古典力学 · 第15回 · 動画4 · インタラクティブ教材

二つの物体を一つの式で：内力の仕事と換算質量

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$\dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2} \;\Longrightarrow\; \mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$	換算質量	2つの質量
$\vec{F}_{2,1} = \mu\,\dfrac{d^2\vec{r}_{2,1}}{dt^2}$	実効的な一体の運動方程式	内力と $\vec{r}_{2,1} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$
$W = \displaystyle\int_A^B \vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_{2,1}$	内力の対がする仕事	相対変位だけ
$W = \Delta K_{\text{rel}} = \tfrac{1}{2}\mu\left(v_B^2 - v_A^2\right)$	内力の仕事とエネルギーの関係	$A$ と $B$ での相対的な速さ

ポイント： ラベル $1 \leftrightarrow 2$ を入れ替えると $\vec{F}$ と $d\vec{r}$ の両方の符号が反転するので、 $W$ は変わりません。また、形を保ったままの並進（ $d\vec{r}_1 = d\vec{r}_2$ ）では $d\vec{r}_{2,1} = 0$ となり、内力の対は仕事をまったくしません。

II可視化1 — 2つの加速度と1つの換算質量

相互作用の力は1つ、加速度は2つ。その相対加速度は、ただ1つの実効的な質量 $\mu$ に従います。

m₁ (kg) 2 m₂ (kg) 6

III可視化2 — 2つの仕事の積分と1つの相対変位

それぞれの物体が受ける仕事は共通の並進に左右されますが、対がする仕事の合計は間隔の変化だけで決まります。

共通の並進 (m) 0 終わりの間隔 (m) 3 進行度 A→B 1.00

IV可視化3 — 終わりの相対的な速さを予想する

同じ $12\ \text{J}$ の内力の仕事でも、2つの物体がすでに速く離れているときほど、相対的な速さの増え方は小さくなります。

初めの相対的な速さ (m/s) 0 あなたの予想：終わりの相対的な速さ (m/s) 2

💡 この $12\ \text{J}$ は $\tfrac{1}{2}MV_{\text{cm}}^2$ には手をつけません。内力は対になって打ち消し合うので、 $K = \tfrac{1}{2}MV_{\text{cm}}^2 + \tfrac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2$ のうち変化できるのは2つめの項だけです。

V確認クイズ

問1 · 換算質量（基本）

条件： $m_1 = 3\ \text{kg}$ と $m_2 = 6\ \text{kg}$ の2つの物体が、ニュートンの第三法則に従う力の対を通して相互作用しています。換算質量 $\mu$ を求めてください。

✅ 正解です！

\dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}

なので

\mu = 2\ \text{kg}

です。当然ながら、どちらの質量よりも小さくなっています。

❌ 惜しい！

0.5

は

1/\mu

の値です（単位は

\text{kg}^{-1}

）。定義からまず出てくるのは

1/\mu

なので、その逆数をとって

\mu

を求めます。

❌ 惜しい！

\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}

はいつも両方の質量より小さいので、質量の和にも平均にもなりえません。

解答を見る

質量の逆数を足します。

\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{1}{2}\ \text{kg}^{-1}

逆数をとるか、まとめた形を直接使います。

\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2\ \text{kg}

妥当性の確認： $2 < 3$ かつ $2 < 6$ です。質量が等しければ $\mu = m/2$ になります。相手がずっと重ければ $\mu$ は $m_1 = 3\ \text{kg}$ に近づきますが、それを超えることはありません。

問2 · 形を保ったままの並進

条件： 伸びたばねが2つの物体をつないでいます。ある時間のあいだ、両方の物体が同じ変位 $d\vec{r}_1 = d\vec{r}_2 = \vec{d}$ をするので、間隔は変わりません。この間に内力の対がする仕事の合計を求めてください。

✅ 正解です！

W = \displaystyle\int \vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_{2,1}

で、ここでは

d\vec{r}_{2,1} = d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2 = \vec{d} - \vec{d} = 0

です。

❌ 惜しい！

d\vec{r}_{2,1} = d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2

はどの慣性系でも同じなので、対がする仕事の合計は座標系によりません。どの慣性系でもゼロです。

❌ 惜しい！ 値を求める前に2つの仕事を足してください。

\vec{F}_{2,1}\cdot\vec{d} + \vec{F}_{1,2}\cdot\vec{d} = (\vec{F}_{2,1} + \vec{F}_{1,2})\cdot\vec{d}

で、第三法則によりかっこの中はゼロになります。

解答を見る

方法1：力を打ち消す。 2つの変位が等しいので、

W = \vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_1 + \vec{F}_{1,2}\cdot d\vec{r}_2 = (\vec{F}_{2,1} + \vec{F}_{1,2})\cdot\vec{d} = \vec{0}\cdot\vec{d} = 0

方法2：まとめた積分を使う。 第三法則によって、2つの積分はすでに1つにまとまっています。

W = \int_A^B \vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_{2,1}, \qquad d\vec{r}_{2,1} = d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2 = 0 \;\Longrightarrow\; W = 0

