古典力学 · 第12回 · 動画7 · インタラクティブ教材

引っかかりと滑走：一つの着陸、二種類の物理

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$m_p v_{p,i} = (m_p + m_s)\,v_{p,1}$	引っかかりの前後の運動量	2つの質量と着陸の速さ
$f_k = \mu_k N_{g,s} = \mu_k m_s g$	砂袋にはたらく動摩擦力	$\mu_k$ と砂袋だけの質量
$a_x = -\dfrac{F_{g,p} + \mu_k m_s g}{m_p + m_s}$	一体になった2物体のニュートンの第二法則	減速させる2つの力と、合わせた質量
$x_p(t_f) = \dfrac{(m_p + m_s)\,v_{p,1}^{\,2}}{2\left(F_{g,p} + \mu_k m_s g\right)} = \dfrac{m_p^{\,2} v_{p,i}^{\,2}}{2(m_p + m_s)\left(F_{g,p} + \mu_k m_s g\right)}$	停止距離	与えられた量と $g$ だけ

ポイント： 停止距離は、運動エネルギーを減速させる力の合計で割ったものです。そして運動量の段階から力の段階へ渡るのは、ただ一つの数 $v_{p,1}$ だけです。

II第一段階 — 引っかかり

飛行機が引っかかりに持ち込んだ運動量をちょうど運べる共通の速さは、いくらでしょうか。

引っかかった直後の共通の速さ (m/s) 22.0

💡 引っかかりは一瞬の出来事として扱うので、そのあいだに摩擦力とブレーキが与える力積は無視できます。 $p_{x,i} = p_{x,1}$ と書いてよいのは、ただそれだけの理由です。

III誰の重さが滑走路に届くか

砂袋の垂直抗力を決められるのは、実際に砂袋にかかっているものだけです。これを間違えると、何が狂うでしょうか。

砂袋を通して押しつける重さ動摩擦係数 0.40

IV第二段階 — 滑走

加速度が一定なので、引っかかった直後の速さが距離に変わります。運動エネルギー ÷ 減速させる力の合計です。

引っかかってからの時間 (s) 0.0

V確認クイズ

問1 · フックが引っかかった直後の速さ

条件： $1500\ \text{kg}$ の飛行機が $30\ \text{m/s}$ で走りながら、静止している $300\ \text{kg}$ の砂袋を引っかけて引きずっていきます。引っかかった直後の共通の速さ $v_{p,1}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 系の質量は

20\%

増え、速さは

83\%

を保ちました。運動量

45\,000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

は変わりません。

❌ 比が逆さまです。 運動量が一定のまま質量が増えれば、速さは下がるはずです。したがって倍率は

m_p/(m_p+m_s)

、つまり

1

より小さい数で、その逆数ではありません。

❌ 惜しい！ 引っかかりの前後で保たれるのは、速さではなく運動量です。同じ

45\,000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

を、今度は

1800\ \text{kg}

で運ばなければなりません。

❌ 分子の質量が違います。

m_s/(m_p+m_s)

を使っています。運動量を持ち込んだのは飛行機なので、分子は

m_p

です。

解答を見る

引っかかりは一瞬なので、水平方向の運動量は直前と直後で同じです。

m_p v_{p,i} = (m_p + m_s)\,v_{p,1}

v_{p,1} = \frac{m_p}{m_p + m_s}\,v_{p,i} = \frac{1500}{1800}\,(30\ \text{m/s}) = 25\ \text{m/s}

確認： 直前は $p = (1500)(30) = 45\,000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ 、直後は $p = (1800)(25) = 45\,000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ です。

問2 · 摩擦力を決めるのはどの質量か

条件： $900\ \text{kg}$ の飛行機が、水平なケーブルで $150\ \text{kg}$ の砂袋を滑走路に沿って引きずっています。 $\mu_k = 0.5$ 、 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ です。砂袋にはたらく動摩擦力 $f_k$ を求めてください。

✅ 正解です！ 砂袋を通して滑走路を押すのは砂袋自身の重さだけなので、

N_{g,s} = m_s g = 1470\ \text{N}

、

f_k = \mu_k N_{g,s} = 735\ \text{N}

です。

❌ それは典型的なわなです。 全質量

1050\ \text{kg}

を使っています。飛行機の重さは飛行機自身の車輪にかかっていて、砂袋を通して地面に届くことはありません。

❌ それは摩擦力ではなく垂直抗力です。

1470\ \text{N} = m_s g = N_{g,s}

に、まだ

\mu_k = 0.5

をかける必要があります。

❌ 物体が違います。

900\ \text{kg}

は飛行機の質量です。必要な鉛直方向の式は、砂袋だけについて書きます。

解答を見る

ステップ1 — 砂袋だけについての鉛直方向の式。 砂袋には鉛直方向の加速度がなく、ケーブルは水平に引くので、鉛直方向には何も寄与しません。

N_{g,s} - m_s g = 0 \quad\Longrightarrow\quad N_{g,s} = (150\ \text{kg})(9.8\ \text{m/s}^2) = 1470\ \text{N}

ステップ2 — 動摩擦力。

f_k = \mu_k N_{g,s} = (0.5)(1470\ \text{N}) = 735\ \text{N}

代わりに全質量を使うと $f_k = (0.5)(1050)(9.8) = 5145\ \text{N}$ となり、ここでは7倍も大きすぎます。停止距離も同じくらいの割合で縮んでしまいます。

