古典力学 · 第14回 · 動画4 · インタラクティブ教材

曲線の下の面積としての仕事：仕事とエネルギーの関係

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$W = \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{j=1}^{N} (F_{x,j})_{\text{ave}}\, \Delta x_j = \int_{x_i}^{x_f} F_x(x)\, dx$	変化する力がする仕事	$F_x$ （ $x$ の関数として）
$W^{\text{spring}} = -\tfrac{1}{2} k \left( x_f^{\,2} - x_i^{\,2} \right)$	ばねがする仕事	フックの法則 $F_x = -kx$
$W^{\text{total}} = K_f - K_i = \Delta K$	仕事とエネルギーの関係（仕事–運動エネルギー定理）	すべての力の仕事
$v_f = \sqrt{\,v_i^{\,2} + \dfrac{2 W^{\text{total}}}{m}\,}$	仕事から求める終わりの速さ	$K = \tfrac{1}{2} m v^2$

ポイント： $F_x$ を $x$ に対して描いた曲線の下の面積が、そのまま運動エネルギーの変化です。曲線が一つ、面積が一つ、答えが一つ。運動方程式はどこにも出てきません。

II移動を長方形に切り分ける

移動全体に通用する力の値は一つもありませんが、細い一区間の中なら、力はほとんど変わりません。

区間の数 N 8

IIIばねの符号付き面積

ばねの仕事は、2つの伸びのあいだにある、 $F_x = -kx$ の下の符号付き面積です。

始めの位置 3 m 終わりの位置 1 m

💡 摩擦のない机の上で $x_i$ から静かに放すと、物体は $\tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2} k x_i^{\,2}$ で自然長の位置に達します。ばねの面積がすべて運動エネルギーに変わったのです。

IV仕事の符号を読む

運動エネルギーに効くのは変位方向の力の成分だけです。垂直に押す力はまったく効きません。

力の角度 θ 60°

V確認クイズ

問1 · 変化する力の下の面積

条件： $x$ 軸上のビーズが、力 $F_x = 3x$ （単位はニュートン、 $x$ はメートル）で $x_i = 0$ から $x_f = 4\ \text{m}$ まで押されます。この力がする仕事を求めてください。

✅ 正解です！

F_x = 3x

の下の、

0

から

4\ \text{m}

までの領域は三角形で、その面積は

\tfrac{1}{2}(4\ \text{m})(12\ \text{N}) = 24\ \text{J}

です。

❌ それは力であって、仕事ではありません。

12

は移動の終点での

F_x

の値（単位はニュートン）です。これをさらに

4\ \text{m}

にわたって積分する必要があります。

❌ それは「大きすぎる」長方形です。

F_{\max}\Delta x = (12\ \text{N})(4\ \text{m})

は、力がずっと終わりの値を保っていたと仮定していますが、実際の力は0から始まりました。

❌ それは平均の力であって、仕事ではありません。

F_x

は一次式なので、移動全体での平均は

\bar{F} = \tfrac{0 + 12}{2} = 6\ \text{N}

です。仕事を求めるには、さらに

4\ \text{m}

をかけます。

❌ 惜しい！ 仕事は

F_x

を

x

に対して描いたグラフの下の面積であって、力の値一つではありません。

解答を見る

力が位置とともに変わるので、積分します：

W = \int_{0}^{4} 3x\, dx = \left[ \tfrac{3}{2} x^2 \right]_{0}^{4} = \tfrac{3}{2}(16) = 24\ \text{J}

図形で確かめます。 グラフは $(0, 0\ \text{N})$ から $(4\ \text{m}, 12\ \text{N})$ までの直線なので、面積は三角形の面積です： $\tfrac{1}{2}(\text{底辺})(\text{高さ}) = \tfrac{1}{2}(4)(12) = 24\ \text{J}$ 。

同じことですが、力は一次式なので平均値は $\bar{F} = \tfrac{0 + 12}{2} = 6\ \text{N}$ で、 $\bar{F}\,\Delta x = (6)(4) = 24\ \text{J}$ となります。 $6\ \text{N}$ は平均の力であって、仕事ではありません。

