古典力学 · 第14回 · 動画5 · インタラクティブ教材

同じ仕事でも速さが違う：仕事率と運動エネルギーの流れ

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$P_{\text{ave}} = \dfrac{\Delta W}{\Delta t} = F_x\, v_{\text{ave},x}$	平均の仕事率	時間間隔 $\Delta t$ のあいだにする仕事
$P = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta W}{\Delta t} = F_x\, v_x$	瞬間の仕事率	運動方向の力の成分と、その瞬間の速度
$1\ \text{W} = 1\ \text{J}\cdot\text{s}^{-1}$	ワット	速さを表す単位（ $1\ \text{kW}\cdot\text{h}$ はエネルギーの量）
$\dfrac{dK}{dt} = F_x\, v_x = P$	微分形の仕事とエネルギーの関係	合力の成分と速度

ポイント：一定の力でも、仕事率が一定とは限りません。 $v_x$ が増えれば $P$ も増えます。仕事率には符号があります。駆動する力はエネルギーを送り込み、摩擦はエネルギーを奪い、すべての仕事率の符号つきの和が $dK/dt$ です。

II落ちるボール — 速さとともに仕事率も増える

重力は一定なのに、エネルギーを送り込む速さはどんどん増していきます： $P(t) = mg^2t$ は0からまっすぐ増加します。

時刻 t 0.71 s

💡 ここで重力であることは本質的ではありません。静止状態から動き出す物体に任意の一定の力がはたらくとき、 $P(t) = 2P_{\text{ave}}(0 \to t)$ です。原点を通る直線の平均の高さは、最後の高さの半分だからです。

III仕事率の符号 — 効くのは運動方向の成分だけ

運動と角 $\theta$ をなす力の仕事率は $P = Fv\cos\theta$ です。エネルギーを送り込むか、奪うか、まったく何もしないかのどれかです。

力の角度 θ 30°

💡 動画のカップでは、動摩擦力は $f_k = \mu_k N = 0.096\ \text{N}$ にすぎないので、その仕事率は $-0.14\ \text{W}$ です。後ろ向きに押す力と同じく負の符号ですが、エネルギーを奪う速さはずっと小さくなります。

IVカップを押す — どの力にも自分の仕事率がある

カップにはたらく力はそれぞれ自分の平均の仕事率をもち、その符号つきの和が、運動エネルギーの増える速さです。

ステップ 1

ステップ1 — 押す力の仕事

$F_x = F\cos 30\degree = (2.0)(0.8660) = 1.732\ \text{N}$

$W^{a} = F_x d = (1.732)(0.50) = 0.8660\ \text{J}$

ステップ2 — 摩擦力の仕事

$N = mg - F\sin 30\degree = 1.96 - 1.00 = 0.96\ \text{N}$

$f_k = \mu_k N = (0.1)(0.96) = 0.096\ \text{N}$

$W^{f} = -f_k d = -(0.096)(0.50) = -0.048\ \text{J}$

ステップ3 — 押している時間

$W_{\text{net}} = 0.8660 - 0.048 = 0.818\ \text{J} = \tfrac{1}{2}mv_f^2$

$v_f = 2.860\ \text{m/s} \Rightarrow v_{\text{ave}} = \tfrac{1}{2}v_f = 1.430\ \text{m/s}$

$\Delta t = d / v_{\text{ave}} = 0.50/1.430 = 0.3496\ \text{s}$

ステップ4 — 2つの仕事率とその和

$P^{a}_{\text{ave}} = 0.8660/0.3496 = 2.48\ \text{W}$

$P^{f}_{\text{ave}} = -0.048/0.3496 = -0.14\ \text{W}$

$P^{a}_{\text{ave}} + P^{f}_{\text{ave}} = 2.34\ \text{W} = \dfrac{W_{\text{net}}}{\Delta t} = \dfrac{\Delta K}{\Delta t}$

V確認クイズ

問1 · 仕事と時間からワットを求める

条件： エレベーターのモーターがかごに $2.4 \times 10^{4}\ \text{J}$ の仕事をします。運転時間は $40\ \text{s}$ です。モーターが送り出す平均の仕事率を求めてください。

