古典力学 · 第14回 · 動画2 · インタラクティブ教材

運動エネルギー：なぜ速さの二乗なのか、運動学に隠れた仕事の式

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$K = \tfrac{1}{2}mv^2$	運動エネルギー	質量と速さ。 $K \ge 0$ のスカラー
$\Delta K = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2$	運動エネルギーの変化	始めと終わりの速さ
$a_x\,\Delta x = \tfrac{1}{2}v_{x,f}^2 - \tfrac{1}{2}v_{x,i}^2$	運動学の恒等式	1次元で $a_x$ が一定
$F_x\,\Delta x = K_f - K_i$	一定の力での結果	ニュートンの第二法則 $F_x = ma_x$

ポイント： $a_x\Delta x = \Delta\!\left(\tfrac{1}{2}v^2\right)$ は純粋な運動学です。両辺に質量 $m$ をかける、そのたった一手でエネルギーの物理に変わります。

II可視化1 — なぜ速さの二乗なのか

$K$ は一辺 $v$ の正方形の面積に比例するので、 $+10$ mph ごとに、前より幅の広い L 字が加わります。

車 B の始めの速さ 50 mph

III可視化2 — 同じ車を、動く観測者から見る

どの速度も観測者の速さの分だけ小さくなり、2つのエネルギー変化も、その比も一緒に変わります。

観測者の速さ

u

0 mph

IV可視化3 — 加速度 × 変位

$\tfrac{1}{2}v^2$ を位置に対してグラフにすると、加速度が一定なら傾き $a_x$ の直線になります。

加速度

a_x

(m/s²) 0.6 変位 Δx (m) 6.0

💡 この恒等式に $m$ をかけて $F_x = ma_x$ を使うと $F_x\,\Delta x = K_f - K_i$ となり、変化する力なら $\int_{x_i}^{x_f} F_x\,dx = K_f - K_i$ となります。これが、まもなく仕事と名づけられる量です。

V確認クイズ

問1 · $\Delta K$ を計算する

条件： 質量 $m = 1200\ \text{kg}$ の車が、一直線上で $v_i = 8.0\ \text{m/s}$ から $v_f = 12.0\ \text{m/s}$ まで速くなります。この車の運動エネルギーの変化を求めてください。

✅ 正解です！

\Delta K = \tfrac{1}{2}(1200)(144 - 64) = 600 \times 80 = 4.8 \times 10^4\ \text{J}

❌ 惜しい！ それは

\tfrac{1}{2}m(\Delta v)^2 = 600(4.0)^2

です。定義では、引き算の前にそれぞれの速さを2乗します。

v_f^2 - v_i^2 \ne (v_f - v_i)^2

です。

❌ それは $K_f$ で、 $\Delta K$ ではありません。 車は速くなる前から

\tfrac{1}{2}(1200)(8.0)^2 = 38.4\ \text{kJ}

をもっていました。それを引きましょう。

❌ $\tfrac{1}{2}$ の因子を確かめてください。 計算したのは

m(v_f^2 - v_i^2)

です。運動エネルギーには2分の1の因子がつきます。

❌ 惜しい！

\Delta K = \tfrac{1}{2}m\left(v_f^2 - v_i^2\right)

に

v_f^2 = 144

と

v_i^2 = 64

を入れましょう。

解答を見る

まずそれぞれの速さを2乗し、それから引きます。

\Delta K = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2 = \tfrac{1}{2}m\left(v_f^2 - v_i^2\right)

\Delta K = \tfrac{1}{2}(1200\ \text{kg})\left[(12.0)^2 - (8.0)^2\right]\ \text{m}^2/\text{s}^2

\Delta K = 600(144 - 64) = 600(80) = 48\,000\ \text{J} = 48\ \text{kJ}

単位の確認： $\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2 = \text{J}$ 、つまりジュールです。

問2 · 同じ速さの増加、違うエネルギーの増加

条件： 同じ2台のトラックが、それぞれ $10\ \text{m/s}$ ずつ速くなります。トラック1は $10$ から $20\ \text{m/s}$ へ、トラック2は $30$ から $40\ \text{m/s}$ へ。比 $\Delta K_2 / \Delta K_1$ を求めてください。

✅ 正解です！ 共通の因子

\tfrac{1}{2}m

が約分され、

(1600 - 900)/(400 - 100) = 700/300 = 7/3

が残ります。

❌ これが落とし穴です。 速さの増加が同じでも、エネルギーの増加は同じではありません。

K

は

v

の2次式なので、速いほうのトラックがはるかに多く得ます。

❌ それは $K_{2f}/K_{2i} = 40^2/30^2$ です。 トラック2の終わりの運動エネルギーを、それ自身の始めのエネルギーと比べています。問われているのは、トラック2の変化をトラック1の変化で割ったものです。

❌ 惜しい！

4 = (40/20)^2

は終わりの速さの2乗どうしを比べたもので、各トラックの

v_f^2 - v_i^2

ではありません。

❌ 惜しい！ 比を省略せずに書きましょう。因子

\tfrac{1}{2}m

が約分され、

\left(v_{2f}^2 - v_{2i}^2\right)/\left(v_{1f}^2 - v_{1i}^2\right)