問3 · 2つの段階を通して解く

条件： $800\ \text{kg}$ の飛行機が $36\ \text{m/s}$ で接地し、すぐに $100\ \text{kg}$ の砂袋を引っかけます。 $\mu_k = 0.5$ で、ブレーキが一定の $1310\ \text{N}$ の制動力を加え、 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ です。引っかかった直後の速さと、引っかかった地点から静止するまでに進む距離を求めてください。

引っかかった直後の速さは？

引っかかった地点から静止するまでの距離は？

✅ 正解です！

v_{p,1} = 32\ \text{m/s}

から一定の

a_x = -2.0\ \text{m/s}^2

で減速し、

x = v_{p,1}^{\,2}/(2|a_x|) = 256\ \text{m}

です。

❌ 比が逆になっています。

v_{p,1} = m_p v_{p,i}/(m_p+m_s)

です。合わせた質量は分母に入るので、速さは下がるはずです。

❌ 第一段階を確かめましょう。 引っかかりの前後で運動量は保存されます：

(800)(36) = (900)\,v_{p,1}

。

❌ 第二段階に渡す速さが違います。

324\ \text{m}

は接地の速さ

36\ \text{m/s}

を使っています。滑走は、引っかかった直後の速さ

32\ \text{m/s}

から始まります。

❌ 摩擦力に使った質量が違います。

N = m_s g

とすると、摩擦力は

490\ \text{N}

です。

(0.5)(900)(9.8) = 4410\ \text{N}

ではありません。

❌ 力が1つ足りません。

9.4 \times 10^2\ \text{m}

は摩擦力だけから出した値です。ブレーキがさらに

1310\ \text{N}

を後ろ向きに加えます。

❌ 第二段階を確かめましょう。 減速させる2つの力を足し、合わせた質量

900\ \text{kg}

で割ってから、

x = v_{p,1}^{\,2}/(2|a_x|)

を使います。

解答を見る

第一段階 — 引っかかりの前後の運動量：

v_{p,1} = \frac{m_p v_{p,i}}{m_p + m_s} = \frac{(800)(36)}{900} = 32\ \text{m/s}

第二段階 — 一体になった2物体にはたらく力。 滑走路を押すのは砂袋だけです。

f_k = \mu_k m_s g = (0.5)(100)(9.8) = 490\ \text{N}

F_{g,p} + f_k = 1310 + 490 = 1800\ \text{N}

a_x = -\frac{1800\ \text{N}}{900\ \text{kg}} = -2.0\ \text{m/s}^2

第二段階 — 運動学。 $32\ \text{m/s}$ から止まるまで：

x = -\frac{v_{p,1}^{\,2}}{2 a_x} = \frac{(32\ \text{m/s})^2}{2(2.0\ \text{m/s}^2)} = 256\ \text{m}

エネルギーで読む： $x = \tfrac{1}{2}(900)(32)^2 / 1800 = 460\,800/1800 = 256\ \text{m}$ 。引っかかった直後の運動エネルギーを、減速させる力の合計で割ったものです。

問4 · 着陸の速さを変える

条件： 閉じた形 $x_p(t_f) = \dfrac{m_p^{\,2} v_{p,i}^{\,2}}{2(m_p+m_s)\left(F_{g,p} + \mu_k m_s g\right)}$ が与えられています。2機目の飛行機はすべての点で同じですが、 $2v_{p,i}$ で接地します。引っかかった直後の速さと停止距離がそれぞれ何倍になるかを求めてください。

引っかかった直後の速さ $v_{p,1}$ は何倍になりますか？

停止距離 $x_p(t_f)$ は何倍になりますか？

✅ 正解です！

v_{p,1} \propto v_{p,i}

ですが

x_p \propto v_{p,i}^{\,2}

なので、元の

382\ \text{m}

は約

1.5\ \text{km}

になります。その一方で、減速の加速度はまったく変わりません。

❌ 第一段階を確かめましょう。

v_{p,1} = m_p v_{p,i}/(m_p+m_s)

は

v_{p,i}

にちょうど比例します。質量の因子は変わりません。

❌ 比例して増えるのは速さだけです。 距離には

v_{p,i}^{\,2}

が入ります。距離は、運動エネルギーを速さによらない力で割ったものだからです。

❌ 増え方が急すぎます。

v_{p,i}

は分子に2乗で現れるだけで、ほかのどこにも現れません。したがって

2^2 = 4

で、

2^3

ではありません。

❌ 指数を見ましょう。

x_p(t_f)

のほかの記号はすべて変わらないので、倍率はちょうど

(2)^2

です。これは

v_{p,i}^{\,2}

から来ます。

解答を見る

第一段階。 質量は変わらないので、

v_{p,1}' = \frac{m_p (2 v_{p,i})}{m_p + m_s} = 2 v_{p,1}

第二段階。 加速度 $a_x = -(F_{g,p} + \mu_k m_s g)/(m_p+m_s)$ には速さがまったく含まれないので、どちらの飛行機でも同じです。距離は

x_p = \frac{v_{p,1}^{\,2}}{2|a_x|} \quad\Longrightarrow\quad x_p' = \frac{(2 v_{p,1})^2}{2|a_x|} = 4\,x_p

閉じた形からも同じ結論が見てとれます。 $v_{p,i}$ は $v_{p,i}^{\,2}$ の形でしか現れないので、2倍にすると距離は $4$ 倍になります。動画の $382\ \text{m}$ は $1528\ \text{m}$ になり、停止時間は $21.4\ \text{s}$ から $42.8\ \text{s}$ へと2倍になります。

正解数：0 / 4