古典力学 · 第13回 · 動画2 · インタラクティブ教材

同じ投球、二つの答え：円周上の相対速度と台車の反動

I重要な公式

公式名称必要なもの
r⃗ ′=r⃗−R⃗v⃗=v⃗ ′+V⃗\vec{r}\,' = \vec{r} - \vec{R} \qquad \vec{v} = \vec{v}\,' + \vec{V}座標系の関係式 — 速度の合成則動く座標系の位置 R⃗\vec{R}
v⃗ ′=2ωℓcos⁡θ i^\vec{v}\,' = 2\omega\ell\cos\theta\,\hat{i}円周上での bb に対する aa の速度固定された i^,j^\hat{i},\hat{j} に分解した r^a, r^b\hat{r}_a,\ \hat{r}_b
vf,cart=m3v0cos⁡θm1+m2+m3v_{f,\mathrm{cart}} = \dfrac{m_3 v_0\cos\theta}{m_1+m_2+m_3}pxp_x の保存から得られる反動の速さ地上の座標系に変換した投球
tan⁡φ=m1+m2+m3m1+m2 tan⁡θ\tan\varphi = \dfrac{m_1+m_2+m_3}{m_1+m_2}\,\tan\theta地上から測った投射角地上の座標系でのボールの両方の成分

ポイント： 動く座標系で測った量は、地上の座標系で書いた保存則に入れる前に、必ず v⃗=v⃗ ′+V⃗\vec{v} = \vec{v}\,' + \vec{V} を通さなければなりません。ボールを放す瞬間には台車はすでに後ろへすべっているので、地上の座標系でのボールの xx 方向の速度は v0cos⁡θv_0\cos\theta ではなく v0cos⁡θ−vf,cartv_0\cos\theta - v_{f,\mathrm{cart}} です。

II円周上の2つの粒子

どちらの粒子も同じ速さ ωℓ\omega\ell を保つのに、相対的な速さは 2ωℓ2\omega\ell とゼロのあいだで振動します。

III台車の反動

地上の座標系から見ると、同じ投球でも水平方向の速度は小さく、鉛直方向の速度は同じです。では、どれだけ小さいのでしょうか。

💡 ここでは鉛直方向の運動量は保存されません。ボールを上に投げ上げるために人は台車を下に押すので、投げているあいだ、地面は N>(m1+m2+m3)gN > (m_1+m_2+m_3)g で押し返します。

IV地上から見た角度

地上の観測者に、投げた本人の狙いより浅い角度で投げたように見える質量の組み合わせはあるでしょうか。

💡 m3≫m1+m2m_3 \gg m_1+m_2 のとき、軽い台車はほぼ v0cos⁡θv_0\cos\theta の速さで後ろへはじき飛ばされ、重いボールには鉛直方向の速度 v0sin⁡θv_0\sin\theta だけが残ります。だからボールが単に遠くへ飛ぶのではなく、φ→90°\varphi \to 90\degree となるのです。

V確認クイズ

問1 · 円周上の相対的な速さ

条件： 粒子 aa と bb が、半径 ℓ\ell の円周上を角速度 ω\omega で反対向きに回ります。どちらも円のてっぺんから出発します。それぞれが鉛直方向から θ=60°\theta = 60\degree だけ進んだとき、bb に対する aa の速さを求めてください。

✅ 正解です！ ∣v⃗ ′∣=2ωℓcos⁡60°=2ωℓ⋅12=ωℓ|\vec{v}\,'| = 2\omega\ell\cos 60\degree = 2\omega\ell\cdot\tfrac{1}{2} = \omega\ell です。粒子どうしはまだ離れていきますが、その割合はてっぺんでの半分にすぎません。
❌ それは θ=0\theta = 0 での値です。 2ωℓ2\omega\ell は出発の瞬間、つまり cos⁡θ=1\cos\theta = 1 のときの相対的な速さです。60°60\degree では、コサインは 12\tfrac{1}{2} まで下がっています。
❌ サインを使っています。 2ℓsin⁡θ2\ell\sin\theta は粒子間の距離 ∣r⃗ ′∣|\vec{r}\,'| です。これを微分するとコサインが出てくるので、相対速度には cos⁡θ\cos\theta が付きます。
❌ 速さが等しくても、速度が等しいとは限りません。 相対速度が消えるのは、2つの速度ベクトルが一致するとき、つまりどちらも真下を向く θ=90°\theta = 90\degree のときだけです。
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ステップ1 — 回転する単位ベクトルで両方の位置を書く。 SS 系の原点を円の中心に置き、S′S' 系を bb と一緒に動かすと、R⃗=ℓr^b\vec{R} = \ell\hat{r}_b、r⃗=ℓr^a\vec{r} = \ell\hat{r}_a です。

r⃗ ′=r⃗−R⃗=ℓr^a−ℓr^b\vec{r}\,' = \vec{r} - \vec{R} = \ell\hat{r}_a - \ell\hat{r}_b