問2 · ばねがする仕事

条件： 摩擦のない机の上の物体が、ばね定数 $k = 50\ \text{N/m}$ のばねにつながっています。 $x$ は自然長の位置から測ります。物体が $x_i = 0.40\ \text{m}$ から $x_f = 0.10\ \text{m}$ まで動くとき、ばねがする仕事を求めてください。

✅ 正解です！ ばねは張りの大きい状態から小さい状態へ移るので、ばねの力は運動と同じ向きにそろい、物体にエネルギーを注ぎ込みます。

❌ 大きさは合っていますが、符号が逆です。

x_f^{\,2} - x_i^{\,2} = 0.01 - 0.16 = -0.15\ \text{m}^2

で、

-\tfrac{1}{2}k(x_f^{\,2} - x_i^{\,2})

の先頭のマイナスがこれを正に戻します。

❌ 変位を二乗しています。

\tfrac{1}{2}k(x_i - x_f)^2

は仕事ではありません。両端の値を別々に二乗してから引きます。

❌ 引き算を確かめましょう。

0.01 + 0.16 = 0.17

は二乗を足しています。公式では引きます：

0.01 - 0.16 = -0.15

。

❌ 惜しい！ 両方の伸びをメートルで表して、

W = -\tfrac{1}{2}k\left(x_f^{\,2} - x_i^{\,2}\right)

を使います。

解答を見る

フックの法則から $F_x = -kx$ なので、仕事はその直線の下の符号付き面積です：

W = \int_{x_i}^{x_f} (-kx)\, dx = \left[ -\tfrac{1}{2}kx^2 \right]_{x_i}^{x_f} = -\tfrac{1}{2}k\left(x_f^{\,2} - x_i^{\,2}\right)

$k = 50\ \text{N/m}$ 、 $x_f = 0.10\ \text{m}$ 、 $x_i = 0.40\ \text{m}$ を代入します：

W = -\tfrac{1}{2}(50)\left(0.10^2 - 0.40^2\right) = -25\,(0.01 - 0.16) = -25(-0.15) = +3.75\ \text{J}

なぜ正なのか？ 両端とも二乗の形で入るので、効くのは大きさだけです。 $|x_f| < |x_i|$ なので $x_f^{\,2} - x_i^{\,2}$ は負になり、先頭のマイナスで $W > 0$ となります。張りの小さい状態へ向かうばねは、いつも正の仕事をします。逆にさらに伸ばすと、 $W$ は負になります。

問3 · 面積から終わりの速さへ

条件： $1.0\ \text{kg}$ の台車が、摩擦のない水平な軌道上の $x = 0$ に静止しています。台車にはたらく水平方向の力は $F_x = 4x$ （単位はニュートン、 $x$ はメートル）だけで、 $x = 0$ から $x = 3.0\ \text{m}$ までのあいだはたらきます。台車の終わりの速さを求めてください。

✅ 正解です！

F_x = 4x

の下の面積は

18\ \text{J}

で、静止状態から出発するので、その面積がすべて

\tfrac{1}{2}mv_f^{\,2}

になります。

❌ $\tfrac{1}{2}$ が抜けています。

\sqrt{W/m} = \sqrt{18} = 4.24

です。

K = \tfrac{1}{2}mv^2

なので、速さは

\sqrt{2W/m}

です。

❌ 終点での力を移動全体に使っています。

(12\ \text{N})(3\ \text{m}) = 36\ \text{J}

は大きすぎます。力は0から増えていくので、三角形の面積は

18\ \text{J}

にすぎません。

❌ それは $v_f^{\,2}$ であって、 $v_f$ ではありません。

2W/m = 36\ \text{m}^2/\text{s}^2

です。平方根をとりましょう。

❌ 惜しい！

W

を

F_x = 4x

の下の面積として求め、それから

W = \Delta K = \tfrac{1}{2}mv_f^{\,2}

とおきます。

解答を見る

ステップ1 — 仕事は面積：

W = \int_{0}^{3} 4x\, dx = \left[ 2x^2 \right]_{0}^{3} = 18\ \text{J}

（図形による検算：底辺 $3\ \text{m}$ 、高さ $F_x(3) = 12\ \text{N}$ の三角形で、面積は $\tfrac{1}{2}(3)(12) = 18\ \text{J}$ 。）