が残ります。

解答を見る

質量が同じなので、 $\tfrac{1}{2}m$ はすべて約分されます。

\frac{\Delta K_2}{\Delta K_1} = \frac{\tfrac{1}{2}m\left(v_{2f}^2 - v_{2i}^2\right)}{\tfrac{1}{2}m\left(v_{1f}^2 - v_{1i}^2\right)} = \frac{40^2 - 30^2}{20^2 - 10^2}

= \frac{1600 - 900}{400 - 100} = \frac{700}{300} = \frac{7}{3} \approx 2.33

一般に $v_f^2 - v_i^2 = (v_f - v_i)(v_f + v_i)$ なので、増加量 $v_f - v_i = 10$ が決まっていれば、エネルギーの変化は $v_f + v_i$ に比例して大きくなります。速さの組が速いほうが、必ず大きくなるのです。

問3 · 力と変位から速さへ

条件： $2.0\ \text{kg}$ のブロックが摩擦のない面の上を $v_i = 3.0\ \text{m/s}$ ですべっているとき、運動の向きを向いた一定の力 $F_x = 4.0\ \text{N}$ が、変位 $\Delta x = 4.0\ \text{m}$ にわたってはたらきます。終わりの速さを求めてください。

✅ 正解です！

F_x\Delta x = 16\ \text{J} = \Delta K

なので、

v_f^2 = 9 + 16 = 25

、

v_f = 5.0\ \text{m/s}

です。

❌ $K_i$ が抜けています。

F_x\Delta x

が等しいのは

K_f - K_i

であって、

K_f

ではありません。ブロックはすでに

\tfrac{1}{2}(2.0)(3.0)^2 = 9.0\ \text{J}

をもっていました。

❌ 加速度を確かめてください。

a_x = F_x/m = 4.0/2.0 = 2.0\ \text{m/s}^2

であって、

4.0\ \text{m/s}^2

ではありません。力を質量で割る必要があります。

❌ $\Delta x$ は時間ではなく変位です。

v_f = v_i + a_x t

には時間が必要です。変位がわかっているときは

a_x\Delta x = \tfrac{1}{2}v_f^2 - \tfrac{1}{2}v_i^2

を使います。

❌ 惜しい！

F_x\Delta x = K_f - K_i

を、

K_i = \tfrac{1}{2}(2.0)(3.0)^2

として使いましょう。

解答を見る

ステップ1 — 変位にわたって渡されるエネルギー：

F_x\,\Delta x = (4.0\ \text{N})(4.0\ \text{m}) = 16\ \text{J}

ステップ2 — それを運動エネルギーの変化に等しいとおく：

16\ \text{J} = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2 = (1.0)\left(v_f^2 - 9.0\right)

v_f^2 = 9.0 + 16 = 25 \quad\Rightarrow\quad v_f = 5.0\ \text{m/s}

運動学で確かめる： $a_x = F_x/m = 2.0\ \text{m/s}^2$ なので

a_x\Delta x = (2.0)(4.0) = 8.0 = \tfrac{1}{2}(5.0)^2 - \tfrac{1}{2}(3.0)^2 = 12.5 - 4.5\ \checkmark

問4 · だれから見たエネルギー変化か（動画の例題）

条件： 同じまっすぐな道で、車 A は $10$ から $20$ mph へ、車 B は $50$ から $60$ mph へ速くなります。質量はどちらも $m$ です（動画の例題13.1）。今度は、道に沿って同じ向きに速さ $u$ で動く基準系から両方を測ります。

$u = 15$ mph のとき、その観測者は車 A について何を測りますか？

$u = 25$ mph のとき、車 A の運動エネルギーの変化は？

✅ 正解です！

\Delta K_A \propto (v_f - v_i)(v_f + v_i - 2u)

は

u = 15

mph でゼロになり、それを超えると負になります。

❌ その座標系での速度を確かめてください。 車 A は

10 - 15 = -5

mph から

20 - 15 = +5

mph へ変わります。速度は違いますが、速さは同じです。

❌ その座標系での速さを確かめてください。 車 A は

-15

mph から

-5

mph へ変わるので、その観測者から見ると遅くなっています。

解答を見る

速さ $u$ で動く座標系では、どの速度も $u$ だけ小さくなるので

\Delta K_A = \tfrac{1}{2}m\left[(v_f - u)^2 - (v_i - u)^2\right] = \tfrac{1}{2}m\,(v_f - v_i)\left(v_f + v_i - 2u\right)

$u = 15$ mph のとき： $10 \to -5$ mph、 $20 \to +5$ mph です。どちらの速さも $5$ mph なので $K_f = K_i$ となり

\Delta K_A = \tfrac{1}{2}m(10)(30 - 30) = 0

$u = 25$ mph のとき： $10 \to -15$ mph、 $20 \to -5$ mph なので、速さは $15$ から $5$ mph に落ちます。

\Delta K_A = \tfrac{1}{2}m\left(5^2 - 15^2\right) = \tfrac{1}{2}m(-200) < 0

運動エネルギーは速さからできていて、異なる座標系の観測者は異なる速さを測ります。だから $K$ も $\Delta K$ も座標系に依存するのです。（車 B はここでは心配いりません。 $\Delta K_B \propto 1100 - 20u$ は $u = 55$ mph までは正のままです。）

正解数：0 / 4