古典力学 · 第12回 · 動画5 · インタラクティブ教材

運動量の問題は式の前に決まる：系と向きの選び方

I重要な公式

公式名称必要なもの
F⃗ ext=dp⃗sysdt\vec{F}^{\,\text{ext}} = \dfrac{d\vec{p}_{\text{sys}}}{dt}系に対する第二法則境界：それを越える力だけが効く
I⃗=F⃗ave ext Δtint=Δp⃗sys\vec{I} = \vec{F}^{\,\text{ext}}_{\text{ave}}\,\Delta t_{\text{int}} = \Delta\vec{p}_{\text{sys}}積分形（力積の形）積：どちらか一方の因子が小さければ小さい
psys,x,i=psys,x,fp_{\text{sys},x,i} = p_{\text{sys},x,f}1つの向きについての一定Fx ext=0F^{\,\text{ext}}_x = 0 の向きだけ
m1(vx,i)1+m2(vx,i)2=m1(vx,f)1+m2(vx,f)2m_1(v_{x,i})_1 + m_2(v_{x,i})_2 = m_1(v_{x,f})_1 + m_2(v_{x,f})_2実際に解く式衝突前後の運動量の図：直前と直後

ポイント： F⃗ ext=dp⃗sys/dt\vec{F}^{\,\text{ext}} = d\vec{p}_{\text{sys}}/dt はベクトルの式なので、「運動量は一定か」は決して1つの問いではなく、向きごとに1つずつある問いです。そして、一定はゼロではありません。psys,yp_{\text{sys},y} が刻一刻と変わっている間も、psys,xp_{\text{sys},x} はゼロでない一定の値を保てます。

II境界の引き方が物理を決める

衝突も力も同じです。それでも、どの力が外力になるかは、何を境界で囲むかによって決まります。

III衝突前後の運動量の図がそのまま式になる

4つの速度のうち3つは自由に選べます。残りの1つは、pxp_x が一定であることから決まります。

💡 pxp_x が一定であることから得られる式はちょうど1本なので、決められる未知数もちょうど1つです。終わりの速度が2つとも未知の問題を解ききるには、弾性衝突、完全非弾性衝突、あるいは測定された終わりの速さといった、2つめの条件が必要です。

IV外力がはたらいても pp が一定とみなせるとき

衝突の間ずっと外力がはたらいていても、それが与える力積は無視できることがあります。

V確認クイズ

問1 · 系の選び方

条件：水平で摩擦のないレールの上で、2台の台車が衝突します。系を台車1＋台車2と定めます。力の分類とその帰結を正しく述べているのはどれですか？

✅ 正解です！ 接触力の対はすべて境界の内側にあり、鉛直方向の2つの外力の和はゼロです。ですから、どちらの向きでも dp⃗sys/dt=0⃗d\vec{p}_{\text{sys}}/dt = \vec{0} です。
❌ 惜しい！ 力が外力になるのは、その力をおよぼすものが境界の外側にあるときだけです。台車1も台車2も内側にあるので、両者がおよぼし合う力の対は境界を越えません。
❌ 惜しい！ 重力は外力ですが、レールからの垂直抗力も外力で、水平なレールの上では両者は打ち消し合います：F⃗ ext=0⃗\vec{F}^{\,\text{ext}} = \vec{0}。
❌ 一定はゼロではありません。 この2つは別の主張です。一定の 6 kg m/s6\ \text{kg}\,\text{m/s} でレールの上を進む系の psys,xp_{\text{sys},x} は、一定であって、はっきりゼロではありません。
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すべての力を、それをおよぼすものが境界に対してどこにあるかで分類します。

  • 台車1が台車2におよぼす力と、台車2が台車1におよぼす力：どちらもおよぼすものは内側 → 内力。内力は対になって打ち消し合い、F⃗ ext\vec{F}^{\,\text{ext}} には残りません。
  • 地球がそれぞれの台車におよぼす力（下向きの migm_ig）と、レールがそれぞれの台車におよぼす力（上向きの NiN_i）：およぼすものは外側 → 外力。

水平なレールの上では台車に鉛直方向の加速度はないので、∑Ni=∑mig\sum N_i = \sum m_ig であり

Fx ext=0,Fy ext=∑Ni−∑mig=0.F^{\,\text{ext}}_x = 0, \qquad F^{\,\text{ext}}_y = \sum N_i - \sum m_i g = 0 .

