古典力学 · 第12回 · 動画2 · インタラクティブ教材

境界の引き方で決まる：系の運動量を変えるのは外力だけ

I重要な公式

公式名称必要なもの
F⃗i=F⃗i ext+∑j≠iF⃗j,i\vec{F}_i = \vec{F}_i^{\,\mathrm{ext}} + \displaystyle\sum_{j \neq i} \vec{F}_{j,i}ii 番目のメンバーにはたらく力（境界で分ける）選んだ系の境界
F⃗j,i+F⃗i,j=0⃗  ⟹  F⃗ int=0⃗\vec{F}_{j,i} + \vec{F}_{i,j} = \vec{0} \;\Longrightarrow\; \vec{F}^{\,\mathrm{int}} = \vec{0}第三法則で内力の和が消える相手どうしが両方とも境界の内側にあること
F⃗ ext=dp⃗sysdt,p⃗sys=∑i=1Np⃗i\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = \dfrac{d\vec{p}_{\mathrm{sys}}}{dt}, \qquad \vec{p}_{\mathrm{sys}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{N} \vec{p}_i系に対するニュートンの第二法則境界を横切るすべての力
Δp⃗sys=∫t0tfF⃗ ext dt≡I⃗sys\Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} = \displaystyle\int_{t_0}^{t_f} \vec{F}^{\,\mathrm{ext}}\,dt \equiv \vec{I}_{\mathrm{sys}}系に加わる力積外力の時間変化

ポイント： 「外力」か「内力」かは、力そのものの性質ではありません。あなたが引いた境界の性質です。どちらの場合も、ばねはまったく同じ F⃗spring,cart\vec{F}_{\mathrm{spring,cart}} で台車を引いています。その第三法則の相手を境界の内側に取り込むと、その力は Δp⃗sys\Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} の勘定に入らなくなるだけです。

II境界を動かす

境界を動かしても物理的には何も変わりません。変わるのは、勘定に入る力の一覧です。

💡 すべてを囲むと、外から力をおよぼすのは地球と床だけになります。「孤立系の運動量は一定である」という主張が、力についてではなく境界についての主張であるのはこのためです。

III二重和は対ごとに打ち消し合う

NN 個の粒子では、内力が N×NN \times N の表の対角線以外のマスを埋め、どのマスにも鏡に映したような相方があります。

IVp⃗sys\vec{p}_{\mathrm{sys}} を動かすのは外部からの力積だけ

2台の台車が押し合い、そこへ外から1つの力がはたらきます。合計を曲げるのはどちらでしょうか？

V確認クイズ

問1 · 境界を横切る力を数える

条件： 斜面上の台車が、ばねによって斜面の上向きに引かれています。ばねのもう一方の端はセンサーに固定されています。系は台車だけです。この系にはたらく外力の数と、F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} を求めてください。

✅ 正解です！ ばね、地球、斜面という3つの相手が外側にあるので、3つの力はすべて境界を横切り、F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} はそのベクトル和です。
❌ それは3つのうちの1つだけです。 重力と斜面からの接触力も境界の外から来ます。「外力」とは「手で加えた力」という意味ではなく、相手が系のメンバーでないという意味です。
❌ 対が打ち消し合うのは、両方が内側にあるときだけです。 ここでは反作用の力（F⃗cart,spring\vec{F}_{\mathrm{cart,spring}}、F⃗cart,earth\vec{F}_{\mathrm{cart,earth}}、F⃗cart,plane\vec{F}_{\mathrm{cart,plane}}）はどれも外側の物体にはたらくので、系の中で打ち消し合うものはありません。
❌ そのうち半分は外界にはたらいています。 F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} で足し合わせるのは、系のメンバーにはたらく力だけです。反作用の力は、ばね、地球、斜面にはたらいています。
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ステップ1 — 台車の相互作用を挙げる。 台車が触れている、または引かれている相手はちょうど3つです。ばね、地球、斜面です。

ステップ2 — それぞれの相手の位置を確かめる。 境界は台車だけを囲んでいるので、3つの相手はすべて外界にあります。したがって、それらが台車におよぼす力はどれも境界を横切ります。