✅ 正解です！ 毎秒

600\ \text{J}

の仕事が送り出されるので、

P_{\text{ave}} = 600\ \text{W}

です。

❌ 数値は合っていますが、量が違います。 ワットは速さを表す単位です：

600\ \text{J/s} = 600\ \text{W}

。ジュールはエネルギーの量を表し、それを送り出す速さは表しません。

❌ 惜しい！ 平均の仕事率は、仕事を時間で割ったものです：

P_{\text{ave}} = \Delta W / \Delta t

であって、

\Delta W \times \Delta t

や

\Delta t / \Delta W

ではありません。

解答を見る

平均の仕事率は、仕事をそれにかかった時間で割ったものです：

P_{\text{ave}} = \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{2.4 \times 10^{4}\ \text{J}}{40\ \text{s}} = 6.0 \times 10^{2}\ \text{W}

単位を見れば計算が確かめられます： $\text{J}/\text{s} = \text{W}$ 。 $600\ \text{W}$ という定格は、モーターがエネルギーをどれだけ速く送り出すかを表すのであって、どれだけ蓄えているかを表すのではありません。量を知りたければ、かけ戻します： $(600\ \text{W})(40\ \text{s}) = 2.4 \times 10^{4}\ \text{J}$ 。

問2 · 符号と垂直な力

条件： 木箱が水平な床の上を $v_x = 3.0\ \text{m/s}$ で右へすべっています。大きさ $4.0\ \text{N}$ の動摩擦力が後ろ向きにはたらき、垂直抗力は $30\ \text{N}$ です。摩擦力と垂直抗力の瞬間の仕事率を求めてください。

✅ 正解です！ 摩擦力は運動に逆らうので、毎秒

12\ \text{J}

ずつエネルギーを奪います。垂直抗力は

\vec{v}

に垂直なので、何も送り込みません。

❌ 符号を確かめましょう。 摩擦力の運動方向の成分は

F_x = -4.0\ \text{N}

、一方

v_x = +3.0\ \text{m/s}

なので、

P = F_x v_x

は負です。摩擦力はエネルギーを奪います。

❌ 垂直抗力は仕事をしません。

P = F_x v_x

で使うのは、運動方向の成分だけです。垂直抗力は鉛直、速度は水平なので、運動方向の成分は0です。

❌ 惜しい！ 瞬間の仕事率は力と速度をかけたもの、

P = F_x v_x

です。割ることはありません。

解答を見る

摩擦力。 運動方向の成分は後ろ向きです： $F_x = -4.0\ \text{N}$ 。

P_f = F_x v_x = (-4.0\ \text{N})(3.0\ \text{m/s}) = -12\ \text{W}

垂直抗力。 速度に垂直なので、運動方向の成分は0です：

P_N = (0)(3.0\ \text{m/s}) = 0

仕事率は符号をもつスカラーです。駆動する力では $P > 0$ （エネルギーが入る）、摩擦力では $P < 0$ （エネルギーが出ていく）、垂直な力では $P = 0$ です。

問3 · 瞬間と平均（落ちる石）

条件： $0.50\ \text{kg}$ の石を静かに放し、 $2.0\ \text{s}$ のあいだ自由落下させます（ $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ 、空気抵抗なし）。 $t = 2.0\ \text{s}$ で重力がする仕事率と、落下全体での平均の仕事率を求めてください。

$t = 2.0\ \text{s}$ での瞬間の仕事率は？

$0 \to 2.0\ \text{s}$ での平均の仕事率は？

✅ 正解です！

P(t) = mg^2t

は直線的に増えるので、終わりの値は、放してからの平均のちょうど2倍です。

❌ それは平均の値で、瞬間の値ではありません。

P(t) = mg^2t

はその瞬間の値で、

0 \to t

での平均はその半分です。

❌ 瞬間の仕事率を確かめましょう。

P = F_y v_y = (-mg)(-gt) = mg^2t

に

m = 0.50

、

g = 9.8

、

t = 2.0

を代入します。

❌ 平均を確かめましょう。 石は

h = \tfrac{1}{2}gt^2 = 19.6\ \text{m}

落ちるので、

W = mgh

、

P_{\text{ave}} = W/t

です。

解答を見る

瞬間の仕事率。 静止状態から落ちるので、 $v_y = -gt = -19.6\ \text{m/s}$ 、 $F_y = -mg = -4.9\ \text{N}$ です：