ステップ2 — 回転する単位ベクトルを固定された成分に分解する（問題を解けるものにする一手です）。θ=ωt\theta = \omega t を鉛直方向から測り、2つの粒子が鉛直軸について鏡映の位置にあることを使うと、

r^a=sin⁡θ i^+cos⁡θ j^,r^b=−sin⁡θ i^+cos⁡θ j^\hat{r}_a = \sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j}, \qquad \hat{r}_b = -\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j} r⃗ ′=ℓ(2sin⁡θ)i^=2ℓsin⁡θ i^\vec{r}\,' = \ell\big(2\sin\theta\big)\hat{i} = 2\ell\sin\theta\,\hat{i}

cos⁡θ j^\cos\theta\,\hat{j} の項は打ち消し合います。相対位置はいつも水平です。

ステップ3 — 微分する。 時間によるのは θ\theta だけで、dθ/dt=ωd\theta/dt = \omega なので、

v⃗ ′=ddt(2ℓsin⁡θ)i^=2ℓcos⁡θ dθdt i^=2ωℓcos⁡θ i^\vec{v}\,' = \frac{d}{dt}\big(2\ell\sin\theta\big)\hat{i} = 2\ell\cos\theta\,\frac{d\theta}{dt}\,\hat{i} = 2\omega\ell\cos\theta\,\hat{i}

ステップ4 — θ=60°\theta = 60\degree で値を求める。

∣v⃗ ′∣=2ωℓcos⁡60°=ωℓ|\vec{v}\,'| = 2\omega\ell\cos 60\degree = \omega\ell

どちらの粒子の速さも一定の ωℓ\omega\ell なのに、相対的な速さはてっぺんでの 2ωℓ2\omega\ell から両脇での 00 まで変わります。相対速度は、速さだけでなく向きによって決まるのです。

問2 · 正しい運動量の式はどれか

条件： 摩擦のない台車（m2m_2）に乗った人（m1m_1）が、ボール（m3m_3）を、台車の上で測って速さ v0v_0、角度 θ\theta で投げます。台車は速さ vf,cartv_{f,\mathrm{cart}} で −i^-\hat{i} の向きに反動を受けます。地上の座標系での運動量の xx 成分の保存を正しく表した式を求めてください。

✅ 正解です！ これで式の中の速度はすべて地上の座標系での速度になっています。ボールの速度は v⃗  ⁣f,ball′+V⃗\vec{v}\,'_{\!f,\mathrm{ball}} + \vec{V} で、V⃗=−vf,carti^\vec{V} = -v_{f,\mathrm{cart}}\hat{i} です。
❌ これが動画で注意した、座標系の取り違えです。 v0cos⁡θv_0\cos\theta は台車の上で測った値ですが、保存則は地上の座標系で書いています。ボールが手を離れるとき、台車はすでに後ろへすべっています。
❌ 考え方は正しいのですが、V⃗\vec{V} の符号が違います。 台車は −i^-\hat{i} の向きに動くので、座標系の速度を足すと、ボールの水平成分から vf,cartv_{f,\mathrm{cart}} が引かれることになります。
❌ それは xx 成分ではなく、速さそのものです。 水平方向の運動量の収支に入るのは v0cos⁡θv_0\cos\theta だけで、しかもそれを地上の座標系に変換しなければなりません。
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ステップ1 — 保存される成分。 投げる前はすべて静止しているので、px,0total=0p_{x,0}^{\mathrm{total}} = 0 です。車輪には摩擦がないので水平方向には外力がはたらかず、pxp_x はゼロのままです。

ステップ2 — 台車の寄与。 ボールが離れたあとは、人は台車と一緒に動きます。

p⃗f,cart=−(m1+m2) vf,cart i^\vec{p}_{f,\mathrm{cart}} = -(m_1+m_2)\,v_{f,\mathrm{cart}}\,\hat{i}