F⃗ ext=dp⃗sys/dt=0⃗\vec{F}^{\,\text{ext}} = d\vec{p}_{\text{sys}}/dt = \vec{0} なので、系の運動量の2つの成分はどちらも一定です。その値がたまたまゼロでなくても変わりません。

問2 · 向きごとに1つの問い

条件：2.0 kg2.0\ \text{kg} の投射体を、水平から 30°30\degree 上向きに 20 m/s20\ \text{m/s} で投げ出します。空気抵抗は無視でき、系は投射体だけとします。飛行について正しく述べているのはどれですか？

✅ 正解です！ 重力には xx 成分がないので dpsys,x/dt=0dp_{\text{sys},x}/dt = 0 となり、psys,xp_{\text{sys},x} は投げ出したときの値 2.0(20cos⁡30°)=34.6≈35 kg m/s2.0(20\cos 30\degree) = 34.6 \approx 35\ \text{kg}\,\text{m/s} を保ちます。
❌ 惜しい！ 重力は外力で、−ȷ^-\hat{\jmath} の向きを向いています。Fy ext=−mg≠0F^{\,\text{ext}}_y = -mg \neq 0 なので、psys,yp_{\text{sys},y} は刻一刻と変わります。
❌ 軸が入れ替わっています。 力のはたらかない向きとは、外力の成分がない向きのことです。それは yy ではなく xx です。
❌ 最高点を確かめてください。 そこでゼロになるのは vyv_y だけです。投射体はまだ水平に動いているので、p⃗=35 ı^ kg m/s≠0⃗\vec{p} = 35\,\hat{\imath}\ \text{kg}\,\text{m/s} \neq \vec{0} です。
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系に対する第二法則を成分ごとに当てはめます。

Fx ext=0  ⇒  dpsys,xdt=0,Fy ext=−mg  ⇒  dpsys,ydt=−mg≠0.F^{\,\text{ext}}_x = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dp_{\text{sys},x}}{dt} = 0, \qquad F^{\,\text{ext}}_y = -mg \;\Rightarrow\; \frac{dp_{\text{sys},y}}{dt} = -mg \neq 0 .

ですから、一定になるのは xx 方向です。その値は、投げ出したときに一度だけ決まります。

psys,x=m vcos⁡θ=(2.0)(20)cos⁡30°=(2.0)(17.32)=34.6 kg m/s.p_{\text{sys},x} = m\,v\cos\theta = (2.0)(20)\cos 30\degree = (2.0)(17.32) = 34.6\ \text{kg}\,\text{m/s}.

一方、psys,yp_{\text{sys},y} は投げ出したときの +20 kg m/s+20\ \text{kg}\,\text{m/s} から、最高点で 00 を通り、落ちてくる途中の同じ高さで −20 kg m/s-20\ \text{kg}\,\text{m/s} になります。まったく同じ問題の中で、一方の軸では一定、もう一方の軸では変化しているのです。

問3 · 計画を実行する

条件：摩擦のないレールの上で、台車1（m1=2.0 kgm_1 = 2.0\ \text{kg}）が (vx,i)1=+6.0 m/s(v_{x,i})_1 = +6.0\ \text{m/s} で、(vx,i)2=−1.5 m/s(v_{x,i})_2 = -1.5\ \text{m/s} で動く台車2（m2=4.0 kgm_2 = 4.0\ \text{kg}）に向かって進みます。衝突のあと (vx,f)1=−1.0 m/s(v_{x,f})_1 = -1.0\ \text{m/s} です。(vx,f)2(v_{x,f})_2 を求めてください。xx の正の向きは右向きで、記号はすべて成分を表します。

psys,x,ip_{\text{sys},x,i} はいくらですか？

(vx,f)2(v_{x,f})_2 はいくらですか？

✅ 正解です！ 台車2は向きを変えます。−1.5 m/s-1.5\ \text{m/s} でやって来て +2.0 m/s+2.0\ \text{m/s} で離れていき、台車1は後ろ向きにはね返ります。
❌ 大きさではなく符号です。 (vx,i)2(v_{x,i})_2 は成分で、負の値です。その項は +6.0+6.0 ではなく 4.0(−1.5)=−6.04.0(-1.5) = -6.0 です。
❌ 速度ではなく運動量です。 それぞれの速度に、その物体の質量で重みをつけなければなりません。保存されるのは ∑v\sum v ではなく ∑mv\sum mv です。
❌ 終わりの項を確かめてください。 (vx,f)1=−1.0 m/s(v_{x,f})_1 = -1.0\ \text{m/s} なので m1(vx,f)1=−2.0 kg m/sm_1(v_{x,f})_1 = -2.0\ \text{kg}\,\text{m/s} で、等号の反対側に移すと 2.02.0 を足すことになります。
❌ 直前の状態の和を確かめてください。 符号つきの項を足します：m1(vx,i)1+m2(vx,i)2m_1(v_{x,i})_1 + m_2(v_{x,i})_2。
❌ 直後の状態の和を確かめてください。 m1(vx,f)1+m2(vx,f)2m_1(v_{x,f})_1 + m_2(v_{x,f})_2 を直前の状態の値と等しいとおいて解きます。
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ステップ1：pxp_x は一定か？ レールは摩擦がなく水平で、接触力は内力なので、Fx ext=0F^{\,\text{ext}}_x = 0 であり psys,x,i=psys,x,fp_{\text{sys},x,i} = p_{\text{sys},x,f} です。

ステップ2：直前の状態。

psys,x,i=m1(vx,i)1+m2(vx,i)2=(2.0)(+6.0)+(4.0)(−1.5)=12.0−6.0=+6.0 kg m/sp_{\text{sys},x,i} = m_1(v_{x,i})_1 + m_2(v_{x,i})_2 = (2.0)(+6.0) + (4.0)(-1.5) = 12.0 - 6.0 = +6.0\ \text{kg}\,\text{m/s}

