古典力学 · 第12回 · 動画4 · インタラクティブ教材

質量中心はニュートンの法則に従う：系の運動と運動量保存則

I重要な公式

公式名称必要なもの
p⃗sys=msysV⃗cm\vec{p}_{\mathrm{sys}} = m_{\mathrm{sys}}\vec{V}_{\mathrm{cm}}系の運動量全質量と質量中心（重心）の速度
F⃗ ext=msysA⃗cm\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = m_{\mathrm{sys}}\vec{A}_{\mathrm{cm}}系に対するニュートンの第二法則外力だけ
F⃗ ext=0⃗  ⟹  Δp⃗sys=0⃗\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = \vec{0} \;\Longrightarrow\; \Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} = \vec{0}孤立系何も越えてこない境界
Δp⃗sys+Δp⃗sur=0⃗\Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} + \Delta\vec{p}_{\mathrm{sur}} = \vec{0}運動量保存の原理系と外界をあわせて数える

ポイント： F⃗ ext=msysA⃗cm\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = m_{\mathrm{sys}}\vec{A}_{\mathrm{cm}} には、力がどこに加わるかがまったく出てきません。ですから、外力はすべて質量中心に移して、そこでベクトルとして足し合わせてかまいません。これは個々の粒子ではなく、ただ一つの点についての約束なのです。

II同じ力、3つの位置、1つの加速度

まったく同じ押し方をバットの3つの位置で行います。それぞれの場合に、印をつけた点はどう動くでしょうか？

💡 この式が決めるのは A⃗cm\vec{A}_{\mathrm{cm}} だけです。回転を決めるのはトルク（力のモーメント） τ⃗=r⃗×F⃗\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} で、こちらは押す位置によって変わります。それは後の章のテーマです。

III内力にできないこと

2つのパックの間のばねは、両者の間で速度をやりとりさせます。それで質量中心の進む直線を曲げられるでしょうか？

💡 質量中心と一緒に動く座標系から見ると、その系では V⃗cm=0⃗\vec{V}_{\mathrm{cm}} = \vec{0} なので、孤立系はいつも p⃗sys=0⃗\vec{p}_{\mathrm{sys}} = \vec{0} になります。衝突がよくこの座標系で解析されるのはそのためです。

IV失われた運動量の行き先

この系は孤立していません。系が失った運動量は、そのぶんだけ外界が受け取らなければなりません。

V確認クイズ

問1 · 質量中心の加速度

条件：質量 msys=0.94 kgm_{\mathrm{sys}} = 0.94\ \mathrm{kg} のバットが摩擦のない机の上に置かれています。バットに垂直な大きさ 4.7 N4.7\ \mathrm{N} の一定の力を1つだけ、質量中心から遠いグリップの端に加えます。A⃗cm\vec{A}_{\mathrm{cm}} の大きさを求めてください。

✅ 正解です！ 法則に出てくるのは F⃗ ext\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} と msysm_{\mathrm{sys}} だけで、どちらも手をどこに当てたかには関係しません。
❌ 惜しい！ 中心をはずれた押し方でも、力が並進と回転に「分けられる」わけではありません。質量中心は力の全部を受けます。A⃗cm=F⃗ ext/msys\vec{A}_{\mathrm{cm}} = \vec{F}^{\,\mathrm{ext}}/m_{\mathrm{sys}} で、前に分数の係数はつきません。
❌ 惜しい！ A⃗cm=F⃗ ext/msys\vec{A}_{\mathrm{cm}} = \vec{F}^{\,\mathrm{ext}}/m_{\mathrm{sys}} を使います。力を質量で割り、答えの単位が m s−2\mathrm{m\,s^{-2}} になっているか確かめてください。
解答を見る

バットを1つの系と考え、系に対する第二法則を当てはめます。

A⃗cm=F⃗ extmsys=4.7 N0.94 kg=5.0 m s−2\vec{A}_{\mathrm{cm}} = \frac{\vec{F}^{\,\mathrm{ext}}}{m_{\mathrm{sys}}} = \frac{4.7\ \mathrm{N}}{0.94\ \mathrm{kg}} = 5.0\ \mathrm{m\,s^{-2}}

右辺に出てくるのは、加える力と全質量の2つだけです。押す手をバットに沿ってずらしても、どちらも変わりません。ですから、グリップを押しても、×印を押しても、バレルを押しても、Acm=5.0 m s−2A_{\mathrm{cm}} = 5.0\ \mathrm{m\,s^{-2}} で同じです。

グリップを押すと、バットは実際に回転し、個々の粒子の運動はどれも純粋な並進の場合とは違います。それでも矛盾はありません。この式は、もともと個々の粒子について述べたものではないからです。