ステップ3 — 投球を変換する。 台車の座標系では v⃗  ⁣f,ball′=v0cos⁡θ i^+v0sin⁡θ j^\vec{v}\,'_{\!f,\mathrm{ball}} = v_0\cos\theta\,\hat{i} + v_0\sin\theta\,\hat{j} です。座標系そのものは V⃗=−vf,carti^\vec{V} = -v_{f,\mathrm{cart}}\hat{i} で動くので、

v⃗f,ball=v⃗  ⁣f,ball′+V⃗=(v0cos⁡θ−vf,cart)i^+v0sin⁡θ j^\vec{v}_{f,\mathrm{ball}} = \vec{v}\,'_{\!f,\mathrm{ball}} + \vec{V} = \big(v_0\cos\theta - v_{f,\mathrm{cart}}\big)\hat{i} + v_0\sin\theta\,\hat{j}

座標系は水平方向にしかすべらないので、鉛直成分は変わりません。

ステップ4 — まとめる。

0=−(m1+m2)vf,cart+m3(v0cos⁡θ−vf,cart)0 = -(m_1+m_2)v_{f,\mathrm{cart}} + m_3\big(v_0\cos\theta - v_{f,\mathrm{cart}}\big)

方程式が1つで、未知数も1つです。反動の項をまとめると vf,cart=m3v0cos⁡θm1+m2+m3v_{f,\mathrm{cart}} = \dfrac{m_3 v_0\cos\theta}{m_1+m_2+m_3} が得られます。

問3 · 投球に数値を入れる

条件： m1=60 kgm_1 = 60\ \mathrm{kg}（人）、m2=20 kgm_2 = 20\ \mathrm{kg}（台車）、m3=20 kgm_3 = 20\ \mathrm{kg}（ボール）で、台車の上で測って v0=10 m/sv_0 = 10\ \mathrm{m/s}、θ=60°\theta = 60\degree で投げます。台車の反動の速さと、地上の座標系でのボールの水平方向の速度を求めてください。cos⁡60°=12\cos 60\degree = \tfrac{1}{2} を使います。

台車の反動の速さ

ボールの水平方向の速度（地上の座標系）

✅ 正解です！ 帳簿を確かめましょう。20(4.0)=8020(4.0) = 80、(60+20)(1.0)=80(60+20)(1.0) = 80 です。ボールは、台車が後ろ向きに運ぶのとちょうど同じだけの水平方向の運動量を運んでいます。
❌ 分母とコサインを確かめましょう。 反動には3つの質量すべて m1+m2+m3=100 kgm_1+m_2+m_3 = 100\ \mathrm{kg} がかかわり、入るのは水平成分 v0cos⁡θ=5.0 m/sv_0\cos\theta = 5.0\ \mathrm{m/s} だけです。m3m_3 を落とすと 1.25 m/s1.25\ \mathrm{m/s}、cos⁡θ\cos\theta を落とすと 2.0 m/s2.0\ \mathrm{m/s} になります。
❌ 反動は引きます。足すのも、無視するのも誤りです。 5.0 m/s5.0\ \mathrm{m/s} は台車の座標系での値、6.0 m/s6.0\ \mathrm{m/s} は V⃗\vec{V} の符号を逆にした値、8.66 m/s8.66\ \mathrm{m/s} は鉛直成分 v0sin⁡θv_0\sin\theta です。
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ステップ1 — 台車の座標系での成分。

v0cos⁡θ=10⋅12=5.0 m/s,v0sin⁡θ=10⋅32=8.66 m/sv_0\cos\theta = 10\cdot\tfrac{1}{2} = 5.0\ \mathrm{m/s}, \qquad v_0\sin\theta = 10\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 8.66\ \mathrm{m/s}

ステップ2 — 反動の速さ。

vf,cart=m3v0cos⁡θm1+m2+m3=20⋅5.060+20+20=100100=1.0 m/sv_{f,\mathrm{cart}} = \frac{m_3 v_0\cos\theta}{m_1+m_2+m_3} = \frac{20 \cdot 5.0}{60+20+20} = \frac{100}{100} = 1.0\ \mathrm{m/s}

ステップ3 — 地上の座標系でのボール。

(vf,ball)x=v0cos⁡θ−vf,cart=5.0−1.0=4.0 m/s\big(v_{f,\mathrm{ball}}\big)_x = v_0\cos\theta - v_{f,\mathrm{cart}} = 5.0 - 1.0 = 4.0\ \mathrm{m/s}

