cdot R^2\sin\theta\, d\theta\, d\phi = \frac{m_s}{4\pi}\sin\theta\, d\theta\, d\phi

球殻の半径は約分されます。ありがたい簡単化で、RR はこの後、幾何を通してだけ再び現れます。

検算：∫02π ⁣ ⁣∫0πms4πsin⁡θ dθ dϕ=ms4π(2π)(2)=ms\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\frac{m_s}{4\pi}\sin\theta\, d\theta\, d\phi = \frac{m_s}{4\pi}(2\pi)(2) = m_s ✓

問2 · 内側の場合の積分区間

条件：物体は球殻の内側にあり、z<Rz < R です。θ\theta が 00 から π\pi まで動くとき、線分 rs,1r_{s,1} が動く範囲を求めてください。

✅ 正解です！ θ=0\theta = 0 では球殻のいちばん近い点までの距離が R−zR - z、θ=π\theta = \pi ではいちばん遠い点までの距離が R+zR + z です。
❌ それは外側の場合の積分区間です。z<Rz < R では z−Rz - R は負になりますが、距離は負になれません。近い側の線分は R−zR - z です。
❌ 惜しい！ rs,12=R2+z2−2Rzcos⁡θr_{s,1}^2 = R^2 + z^2 - 2Rz\cos\theta に θ=0\theta = 0 と θ=π\theta = \pi を代入すると、(R−z)2(R-z)^2 と (R+z)2(R+z)^2 が得られます。
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動く範囲の両端で余弦定理を計算します。

θ=0:rs,12=R2+z2−2Rz=(R−z)2  ⇒  rs,1=∣R−z∣=R−z\theta = 0:\quad r_{s,1}^2 = R^2 + z^2 - 2Rz = (R - z)^2 \;\Rightarrow\; r_{s,1} = |R - z| = R - z θ=π:rs,12=R2+z2+2Rz=(R+z)2  ⇒  rs,1=R+z\theta = \pi:\quad r_{s,1}^2 = R^2 + z^2 + 2Rz = (R + z)^2 \;\Rightarrow\; r_{s,1} = R + z

z<Rz < R なので、絶対値は R−zR - z になります（物体は中心よりも球殻のてっぺんに近い位置にあります）。球殻の外側 z>Rz > R では、同じ計算からかわりに z−Rz - R が得られます。証明全体を通して、2つの場合の違いはこれだけです。

問3 · 積分を計算する

条件：半径 R=3R = 3 m の球殻があり、物体は外側の z=6z = 6 m にあります。原始関数は A(rs,1)=−z2−R2rs,1+rs,1A(r_{s,1}) = -\dfrac{z^2 - R^2}{r_{s,1}} + r_{s,1} です。積分区間を求め、括弧の値を計算してください。

rs,1r_{s,1} の積分区間はどうなりますか？

A(rmax⁡)−A(rmin⁡)A(r_{\max}) - A(r_{\min}) はいくらですか？

✅ 正解です！ A(9)−A(3)=6−(−6)=12=4RA(9) - A(3) = 6 - (-6) = 12 = 4R で、−Gmsm14Rz2(4R)=−Gmsm1z2-\dfrac{Gm_sm_1}{4Rz^2}(4R) = -\dfrac{Gm_sm_1}{z^2} となります。
❌ 積分区間を確かめましょう。外側とは z>Rz > R のことなので、線分は z−R=6−3=3z - R = 6 - 3 = 3 m から z+R=6+3=9z + R = 6 + 3 = 9 m まで動きます。（1.51.5 m から 4.54.5 m は、内側の場合の積分区間 R∓zR \mp z です。）
❌ 計算を確かめましょう。z2−R2=27z^2 - R^2 = 27 なので、A(9)=−3+9=6A(9) = -3 + 9 = 6、A(3)=−9+3=−6A(3) = -9 + 3 = -6 です。負の数を引くと足し算になるので、差は 66 ではありません。
解答を見る

ステップ1 — 積分区間。物体は外側にあるので、θ\theta が 0→π0 \to \pi と動くとき、

rmin⁡=z−R=3 m,rmax⁡=z+R=9 mr_{\min} = z - R = 3\ \text{m},\qquad r_{\max} = z + R = 9\ \text{m}

ステップ2 — 計算。ここでは z2−R2=36−9=27 m2z^2 - R^2 = 36 - 9 = 27\ \text{m}^2 です。

A(9)=−279+9=−3+9=6 mA(9) = -\frac{27}{9} + 9 = -3 + 9 = 6\ \text{m} A(3)=−273+3=−9+3=−6 mA(3) = -\frac{27}{3} + 3 = -9 + 3 = -6\ \text{m} A(9)−A(3)=6−(−6)=12 m=4RA(9) - A(3) = 6 - (-6) = 12\ \text{m} = 4R

ステップ3 — まとめる。この 4R4R が、前の係数の 4R4R と約分されます。

Fz=−Gmsm14Rz2 (4R)=−Gmsm1z2F_z = -\frac{Gm_sm_1}{4Rz^2}\,(4R) = -\frac{Gm_sm_1}{z^2}

中心に置いた質点 msm_s による引力そのものです。

問4 · 応用 — 中身の詰まった球の内部

条件：質量 MM、半径 RR の一様な中身の詰まった球があり、その中の、中心から z=R/2z = R/2 のところに小さな質量 mm が埋まっています。mm にはたらく重力を求めてください。

✅ 正解です！ 引くのは内側に含まれる M/8M/8 だけで、それが距離 R/2R/2 だけ離れた中心からはたらきます。F=−G(M/8)m(R/2)2=−GMm2R2F = -\dfrac{G(M/8)m}{(R/2)^2} = -\dfrac{GMm}{2R^2} です。
❌ それは球殻の結果で、中身の詰まった球の結果ではありません。0になるのは zz より外側の球殻だけです。半径 zz の内側にある物質は、中心にある質点として引き続けます。
❌ 惜しい！ 2つのことが同時に変わります。実効的な質量が M(z/R)3=M/8M(z/R)^3 = M/8 に減り、さらに距離は z=R/2z = R/2 なので z2=R2/4z^2 = R^2/4 です。
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球を半径 z=R/2z = R/2 のところで分けます。半径が zz より大きい球殻はどれも埋まっている質量を内側に含むので、球殻定理の後半により、寄与は0です。内側の球殻はどれも、中心にある質点としてはたらきます。

ステップ1 — 内側に含まれる質量（密度は一様）：

Menc=M(zR)3=M(12)3=M8M_{\text{enc}} = M\left(\frac{z}{R}\right)^3 = M\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{M}{8}

ステップ2 — 中心からの逆二乗則：

F=−GMenc mz2=−G(M/8)m(R/2)2=−GMm/8R2/4=−GMm2R2F = -\frac{G M_{\text{enc}}\, m}{z^2} = -\frac{G(M/8)m}{(R/2)^2} = -\frac{GMm/8}{R^2/4} = -\frac{GMm}{2R^2}

よくある間違い：

  • 00 と答える — それが成り立つのは中空の球殻か、zz より外側にある球殻だけです。
  • z=R/2z = R/2 で全質量 MM を使う — −4GMm/R2-4GMm/R^2 になります。
  • 質量を M/8M/8 に減らしたのに、距離を RR のままにする — −GMm/8R2-GMm/8R^2 になります。

すっきりした帰結に注目しましょう。一様な球の内部では F=−GMmzR3F = -\dfrac{GMm z}{R^3} で、力は中心からの距離に比例して大きくなります。そのため、地球を貫くトンネルの中では単振動が起こります。

正解数：0 / 4