古典力学 · 第15回 · 動画1 · インタラクティブ教材

二つのベクトルから一つの数へ：内積で仕事を測る

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$\vec A \cdot \vec B = AB\cos\theta$	スカラー積（内積）：幾何学的な形	2つの大きさと、そのなす角
$\vec A \cdot \vec B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$	スカラー積：成分の形	直交座標の成分（角度は不要）
$K = \tfrac{1}{2}m(\vec v \cdot \vec v)$	運動エネルギー	質量と速度ベクトル
$W = \vec F \cdot \Delta\vec r = (F\cos\beta)\,\Delta x$	一定の力がする仕事	力のベクトルと変位ベクトル

ポイント： スカラー積の符号は $\cos\theta$ の符号と同じです。2つのベクトルが協力し合えば正、垂直ならゼロ、逆らい合えば負になります。

II可視化1 — 一つの数を二通りで求める

同じ2つのベクトルから、対応する成分の積の和としても、 $AB\cos\theta$ としても、同じ一つの数が得られます。

💡 チャレンジ： どちらのベクトルも長さをゼロにせずに、 $\vec A \cdot \vec B = 0$ となるように2つの先端を置いてみましょう。

III可視化2 — 斜面上の3つの力

滑り下りる物体には3つの力がはたらきます。内積は、それぞれの仕事をゼロ・負・正に仕分けます。

ステップ 1

ステップ1 — 座標。 原点を斜面のいちばん上にとり、 $+x$ を斜面に沿って下向き、 $+y$ を面に垂直な向きにとります。こうすると運動は一次元になります。

\Delta\vec r = l\,\hat i = 3.0\,\hat i\ \text{m}

ステップ2 — 垂直抗力。 物体は面から離れないので、 $a_y = 0$ です。

N - mg\cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad N = mg\cos\theta = 33.9\ \text{N}

f_k = \mu_k N = (0.2)(33.9\ \text{N}) = 6.79\ \text{N}

ステップ3 — 垂直抗力の仕事。 垂直抗力は純粋に $\hat j$ 方向で、変位は純粋に $\hat i$ 方向です。

W^N = (mg\cos\theta\,\hat j)\cdot(l\,\hat i) = mgl\cos\theta\,(\hat j\cdot\hat i) = 0

ステップ4 — 摩擦力。 純粋に $\hat i$ 方向で、 $\Delta\vec r$ に逆らって斜面の上向きを向いています。

W^f = (-\mu_k mg\cos\theta\,\hat i)\cdot(l\,\hat i) = -\mu_k mgl\cos\theta

= -(0.2)(4.0\,\text{kg})(9.8\,\text{m/s}^2)(3.0\,\text{m})\cos 30\degree = -20.4\ \text{J}

ステップ5 — 重力。 $\hat j$ の部分は $\hat i$ 方向の変位に対して消えます。

W^g = (mg\sin\theta\,\hat i - mg\cos\theta\,\hat j)\cdot(l\,\hat i) = mgl\sin\theta

= (4.0\,\text{kg})(9.8\,\text{m/s}^2)(3.0\,\text{m})\sin 30\degree = 58.8\ \text{J}

ステップ6 — 仕事の合計。

W = 0 - 20.4\ \text{J} + 58.8\ \text{J} = +38.4\ \text{J} = mgl(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)

IV可視化3 — 正味の仕事が運動エネルギーになる

物体にされた正味の仕事は、1ジュール残らず運動エネルギー $K = \tfrac{1}{2}m(\vec v \cdot \vec v)$ として現れます。

滑った距離 (m) 0.00

V確認クイズ

問1 · 成分から内積を求める

条件： $\vec A = 3\hat i + 4\hat j$ 、 $\vec B = 2\hat i - \hat j$ のとき、 $\vec A \cdot \vec B$ を求めてください。

✅ 正解です！

(3)(2) + (4)(-1) = 6 - 4 = 2

。対応する成分どうしをかけてから、足し合わせます。

❌ 惜しい！符号を確かめてください。

B_y = -1

なので、2つめの項は

(4)(-1) = -4

で、

+4

ではありません。

❌ 惜しい！ スカラー積が返すのはベクトルではなく、ただ1つの数です。成分どうしをかけただけで、足し合わせていません。

❌ 惜しい！

11.2 = |\vec A|\,|\vec B|

です。これが内積に等しくなるのは

\theta = 0\degree

のときだけです。

解答を見る

成分の形を使います。角度は必要ありません。

\vec A \cdot \vec B = A_xB_x + A_yB_y = (3)(2) + (4)(-1) = 6 - 4 = 2

幾何学的な形で検算します。 $|\vec A| = 5$ 、 $|\vec B| = \sqrt{5} \approx 2.24$ なので、

\cos\theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|\vec A||\vec B|} = \frac{2}{11.18} = 0.179 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 79.7\degree

直角よりわずかに小さい角なので、小さな正の数になるのはまさに予想どおりです。

問2 · 仕事の符号

条件： 大きさ $F = 50\ \text{N}$ の一定の力が、変位と $\beta = 120\degree$ の角をなしてはたらきます。変位の大きさは $|\Delta\vec r| = 4.0\ \text{m}$ です。仕事 $W$ を求めてください。