ステップ2 — 仕事とエネルギーの関係を使う。 水平方向の力はこれだけで、台車は静止状態から出発するので、 $K_i = 0$ となり、

W = \Delta K = \tfrac{1}{2}mv_f^{\,2} - 0 \quad \Longrightarrow \quad v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}}

v_f = \sqrt{\frac{2(18\ \text{J})}{1.0\ \text{kg}}} = \sqrt{36} = 6.0\ \text{m/s}

運動方程式は必要ありませんでした。位置についての積分一つで、速さが直接求まりました。

問4 · 押されるカップ（動画の例題）

条件： 静止している $0.20\ \text{kg}$ のカップを、水平な机の上で $\Delta x = 0.50\ \text{m}$ 押します。押す力は $2.0\ \text{N}$ で、水平から $30\degree$ 上向きです。動摩擦係数は $\mu_k = 0.10$ 、 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ です。

カップにはたらく垂直抗力はいくらですか？

カップの終わりの速さはいくらですか？

✅ 正解です！ 斜めに押す力がカップの重さの一部を支えるので

N = 0.96\ \text{N}

、摩擦力はわずか

0.096\ \text{N}

で、合力の仕事

0.818\ \text{J}

が運動エネルギーになります。

❌ それは重さ $mg$ そのものです。 押す力には上向きの成分

F\sin 30\degree = 1.0\ \text{N}

があるので、机が支えるのは残りの分だけです。

❌ $F_y$ の向きを確かめましょう。 押す力は上向きに傾いているので、机の負担を減らします：

N = mg - F\sin 30\degree

であって、

mg + F\sin 30\degree

ではありません。

❌ 惜しい！ カップは鉛直方向には加速しません：

N + F\sin 30\degree - mg = 0

。

❌ 丸めるのが早すぎます。

0.818\ \text{J}

を

0.80\ \text{J}

に丸めると

\sqrt{8.0} = 2.8\ \text{m/s}

になります。仕事は丸めずに持ち運び、最後に一度だけ丸めましょう。

❌ 仕事をするのは水平成分だけです。

2.0\ \text{N}

全体を

F\cos 30\degree = 1.732\ \text{N}

の代わりに使うと、仕事が大きくなりすぎます。

❌ 惜しい！ まず仕事の合計

W = (F\cos 30\degree - \mu_k N)\Delta x

を求め、それから

v_f = \sqrt{2W/m}

を使います。

解答を見る

ステップ1 — 力を点検する。 重力と垂直抗力は運動に垂直なので、どちらも仕事は0です。仕事をするのは押す力と摩擦力だけです。

ステップ2 — 押す力の成分：

F_x^{\,a} = (2.0)\cos 30\degree = 1.732\ \text{N}, \qquad F_y^{\,a} = (2.0)\sin 30\degree = 1.0\ \text{N}

ステップ3 — 鉛直方向のつり合いから垂直抗力を求める：

N + F_y^{\,a} - mg = 0 \;\Longrightarrow\; N = 1.96 - 1.0 = 0.96\ \text{N}

斜めに押す力がカップを一部支えるので、 $N$ は重さ $mg = 1.96\ \text{N}$ よりはっきり小さくなります。

ステップ4 — 摩擦力と合力の仕事：

f_k = \mu_k N = (0.10)(0.96) = 0.096\ \text{N}

W = \left(F_x^{\,a} - f_k\right)\Delta x = (1.732 - 0.096)(0.50) = 0.818\ \text{J}

ステップ5 — 定理を使う。 カップは静止状態から動き出すので、 $K_f = W = 0.818\ \text{J}$ となり、

v_f = \sqrt{\frac{2K_f}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.818)}{0.20}} = \sqrt{8.18} = 2.9\ \text{m/s}

仕事を早い段階で $0.80\ \text{J}$ に丸めてしまうと、速さは $2.8\ \text{m/s}$ になってしまいます。途中の値は丸めずに持ち運び、最後に一度だけ丸めましょう。

正解数： 0 / 4