F⃗ ext=F⃗spring,cart+F⃗earth,cart+F⃗plane,cart\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = \vec{F}_{\mathrm{spring,cart}} + \vec{F}_{\mathrm{earth,cart}} + \vec{F}_{\mathrm{plane,cart}}

ステップ3 — 反作用が一覧に入らない理由。 これらの力にはそれぞれ第三法則の相手（F⃗cart,spring\vec{F}_{\mathrm{cart,spring}} など）がありますが、それらは系の外側の物体にはたらきます。対が F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} の中で打ち消し合うのは、2つの力がどちらも系のメンバーにはたらくときだけなので、物体が1つだけの系では打ち消し合いは起こりえません。

F⃗ ext=dp⃗sys/dt\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = d\vec{p}_{\mathrm{sys}}/dt、p⃗sys=mcartv⃗cart\vec{p}_{\mathrm{sys}} = m_{\mathrm{cart}}\vec{v}_{\mathrm{cart}} なので、これはふつうの自由物体図の式そのものです。系の言葉を使っても、まだ物理は何も変わっていません。

問2 · 境界を広げる

条件： 同じ設定ですが、今度は境界を台車とばねを囲むように引き直します。ばねの上端は、斜面の上端に固定されたセンサーにつながっています。F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} を表す正しい式を求めてください。

✅ 正解です！ ばねと台車の対は内力になって打ち消し合います。一方、センサーは外側にあるまま系のメンバーであるばねを引くので、その力が外力の一覧に加わります。
❌ それは前の境界での一覧です。 ばねが内側にあると、F⃗spring,cart\vec{F}_{\mathrm{spring,cart}} の相手 F⃗cart,spring\vec{F}_{\mathrm{cart,spring}} も内側にあるので、2つの和は 0⃗\vec{0} になり、どちらも F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} には現れません。
❌ 内力の対を除いたのは正しいのですが、境界には新しい境目もできています。 ばねを囲むと、ばねのもう一つの相互作用もついてきます。センサーが系のメンバーを引くようになるのです。
❌ 相互作用は合っていますが、対のうちの力を取り違えています。 F⃗spring,sensor\vec{F}_{\mathrm{spring,sensor}} は外側にあるセンサーにはたらきます。F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} に集めるのは系のメンバーにはたらく力だけで、ここでは F⃗sensor,spring\vec{F}_{\mathrm{sensor,spring}} です。
❌ 惜しい！ どの力も2つの問いで仕分けましょう。系のメンバーにはたらいているか、そしてその相手も系のメンバーか。答えが「はい」と「いいえ」のときだけ残します。
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ステップ1 — ばねと台車の相互作用は内力になる。 その2つの力はどちらも系のメンバーにはたらき、第三法則により

F⃗spring,cart+F⃗cart,spring=0⃗\vec{F}_{\mathrm{spring,cart}} + \vec{F}_{\mathrm{cart,spring}} = \vec{0}

なので、この相互作用は F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} に何も寄与しません。消えたわけではありません。台車は今もこの力を感じ、系の内部で運動量を配り直しています。ただ、合計を変えることはできないのです。

ステップ2 — 残る外側の相手。 地球と斜面は今も外側にあり、台車に力をおよぼしています。ばねを囲んだことで新しい境目が現れます。外側にあるセンサーが、ばねの上端を引くのです。したがって

F⃗ ext=F⃗earth,cart+F⃗plane,cart+F⃗sensor,spring\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = \vec{F}_{\mathrm{earth,cart}} + \vec{F}_{\mathrm{plane,cart}} + \vec{F}_{\mathrm{sensor,spring}}

ステップ3 — 帳簿のつけ方の規則。 ある力が F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} に入るのは、それが系のメンバーにはたらき、その第三法則の相手がメンバーでないものにはたらくときに限ります。境界を広げると、取り込んだ対は必ず消え、新しい境目での相互作用が外力として加わります。