✅ 正解です！

\cos 120\degree = -\tfrac{1}{2}

なので

W = (50)(4.0)(-0.5) = -100\ \text{J}

です。この力はエネルギーを奪います。

❌ 惜しい！符号を確かめてください。

90\degree

を超えるとコサインは負になります。

\cos 120\degree = -\tfrac{1}{2}

であり、

+\tfrac{1}{2}

ではありません。

❌ 惜しい！

173 = (50)(4.0)\sin 120\degree

です。仕事に使うのは、変位に沿った成分を与えるコサインです。

❌ 惜しい！ 仕事がゼロになるのは、ちょうど

\beta = 90\degree

のときだけです。

120\degree

では、力にはまだ

\Delta\vec r

に沿った成分があります。

解答を見る

仕事は、力と変位のスカラー積です。

W = \vec F \cdot \Delta\vec r = F\,|\Delta\vec r|\cos\beta = (50\ \text{N})(4.0\ \text{m})\cos 120\degree

W = (200)(-0.500) = -100\ \text{J}

運動に沿った力の成分は $F\cos\beta = -25\ \text{N}$ です。これは $\Delta\vec r$ と逆向きなので、仕事は負になります。

問3 · 数値を変えた斜面

条件： 質量 $m = 2.0\ \text{kg}$ の物体が、 $l = 4.0\ \text{m}$ の距離だけ傾斜角 $\theta = 30\degree$ の斜面を滑り下ります。動摩擦係数は $\mu_k = 0.50$ 、 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とします。

重力がする仕事はいくらですか？

物体にされる仕事の合計はいくらですか？

✅ 正解です！

W^N = 0

、

W^f = -33.9\ \text{J}

、

W^g = +39.2\ \text{J}

なので

\Sigma W = +5.3\ \text{J}

です。

\mu_k\cos\theta

が

\sin\theta

をほとんど打ち消すので、わずかに正になるだけです。

❌ 重力の仕事を確かめてください。 内積で残るのは

\Delta\vec r

に沿った成分だけで、その成分は

mg\sin\theta

です。

❌ 合計を確かめてください。 摩擦力の仕事は負で

W^f = -\mu_k mgl\cos\theta = -33.9\ \text{J}

、垂直抗力は何も寄与しません。

解答を見る

ステップ1 — 垂直抗力（ $a_y = 0$ から）：

N = mg\cos\theta = (2.0)(9.8)\cos 30\degree = 17.0\ \text{N}, \qquad W^N = 0

ステップ2 — 摩擦力（ $\Delta\vec r$ に逆らう）：

W^f = -\mu_k N l = -(0.50)(17.0\ \text{N})(4.0\ \text{m}) = -33.9\ \text{J}

ステップ3 — 重力（斜面を下る向きの成分だけ）：

W^g = mgl\sin\theta = (2.0)(9.8)(4.0)(0.500) = 39.2\ \text{J}

ステップ4 — 合計：

\Sigma W = 0 - 33.9 + 39.2 = +5.3\ \text{J} = mgl(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)

$\mu_k = 0.50$ 、 $\cos 30\degree = 0.866$ なので、かっこの中は $0.500 - 0.433 = 0.067$ です。物体は加速しますが、ほんのわずかです。

問4 · 仕事から速さへ（動画の例題）

条件： 動画の斜面で、質量 $m = 4.0\ \text{kg}$ の物体にされる仕事の合計は $+38.4\ \text{J}$ で、物体は静止状態から動き出します。 $K = \tfrac{1}{2}m(\vec v \cdot \vec v)$ を使って、斜面の下端での速さを求めてください。

✅ 正解です！

38.4 = \tfrac{1}{2}(4.0)v^2

から

v^2 = 19.2\ \text{m}^2/\text{s}^2

、

v = 4.4\ \text{m/s}

となります。

❌ 惜しい！

\tfrac{1}{2}

を落とさないでください。

K = \tfrac{1}{2}mv^2

なので

v^2 = 2K/m = 19.2

です。

K/m = 9.6

ではありません。

❌ 惜しい！

\sqrt{38.4} = 6.2

では質量がまったく考慮されていません。

38.4 = \tfrac{1}{2}(4.0)v^2

を解きましょう。

❌ 惜しい！それは $v^2$ です。

19.2

の単位は

\text{m}^2/\text{s}^2

です。平方根をとると速さになります。

解答を見る

静止状態から動き出すので、正味の仕事はすべて運動エネルギーとして現れます。

K = \tfrac{1}{2}m(\vec v \cdot \vec v) = \tfrac{1}{2}mv^2 = 38.4\ \text{J}

v^2 = \frac{2K}{m} = \frac{2(38.4)}{4.0} = 19.2\ \text{m}^2/\text{s}^2 \quad\Longrightarrow\quad v = 4.4\ \text{m/s}

垂直抗力は何も加えず、摩擦力は $20.4\ \text{J}$ を奪いました。速さとして現れるのは、残った $+38.4\ \text{J}$ だけです。

正解数：0 / 4