問2 · 運動量はベクトルとして足す

条件：2つのパックからなる孤立系があります。パックAは mA=3.0 kgm_A = 3.0\ \mathrm{kg} で東向きに 4.0 m s−14.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}、パックBは mB=2.0 kgm_B = 2.0\ \mathrm{kg} で北向きに 6.0 m s−16.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} で動いています。p⃗sys\vec{p}_{\mathrm{sys}} の大きさを求めてください。

✅ 正解です！ 2つの運動量は垂直なので、合計は斜辺になります：122+122=122≈17 kg m s−1\sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2} \approx 17\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}。
❌ 惜しい！ 大きさを足しています。p⃗sys\vec{p}_{\mathrm{sys}} は先端と始点をつないで足すベクトルの和です。12+12=2412 + 12 = 24 が正しいのは、2つの運動量が同じ向きのときだけです。
❌ 惜しい！ まずそれぞれの運動量を成分で書きます。kg m s−1\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} 単位で p⃗A=(12,0)\vec{p}_A = (12, 0)、p⃗B=(0,12)\vec{p}_B = (0, 12) とし、成分ごとに足してください。
解答を見る

x^\hat{x} を東向き、y^\hat{y} を北向きにとります。

p⃗A=(3.0)(4.0) x^=12 x^,p⃗B=(2.0)(6.0) y^=12 y^\vec{p}_A = (3.0)(4.0)\,\hat{x} = 12\,\hat{x}, \qquad \vec{p}_B = (2.0)(6.0)\,\hat{y} = 12\,\hat{y} p⃗sys=p⃗A+p⃗B=(12, 12) kg m s−1\vec{p}_{\mathrm{sys}} = \vec{p}_A + \vec{p}_B = (12,\ 12)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} ∣p⃗sys∣=122+122=122≈17 kg m s−1|\vec{p}_{\mathrm{sys}}| = \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2} \approx 17\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}

注意が2つあります。第一に、「孤立している」とは合計が変化しないという意味で、ゼロだという意味ではありません。選択肢dは、一定であることとゼロであることを混同しています。第二に、ベクトルの和が本当にゼロになることはあります。大きさが等しく向きが反対の運動量をもつ2つの破片は、どちらも速く動いていても p⃗sys=0⃗\vec{p}_{\mathrm{sys}} = \vec{0} になります。

確認として、V⃗cm=p⃗sys/msys=(12,12)/5.0=(2.4, 2.4) m s−1\vec{V}_{\mathrm{cm}} = \vec{p}_{\mathrm{sys}}/m_{\mathrm{sys}} = (12, 12)/5.0 = (2.4,\ 2.4)\ \mathrm{m\,s^{-1}} で、北東を向いています。

問3 · 摩擦のない氷の上で押し合う

条件：m1=40 kgm_1 = 40\ \mathrm{kg} と m2=60 kgm_2 = 60\ \mathrm{kg} の2人のスケーターが、摩擦のない氷の上で静止した状態から互いに押し合います。そのあとスケーター1は西向きに 3.0 m s−13.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} で滑っていきます。2人のスケーターをあわせて系とします。

スケーター2はどれだけの速さで滑りますか？

押し合ってから最初の 5.0 s5.0\ \mathrm{s} の間に、質量中心はどれだけ移動しますか？

✅ 正解です！ 押し合う力は内力なので、p⃗sys\vec{p}_{\mathrm{sys}} は 0⃗\vec{0} のままです。2人は、まったく動かない質量中心をはさんで離れていきます。
❌ 質量の比を確かめてください。 運動量保存から m1v1=m2v2m_1 v_1 = m_2 v_2 となるので、重いスケーターのほうが遅くなります：v2=(m1/m2)v1v_2 = (m_1/m_2)v_1。
❌ まず V⃗cm\vec{V}_{\mathrm{cm}} を確かめてください。 質量中心は V⃗cm=p⃗sys/msys\vec{V}_{\mathrm{cm}} = \vec{p}_{\mathrm{sys}}/m_{\mathrm{sys}} で動きます。p⃗sys\vec{p}_{\mathrm{sys}} は押し合う前にゼロで、内力では変えられません。
解答を見る

ステップ1：系と力を特定する。 スケーターは互いに押し合うので、その力は内力です。鉛直方向では重力と垂直抗力が打ち消し合い、水平方向では氷に摩擦がないので、運動の方向に沿って F⃗ ext=0⃗\vec{F}^{\,\mathrm{ext}} = \vec{0} です。系は孤立していて、Δp⃗sys=0⃗\Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} = \vec{0} です。