問3 · 内部のやりとりと合計

条件： 摩擦のない水平なレールの上にブロック AA（2.0 kg2.0\ \mathrm{kg}）と BB（3.0 kg3.0\ \mathrm{kg}）があり、そのあいだに縮んだばねがはさまっています。+x+x 方向の 4.0 N4.0\ \mathrm{N} の一定の外力が AA に 0.50 s0.50\ \mathrm{s} のあいだはたらき、そのあいだに AA の運動量は 3.2 kg m s−13.2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} 増えます。系をAA、BB とばねとして、Δp⃗sys\Delta \vec{p}_{\mathrm{sys}} と Δp⃗B\Delta \vec{p}_B を求めてください。

Δp⃗sys\Delta \vec{p}_{\mathrm{sys}} の xx 成分はいくらですか？

Δp⃗B\Delta \vec{p}_B の xx 成分はいくらですか？

✅ 正解です！ 外部からの力積によって、合計は +2.0 kg m s−1+2.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} に決まります。AA が +3.2+3.2 を受け取ったのだから、ばねは BB に正味 −1.2-1.2 を渡したはずです。内力は、メンバーのあいだで運動量をやりとりさせるだけです。
❌ ばねは内力ですが、4.0 N4.0\ \mathrm{N} の押す力はそうではありません。 運動量が一定になるのは F⃗ ext=0⃗\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = \vec{0} のときだけです。ここでは外部からの力積は (4.0)(0.50)=2.0 N s(4.0)(0.50) = 2.0\ \mathrm{N\,s} です。
❌ 時間で割っています。 力積は積み重なるものです。Fext/ΔtF^{\mathrm{ext}}/\Delta t ではなく Δp=FextΔt\Delta p = F^{\mathrm{ext}}\Delta t です。単位を確かめましょう。N s−1\mathrm{N\,s^{-1}} ではなく N s\mathrm{N\,s} です。
❌ それは Δpsys\Delta p_{\mathrm{sys}} ではなく ΔpA\Delta p_A です。 AA が外部からの力積より多くを得られるのは、まさにばねがそれを押しているからです。その余分の運動量は BB から取られています。
❌ 外部からの力積を確かめましょう。 水平方向に境界を横切る力は 4.0 N4.0\ \mathrm{N} の力だけなので、Δpsys=(4.0 N)(0.50 s)\Delta p_{\mathrm{sys}} = (4.0\ \mathrm{N})(0.50\ \mathrm{s}) です。
❌ 合計を条件として使いましょう。 ΔpA+ΔpB=Δpsys\Delta p_A + \Delta p_B = \Delta p_{\mathrm{sys}} なので ΔpB=2.0−3.2\Delta p_B = 2.0 - 3.2 です。BB はばねに後ろ向きに押されるので、負の値になります。
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ステップ1 — 力を仕分ける。 ばねの2つの力はどちらも系のメンバーにはたらくので内力で、和は 0⃗\vec{0} です。重力とレールからの垂直抗力は外力ですが、鉛直方向で打ち消し合います。水平方向に境界を横切るのは、加えられた 4.0 N4.0\ \mathrm{N} だけです。

Fxext=4.0 NF^{\mathrm{ext}}_x = 4.0\ \mathrm{N}

ステップ2 — 系について積分する。

Δpsys,x=∫t0tfFxext dt=(4.0 N)(0.50 s)=2.0 kg m s−1\Delta p_{\mathrm{sys},x} = \int_{t_0}^{t_f} F^{\mathrm{ext}}_x\,dt = (4.0\ \mathrm{N})(0.50\ \mathrm{s}) = 2.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}

どちらの質量も出てこないことに注目しましょう。合計は外部からの力積だけで決まります。

ステップ3 — 合計を分ける。 定義により p⃗sys=p⃗A+p⃗B\vec{p}_{\mathrm{sys}} = \vec{p}_A + \vec{p}_B なので

ΔpB,x=Δpsys,x−ΔpA,x=2.0−3.2=−1.2 kg m s−1\Delta p_{B,x} = \Delta p_{\mathrm{sys},x} - \Delta p_{A,x} = 2.0 - 3.2 = -1.2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}

ステップ4 — 物理として読む。 ばねは AA を +1.2 N s+1.2\ \mathrm{N\,s} の力積で前向きに押し、BB を −1.2 N s-1.2\ \mathrm{N\,s} で後ろ向きに押しました。大きさが等しく向きが反対なので、合計ではちょうど打ち消し合います。内力は系の内部で運動量を自由に動かせますが、運動量を加えることは決してできません。

