古典力学 · 第16回 · 動画3 · インタラクティブ教材

ポテンシャルエネルギーは物体ではなく系に属する

I重要な公式

公式名称必要なもの
F⃗2,1=−F⃗1,2\vec{F}_{2,1} = -\vec{F}_{1,2}ニュートンの第三法則内力の対1組。1つめの添字が力の出どころ、2つめの添字が力を受ける側
Wc=∫ABF⃗2,1⋅dr⃗2,1W_c = \displaystyle\int_A^B \vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_{2,1}1つにまとめた二体の仕事対の力と相対変位 dr⃗2,1=dr⃗1−dr⃗2d\vec{r}_{2,1} = d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2。個々の経路はどちらも不要
ΔUsys≡−Wc\Delta U_{\text{sys}} \equiv -W_c内部ポテンシャルエネルギーの変化保存力であること。そのため積分は経路によらず、状態 AA と BB だけで決まる
ΔKsys+ΔUsys=0\Delta K_{\text{sys}} + \Delta U_{\text{sys}} = 0閉じた系の帳簿外力の仕事がなく、非保存力の内力もないこと

ポイント： 内力の対がする仕事は間隔の変わり方だけで決まるので、UU のどの部分も、どちらか一方の物体に割り当てることはできません。ポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）は相互作用の、つまり二物体の組の性質であって、本だけのものでも地球だけのものでもありません。

II可視化1 — 2つの仕事の積分、1つの相対変位

それぞれの物体は自分の分の仕事を受け取りますが、その合計は間隔の変わり方だけで決まります。

💡 チャレンジ： 力の作用線に沿った間隔が変わらないような、2つの物体の動かし方を見つけてください。どちらの物体にも仕事がされるのに、Wc=0W_c = 0、ΔUsys=0\Delta U_{\text{sys}} = 0 となります。

III可視化2 — 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーはぴったり入れかわる

二物体の組が失った運動エネルギーは、そのままポテンシャルエネルギーとして増えます。そして一往復すると、どちらの変化も0になります。

IV可視化3 — 質量 μ\mu の1つの実効的な粒子

二物体の相対運動は F⃗2,1=μ dv⃗2,1/dt\vec{F}_{2,1} = \mu\,d\vec{v}_{2,1}/dt にしたがいます。2つの質量を組み合わせた質量をもつ、ただ1つの粒子です。

💡 m2≫m1m_2 \gg m_1 のとき換算質量は m1m_1 に近づき、重い相手はほとんど動きません。本を持ち上げたとき、本だけがエネルギーをもっているように見えるのはこのためです。

V確認クイズ

問1 · 1ステップを1つにまとめる

条件：2つの物体が、ただ1つの保存力の内力で相互作用しています。ある小さな1ステップのあいだ、物体2が物体1におよぼす力は F⃗2,1=(4ı^−3ȷ^) N\vec{F}_{2,1} = (4\hat{\imath} - 3\hat{\jmath})\ \text{N} で、物体1は dr⃗1=(0.5 ı^) md\vec{r}_1 = (0.5\,\hat{\imath})\ \text{m}、物体2は dr⃗2=(0.2 ı^+0.4 ȷ^) md\vec{r}_2 = (0.2\,\hat{\imath} + 0.4\,\hat{\jmath})\ \text{m} だけ動きます。この対がする仕事 WcW_c を求めてください。

✅ 正解です！ dr⃗2,1=(0.3 ı^−0.4 ȷ^) md\vec{r}_{2,1} = (0.3\,\hat{\imath} - 0.4\,\hat{\jmath})\ \text{m} なので、F⃗2,1\vec{F}_{2,1} との内積を1回とるだけで、両方の物体の仕事がまとめて得られます。
❌ 変位を足しています。 ニュートンの第三法則により、2つめの積分の前にはマイナスがつきます。F⃗1,2=−F⃗2,1\vec{F}_{1,2} = -\vec{F}_{2,1} なので、2つの変位は引き算になります。dr⃗1+dr⃗2d\vec{r}_1 + d\vec{r}_2 を使うと 1.6 J1.6\ \text{J} になりますが、相対変位は dr⃗1−dr⃗2d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2 です。
❌ それは物体1の分だけです。 F⃗2,1⋅dr⃗1=2.0 J\vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_1 = 2.0\ \text{J} は ΔK1\Delta K_1 です。物体2にも仕事 F⃗1,2⋅dr⃗2=0.4 J\vec{F}_{1,2}\cdot d\vec{r}_2 = 0.4\ \text{J} がされ、対の仕事はその和です。
❌ それは WcW_c ではなく ΔUsys\Delta U_{\text{sys}} です。 マイナスの符号は定義 ΔUsys≡−Wc\Delta U_{\text{sys}} \equiv -W_c のものであって、仕事の積分そのものにはつきません。
❌ 惜しい！ まず dr⃗2,1=dr⃗1−dr⃗2d\vec{r}_{2,1} = d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2 をつくり、それから F⃗2,1\vec{F}_{2,1} との内積を1回だけとります。
解答を見る