ステップ2：前後の運動量。 x^\hat{x} を東向きにとると、スケーター1の速度は −3.0 x^-3.0\,\hat{x} です。

p⃗sys,i=0⃗=p⃗sys,f=m1v⃗1,f+m2v⃗2,f\vec{p}_{\mathrm{sys},i} = \vec{0} = \vec{p}_{\mathrm{sys},f} = m_1 \vec{v}_{1,f} + m_2 \vec{v}_{2,f} 0=(40)(−3.0)+(60)v2,f  ⟹  v2,f=12060=+2.0 m s−10 = (40)(-3.0) + (60)v_{2,f} \;\Longrightarrow\; v_{2,f} = \frac{120}{60} = +2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}

スケーター2は東向きに 2.0 m s−12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} で滑ります。重いほうが遅く、その比はちょうど質量の比 40/6040/60 です。

ステップ3：質量中心。

V⃗cm=p⃗sysmsys=0⃗100 kg=0⃗\vec{V}_{\mathrm{cm}} = \frac{\vec{p}_{\mathrm{sys}}}{m_{\mathrm{sys}}} = \frac{\vec{0}}{100\ \mathrm{kg}} = \vec{0}

押し合う前にゼロで、内力では変えられないので、押し合ったあともゼロです。5.0 s5.0\ \mathrm{s} の間に質量中心が移動する距離は 0 m です。2人は氷の上に固定された1点をはさんでつり合うように離れていきます。スケーター1が西へ 15 m15\ \mathrm{m} 進む間にスケーター2は東へ 10 m10\ \mathrm{m} 進み、これらの変位を質量で重みづけした平均はゼロです。

問4 · 応用：運動量はどこかへ行く

条件：20 m s−120\ \mathrm{m\,s^{-1}} で飛んできた 0.15 kg0.15\ \mathrm{kg} のボールが、地球に固定された壁に当たり、同じ直線に沿ってまっすぐ 16 m s−116\ \mathrm{m\,s^{-1}} ではね返ります。ボールだけを系、それ以外のすべてを外界とし、x^\hat{x} を飛んでくる向きにとります。Δp⃗sur\Delta\vec{p}_{\mathrm{sur}} を求めてください。

✅ 正解です！ ボールは 5.4 kg m s−15.4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} を失い、壁と地球はちょうどそれだけを受け取ります：Δp⃗sys+Δp⃗sur=0⃗\Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} + \Delta\vec{p}_{\mathrm{sur}} = \vec{0}。
❌ 惜しい！ボールは向きを変えています。 終わりの速度は +16+16 ではなく −16 m s−1-16\ \mathrm{m\,s^{-1}} なので、速さの変化 20−16=420 - 16 = 4 は運動量の変化ではありません。符号つきの運動量どうしを引き算してください。
❌ 惜しい！ 質量がとても大きいと、測れないほど小さくなるのは速度の変化であって、運動量の変化ではありません。m→∞m \to \infty、Δv→0\Delta v \to 0 でも、Δp=m Δv\Delta p = m\,\Delta v は有限のままです。
❌ 符号を確かめてください。 それはボールの変化 Δp⃗sys\Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} です。外界の変化はその逆です：Δp⃗sur=−Δp⃗sys\Delta\vec{p}_{\mathrm{sur}} = -\Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}}。
解答を見る

ステップ1：系の運動量の変化。 x^\hat{x} を飛んでくる向きにとると、はね返ったあとの速度は負になります。

p⃗sys,i=(0.15)(+20)=+3.0 kg m s−1,p⃗sys,f=(0.15)(−16)=−2.4 kg m s−1\vec{p}_{\mathrm{sys},i} = (0.15)(+20) = +3.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, \qquad \vec{p}_{\mathrm{sys},f} = (0.15)(-16) = -2.4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} Δp⃗sys=−2.4−(+3.0)=−5.4 kg m s−1\Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} = -2.4 - (+3.0) = -5.4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}

ステップ2：外界に受け渡す。 壁がボールにおよぼす力は外力で、その第三法則の相手は外界にはたらきます。ですから、2つの変化は打ち消し合わなければなりません。

Δp⃗sys+Δp⃗sur=0⃗  ⟹  Δp⃗sur=+5.4 kg m s−1\Delta\vec{p}_{\mathrm{sys}} + \Delta\vec{p}_{\mathrm{sur}} = \vec{0} \;\Longrightarrow\; \Delta\vec{p}_{\mathrm{sur}} = +5.4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}

地球が影響を受けないように見える理由。 地球の質量はおよそ 6×1024 kg6 \times 10^{24}\ \mathrm{kg} なので

ΔV≈5.46×1024≈9×10−25 m s−1\Delta V \approx \frac{5.4}{6 \times 10^{24}} \approx 9 \times 10^{-25}\ \mathrm{m\,s^{-1}}

となり、まったく測れません。それでも受け渡された運動量は、ごく普通の 5.4 kg m s−15.4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} です。系をボール＋壁＋地球に広げると、壁の力は内力になります。その系は孤立していて、運動量はまったく変化しません。

正解数：0 / 4