整理した式を使っても同じで、m1+m2m1+m2+m3 v0cos⁡θ=80100(5.0)=4.0 m/s\dfrac{m_1+m_2}{m_1+m_2+m_3}\,v_0\cos\theta = \dfrac{80}{100}(5.0) = 4.0\ \mathrm{m/s} です。

ステップ4 — px=0p_x = 0 を確かめる。

−(80)(1.0)+(20)(4.0)=−80+80=0 ✓-(80)(1.0) + (20)(4.0) = -80 + 80 = 0\ \checkmark

鉛直成分は 8.66 m/s8.66\ \mathrm{m/s} のまま変わらないので、地上の観測者には、ボールが 4.02+8.662=9.54 m/s\sqrt{4.0^2 + 8.66^2} = 9.54\ \mathrm{m/s} で飛び出していくように見えます。投げた本人が感じた 10 m/s10\ \mathrm{m/s} より遅いのです。

問4 · 角度の食い違い

条件： 同じ投球（m1+m2=80 kgm_1+m_2 = 80\ \mathrm{kg}、m3=20 kgm_3 = 20\ \mathrm{kg}、θ=60°\theta = 60\degree、tan⁡60°=1.732\tan 60\degree = 1.732）について、地上の観測者が測る投射角 φ\varphi を求め、φ\varphi が θ\theta より小さくなる質量があるかどうかを判断してください。

地上の座標系での投射角

質量の選び方によっては φ<θ\varphi < \theta となりえますか？

✅ 正解です！ 反動は水平方向の速度を減らしますが、鉛直方向の速度には手をつけません。だから地上の座標系での向きは上に傾くしかないのです。
❌ 質量の比の向きを確かめましょう。 ボールの水平成分は m1+m2m1+m2+m3\tfrac{m_1+m_2}{m_1+m_2+m_3} 倍に小さくなるので、この因子は tan⁡φ\tan\varphi の分母に入り、tan⁡θ\tan\theta には比 10080=1.25\tfrac{100}{80} = 1.25 がかかります。0.8tan⁡θ0.8\tan\theta を使うと 54.2°54.2\degree、m1+m2+m3m3=5\tfrac{m_1+m_2+m_3}{m_3} = 5 を使うと 83.4°83.4\degree になります。
❌ それらの場合に変わるのは食い違いの大きさで、向きではありません。 ボールが重くても軽くても、tan⁡θ\tan\theta にかかる因子は 1+m3m1+m21 + \tfrac{m_3}{m_1+m_2} で、決して 11 より小さくなりません。
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ステップ1 — 地上の座標系での成分の比をとる。

tan⁡φ=(vf,ball)y(vf,ball)x=v0sin⁡θm1+m2m1+m2+m3 v0cos⁡θ\tan\varphi = \frac{\big(v_{f,\mathrm{ball}}\big)_y}{\big(v_{f,\mathrm{ball}}\big)_x} = \frac{v_0\sin\theta}{\dfrac{m_1+m_2}{m_1+m_2+m_3}\,v_0\cos\theta}

ステップ2 — v0v_0 を約分し、質量の比をひっくり返して分子に上げる。

tan⁡φ=m1+m2+m3m1+m2 tan⁡θ\tan\varphi = \frac{m_1+m_2+m_3}{m_1+m_2}\,\tan\theta

ステップ3 — 数値を入れる。

tan⁡φ=10080(1.732)=1.25(1.732)=2.165⟹φ≈65.2°\tan\varphi = \frac{100}{80}(1.732) = 1.25(1.732) = 2.165 \quad\Longrightarrow\quad \varphi \approx 65.2\degree

ステップ4 — 食い違いの向き。 因子を 1+m3m1+m21 + \dfrac{m_3}{m_1+m_2} と書きます。質量が正なら、これは必ず 11 より大きいので、常に tan⁡φ>tan⁡θ\tan\varphi > \tan\theta、φ>θ\varphi > \theta です。地上の観測者には、いつも投げた本人のつもりより急な角度で投げられたように見えます。

極限の場合。 m3≪m1+m2m_3 \ll m_1+m_2 なら因子 →1\to 1 で φ→θ\varphi \to \theta となります。重い台車はほとんど反動を受けません。m3≫m1+m2m_3 \gg m_1+m_2 なら tan⁡φ\tan\varphi は限りなく大きくなり、φ→90°\varphi \to 90\degree となります。重いボールには v0sin⁡θv_0\sin\theta だけが残り、軽い台車はほぼ v0cos⁡θv_0\cos\theta の速さで後ろへはじき飛ばされるのです。

正解数：0 / 4