ステップ3：直後の状態（同じ形）。

psys,x,f=m1(vx,f)1+m2(vx,f)2=(2.0)(−1.0)+(4.0)(vx,f)2p_{\text{sys},x,f} = m_1(v_{x,f})_1 + m_2(v_{x,f})_2 = (2.0)(-1.0) + (4.0)(v_{x,f})_2

ステップ4：等しいとおいて解く。

+6.0=−2.0+4.0 (vx,f)2  ⟹  (vx,f)2=8.04.0=+2.0 m/s+6.0 = -2.0 + 4.0\,(v_{x,f})_2 \;\Longrightarrow\; (v_{x,f})_2 = \frac{8.0}{4.0} = +2.0\ \text{m/s}

振り返り：どの行でも単位は kg m/s\text{kg}\,\text{m/s} です。成分が正なので、台車2は最終的に +ı^+\hat{\imath} の向きに動きます。これは、左から来た台車1に当てられたときに起こるはずの向きの反転です。確認：2.0(−1.0)+4.0(+2.0)=+6.0 ✓2.0(-1.0) + 4.0(+2.0) = +6.0\ \checkmark

問4 · 力積は無視できるか？

条件：同じ2台の台車（msys=6.0 kgm_{\text{sys}} = 6.0\ \text{kg}、psys,x=6.0 kg m/sp_{\text{sys},x} = 6.0\ \text{kg}\,\text{m/s}）が、動摩擦のあるレール（μk=0.20\mu_k = 0.20）の上で衝突し、接触は Δtint=1.0 ms\Delta t_{\text{int}} = 1.0\ \text{ms} 続きます。g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2 とします。接触の間に摩擦が奪う psys,xp_{\text{sys},x} の割合を見積もってください。

✅ 正解です！ 摩擦は本物の外力ですが、1.0 ms1.0\ \text{ms} はすでに存在している運動量に比べて短いので、Δpsys→0\Delta p_{\text{sys}} \to 0 となり、運動量を一定とおくことが正当化されます。
❌ 力積の計算を確かめてください。 I=fk ΔtintI = f_k\,\Delta t_{\text{int}} で、Δtint=1.0×10−3 s\Delta t_{\text{int}} = 1.0 \times 10^{-3}\ \text{s} です。10−1 s10^{-1}\ \text{s} ではありません。
❌ 力と運動量を比べています。 fk/psys=11.8/6.0≈2f_k/p_{\text{sys}} = 11.8/6.0 \approx 2 の単位は s−1\text{s}^{-1} です。まず Δtint\Delta t_{\text{int}} をかけなければなりません。力積は積なので、どちらの因子が小さくても小さくなります。
❌ 惜しい！ 力積は2段階で組み立てます。fk=μkmsysgf_k = \mu_k m_{\text{sys}} g、次に I=fk ΔtintI = f_k\,\Delta t_{\text{int}} を求め、そのあとで初めて psys,xp_{\text{sys},x} で割ります。
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ステップ1：外力の大きさを求める。

fk=μkmsysg=(0.20)(6.0)(9.8)=11.8 Nf_k = \mu_k m_{\text{sys}} g = (0.20)(6.0)(9.8) = 11.8\ \text{N}

ステップ2：力積に直す。 積分形 I=Fave extΔtintI = F^{\,\text{ext}}_{\text{ave}}\Delta t_{\text{int}} を使います。

I=(11.8)(1.0×10−3)=1.2×10−2 kg m/sI = (11.8)(1.0 \times 10^{-3}) = 1.2 \times 10^{-2}\ \text{kg}\,\text{m/s}

ステップ3：すでに存在している運動量と比べる。

∣Fave ext∣ Δtint∣psys,x∣=1.2×10−26.0=2.0×10−3=0.20%\frac{|F^{\,\text{ext}}_{\text{ave}}|\,\Delta t_{\text{int}}}{|p_{\text{sys},x}|} = \frac{1.2 \times 10^{-2}}{6.0} = 2.0 \times 10^{-3} = 0.20\%

∣Fave ext∣Δtint≪∣psys∣|F^{\,\text{ext}}_{\text{ave}}|\Delta t_{\text{int}} \ll |p_{\text{sys}}| なので、Δpsys≈0\Delta p_{\text{sys}} \approx 0 とおき、衝突の間は psys,x,i=psys,x,fp_{\text{sys},x,i} = p_{\text{sys},x,f} を使います。

短さに絶対的な基準はありません。 同じ 1.0 ms1.0\ \text{ms} の接触でも、運動量が 0.06 kg m/s0.06\ \text{kg}\,\text{m/s} しかない系にとっては 20%20\% の補正になります。また、衝突の前後の長い滑走の間には、摩擦はやはり運動量を減らしていきます。それは別の時間間隔についての、別の問いです。

正解数：0 / 4