問4 · 応用 — 1つの力、2つの境界

条件： 地表付近で、0.50 kg0.50\ \mathrm{kg} のボールが Δt=0.40 s\Delta t = 0.40\ \mathrm{s} のあいだ自由落下します（g=9.8 m s−2g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}、空気の影響は無視）。2通りの系の選び方について、Δp⃗sys\Delta \vec{p}_{\mathrm{sys}} を求めてください。

系 = ボールだけ

系 = ボールと地球

✅ 正解です！ 同じ重力の相互作用が、ボールだけの系では外力、ボールと地球の系では内力になります。一方の帳簿のつけ方では下向きに mgΔtmg\Delta t、もう一方ではちょうど 0⃗\vec{0} です。
❌ その単位はニュートンです。 mg=4.9 Nmg = 4.9\ \mathrm{N} は力です。それがもたらす力積は mgΔtmg\Delta t で、さらに 0.40 s0.40\ \mathrm{s} をかける必要があります。
❌ この境界ではそうなりません。 内側にあるのがボールだけなら地球は系のメンバーではないので、F⃗earth,ball\vec{F}_{\mathrm{earth,ball}} は境界を横切る外力です。それを打ち消す相手は系のどこにもありません。
❌ かけるべきところで割っています。 Δp=mg Δt=(0.50)(9.8)(0.40)\Delta p = mg\,\Delta t = (0.50)(9.8)(0.40) です。gg で割ると単位は kg s\mathrm{kg\,s} になり、運動量ではありません。
❌ 外部からの力積を確かめましょう。 ボールにはたらく力は重力だけで、下向きに一定の mg=4.9 Nmg = 4.9\ \mathrm{N} が 0.40 s0.40\ \mathrm{s} のあいだはたらきます。
❌ 今度は相手どうしが両方とも内側にあります。 F⃗earth,ball\vec{F}_{\mathrm{earth,ball}} と F⃗ball,earth\vec{F}_{\mathrm{ball,earth}} は2つのメンバーにはたらく第三法則の対なので、F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} の中で打ち消し合い、合計を変えるものは何も残りません。
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境界1 — ボールだけ。 重力の相手 F⃗ball,earth\vec{F}_{\mathrm{ball,earth}} は、外側にある地球にはたらきます。したがって重力は外力です。

∣Δp⃗sys∣=∫t0tfmg dt=mg Δt=(0.50)(9.8)(0.40)=1.96≈2.0 kg m s−1|\Delta \vec{p}_{\mathrm{sys}}| = \int_{t_0}^{t_f} mg\,dt = mg\,\Delta t = (0.50)(9.8)(0.40) = 1.96 \approx 2.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}

向きは下向きです。ボールは、v=gΔt=3.9 m s−1v = g\Delta t = 3.9\ \mathrm{m\,s^{-1}} が予言するとおりに速くなります。

境界2 — ボールと地球。 今度は、重力の対の両方が内側にあります。

F⃗earth,ball+F⃗ball,earth=0⃗⟹F⃗ ext=0⃗⟹Δp⃗sys=0⃗\vec{F}_{\mathrm{earth,ball}} + \vec{F}_{\mathrm{ball,earth}} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} = \vec{0}

2つの答えの折り合い。 2つの答えは矛盾しません。p⃗sys\vec{p}_{\mathrm{sys}} が表す和が違うからです。2つめの場合は地球も運動量を得ます。上向きに 1.96 kg m s−11.96\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}、速さにしておよそ 3×10−25 m s−13\times10^{-25}\ \mathrm{m\,s^{-1}} で、ボールが得た分をちょうど打ち消します。

Δp⃗ball+Δp⃗Earth=(+1.96  下向き)+(1.96  上向き)=0⃗\Delta\vec{p}_{\mathrm{ball}} + \Delta\vec{p}_{\mathrm{Earth}} = (+1.96 \;\text{下向き}) + (1.96 \;\text{上向き}) = \vec{0}

2つの計算のあいだで、物理的には何も変わっていません。変わったのは引いた線だけで、それにともなって、数えなければならない力が変わったのです。

正解数：0 / 4