対が一緒に運ばれるあいだ、それぞれの物体は個別にエネルギーを得たり失ったりすることがありますが、その2つの量は大きさが等しく符号が反対です。内力の仕事が生じるのは、間隔が変わるときだけです。

問3 · 質量から終わりの相対的な速さへ

条件： $m_1 = 4\ \text{kg}$ と $m_2 = 12\ \text{kg}$ の2台の台車が、摩擦のないレールの上で伸びたばねでつながれていて、外力ははたらきません。状態 $A$ での相対的な速さは $v_A = 3\ \text{m/s}$ で、 $A$ から $B$ までのあいだに内力の対は $W = +24\ \text{J}$ の仕事をします。

換算質量はいくらですか？

状態 $B$ での相対的な速さはいくらですか？

✅ 正解です！

\mu = 3\ \text{kg}

なので、

v_B^2 = v_A^2 + \dfrac{2W}{\mu} = 9 + 16 = 25

です。

❌ 換算質量を確かめてください。

\dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3}

です。全質量

M = 16\ \text{kg}

が入るのは質量中心の運動の項で、この項ではありません。

❌ 相対的な速さを確かめてください。

v_B^2 = v_A^2 + \dfrac{2W}{\mu}

です。初めの相対的な速さは消えませんし、足し合わさるのは速さそのものではなく、その二乗です。

解答を見る

ステップ1：換算質量

\frac{1}{\mu} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3+1}{12} = \frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; \mu = \frac{4 \cdot 12}{16} = 3\ \text{kg}

ステップ2：内力の仕事とエネルギーの関係

W = \tfrac{1}{2}\mu\left(v_B^2 - v_A^2\right) \;\Longrightarrow\; 24 = \tfrac{1}{2}(3)\left(v_B^2 - 3^2\right)

v_B^2 - 9 = \frac{2(24)}{3} = 16 \;\Longrightarrow\; v_B^2 = 25 \;\Longrightarrow\; v_B = 5\ \text{m/s}

よくある間違い：

$\mu$ の代わりに $M = 16\ \text{kg}$ を使う： $v_B = \sqrt{9 + 3} \approx 3.5\ \text{m/s}$ 。
$v_A^2$ を落とす： $v_B = \sqrt{16} = 4\ \text{m/s}$ 。
二乗ではなく速さを足す： $3 + 4 = 7\ \text{m/s}$ 。

外力の仕事はないので、この $24\ \text{J}$ はすべて相対運動に回ります。 $\tfrac{1}{2}MV_{\text{cm}}^2$ は変わりません。

問4 · 相手がとても重い極限

条件： 質量 $2.0\ \text{kg}$ のボールが、地球（ $m_2 = 6.0\times 10^{24}\ \text{kg}$ ）に向かって落ちています。重力はこの二体系の内力の対で、外力ははたらきません。

ボールと地球からなる系の換算質量はいくらですか？

では、ここで $W = \tfrac{1}{2}\mu\left(v_B^2 - v_A^2\right)$ はどうなりますか？

✅ 正解です！

\mu = \dfrac{m_1}{1 + m_1/m_2} \approx m_1

で、相対速度は実質的にボールの速度です。二体の定理は、おなじみの一つの粒子についての結果に帰着します。

❌ 極限を確かめてください。

\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2} = \dfrac{m_1}{1 + m_1/m_2}

で、

m_1/m_2 \approx 3\times 10^{-25}

です。ですから

\mu

は軽いほうの質量のすぐ下にあり、重いほうの質量に近づくことはありません。

❌ 惜しい！ 地球自身が受ける仕事は無視できますが、対がする仕事の合計は無視できません。それこそがボールを速くするもの、

\tfrac{1}{2}m_1(v_B^2 - v_A^2)

です。

❌ 惜しい！

m_2

でも

M = m_1 + m_2

でもなく、

\mu \approx m_1 = 2.0\ \text{kg}

を代入してください。

解答を見る

ステップ1：相手がとても重い極限での換算質量

\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1}{1 + m_1/m_2}, \qquad \frac{m_1}{m_2} = \frac{2.0}{6.0\times 10^{24}} \approx 3\times 10^{-25}

したがって $\mu = 2.0\ \text{kg}$ で、その誤差は $3\times 10^{24}$ 分の1程度にすぎません。動くのは軽いほうの物体だけです。

ステップ2：代入する

W = \tfrac{1}{2}\mu\left(v_B^2 - v_A^2\right) \approx \tfrac{1}{2}m_1\left(v_B^2 - v_A^2\right)

また、地球はほとんど動かないので $\vec{v}_{2,1} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \approx \vec{v}_1$ です。「重力がする仕事は、落ちる物体の $\tfrac{1}{2}mv^2$ の変化に等しい」というおなじみの主張は、この二体の定理で $\mu \to m_{\text{ボール}}$ としたものなのです。

なぜ $W \approx 0$ ではないのか？ $d\vec{r}_2 \approx 0$ なので、地球が受ける仕事は無視できます。しかし対がする仕事の合計は $d\vec{r}_{2,1} \approx d\vec{r}_1$ で決まり、これはボールの落下そのものです。

正解数：0 / 4