P = F_y v_y = (-4.9)(-19.6) = 96\ \text{W} \qquad \big(= mg^2t = (0.50)(9.8)^2(2.0)\big)

平均の仕事率。 落ちる距離は $h = \tfrac{1}{2}gt^2 = \tfrac{1}{2}(9.8)(2.0)^2 = 19.6\ \text{m}$ なので、重力がする仕事は $W = mgh = (0.50)(9.8)(19.6) = 96\ \text{J}$ です：

P_{\text{ave}} = \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{96\ \text{J}}{2.0\ \text{s}} = 48\ \text{W}

比はちょうど $2$ で、偶然ではありません。 $P(t) = mg^2t$ は原点を通る直線で、 $[0, t]$ での平均の高さは最後の高さの半分、つまり $P_{\text{ave}} = \tfrac{1}{2}mg^2t$ です。

問4 · $K$ の時間変化率としての仕事率

条件： $0.20\ \text{kg}$ のカップを、 $1.5\ \text{N}$ の水平な力で机の上を押します。そのあいだ、 $0.30\ \text{N}$ の動摩擦力が運動に逆らいます。カップが $2.0\ \text{m/s}$ で動いている瞬間と、 $4.0\ \text{m/s}$ で動いている瞬間に、運動エネルギーがどれだけの速さで変化しているかを求めてください。

$dK/dt$ の値は？（ $v_x = 2.0\ \text{m/s}$ のとき）

$dK/dt$ の値は？（ $v_x = 4.0\ \text{m/s}$ のとき。2つの力は同じ）

✅ 正解です！ 正味の仕事率は

F_{\text{net},x}v_x

で、

F_{\text{net},x} = 1.2\ \text{N}

は一定なので、速さを2倍にすると

K

が増える速さも2倍になります。

❌ $K$ は $v^2$ に比例しますが、その変化率はそうではありません。

dK/dt = F_x v_x

は

v_x

について一次なので、

v_x

を2倍にすると

dK/dt

も2倍になり、

2.4\ \text{W}

から

4.8\ \text{W}

になります。

❌ 合力を使いましょう。 それぞれの力に自分の仕事率（

+3.0\ \text{W}

と

-0.60\ \text{W}

）があり、その符号つきの和が

K

の変化する速さです。

❌ $v_x$ への依存のしかたを確かめましょう。

dK/dt = F_{\text{net},x}v_x

です。力は変わらないので、変化率は速さに比例します。

解答を見る

$v_x = 2.0\ \text{m/s}$ では、それぞれの力の仕事率を求めて足します：

P_{\text{push}} = (1.5)(2.0) = 3.0\ \text{W}, \qquad P_{\text{fric}} = (-0.30)(2.0) = -0.60\ \text{W}

\frac{dK}{dt} = P_{\text{push}} + P_{\text{fric}} = 3.0 - 0.60 = 2.4\ \text{W}

同じことですが、合力を直接使ってもかまいません： $F_{\text{net},x} = 1.5 - 0.30 = 1.2\ \text{N}$ なので、 $dK/dt = (1.2)(2.0) = 2.4\ \text{W}$ です。

$v_x = 4.0\ \text{m/s}$ では、力は同じなので

\frac{dK}{dt} = (1.2\ \text{N})(4.0\ \text{m/s}) = 4.8\ \text{W}

これが微分形の仕事とエネルギーの関係です： $\dfrac{dK}{dt} = \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}mv_x^2\big) = mv_x\dfrac{dv_x}{dt} = ma_xv_x = F_xv_x = P$ 。いま流れ込んでいる正味の仕事率が、まさにいま $K$ が増えている速さなのです。

正解数： 0 / 4