2つの仕事とエネルギーの関係を足し合わせ、2つめの式に第三法則を使います。

Wc=F⃗2,1⋅dr⃗1+F⃗1,2⋅dr⃗2=F⃗2,1⋅dr⃗1−F⃗2,1⋅dr⃗2=F⃗2,1⋅(dr⃗1−dr⃗2)W_c = \vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_1 + \vec{F}_{1,2}\cdot d\vec{r}_2 = \vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_1 - \vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_2 = \vec{F}_{2,1}\cdot\big(d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2\big)

相対変位は

dr⃗2,1=dr⃗1−dr⃗2=(0.5−0.2)ı^+(0−0.4)ȷ^=(0.3 ı^−0.4 ȷ^) md\vec{r}_{2,1} = d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2 = (0.5 - 0.2)\hat{\imath} + (0 - 0.4)\hat{\jmath} = (0.3\,\hat{\imath} - 0.4\,\hat{\jmath})\ \text{m}

です。したがって

Wc=(4)(0.3)+(−3)(−0.4)=1.2+1.2=2.4 JW_c = (4)(0.3) + (-3)(-0.4) = 1.2 + 1.2 = 2.4\ \text{J}

遠回りで検算： F⃗2,1⋅dr⃗1=2.0 J\vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_1 = 2.0\ \text{J}、F⃗1,2⋅dr⃗2=(−4)(0.2)+(3)(0.4)=0.4 J\vec{F}_{1,2}\cdot d\vec{r}_2 = (-4)(0.2) + (3)(0.4) = 0.4\ \text{J} で、2.0+0.4=2.4 J2.0 + 0.4 = 2.4\ \text{J} ✓ です。まとめた形では、2つの別々の経路はまったく必要ありませんでした。

問2 · 組ごと運ぶ

条件：保存力の内力 F⃗2,1=(5 ı^) N\vec{F}_{2,1} = (5\,\hat{\imath})\ \text{N} で相互作用する2つの物体を、外から手で、どちらも同じ変位 dr⃗1=dr⃗2=(2 ı^) md\vec{r}_1 = d\vec{r}_2 = (2\,\hat{\imath})\ \text{m} だけ運びます。したがって間隔はまったく変わりません。ΔUsys\Delta U_{\text{sys}} を求めてください。

✅ 正解です！ 相対変位が0なので、対の仕事は0です。物体1に与えられた +10 J+10\ \text{J} は、物体2から取り去られた 10 J10\ \text{J} とちょうど同じです。
❌ 一方の物体の仕事だけを残しています。 それぞれの物体には確かに ±10 J\pm 10\ \text{J} の仕事がされます。しかし F⃗1,2=−F⃗2,1\vec{F}_{1,2} = -\vec{F}_{2,1} が同じ変位のあいだはたらくので、2つの項は大きさが等しく符号が反対です。
❌ 2つの仕事は足すのではなく引きます。 ∣W1∣+∣W2∣|W_1| + |W_2| と足すと、第三法則のマイナスの符号を無視することになります。2つめの項は +10 J+10\ \text{J} ではなく −10 J-10\ \text{J} です。
❌ 惜しい！ 何よりも先に dr⃗2,1=dr⃗1−dr⃗2d\vec{r}_{2,1} = d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2 を計算してください。
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相対変位は0になります。

dr⃗2,1=dr⃗1−dr⃗2=(2 ı^)−(2 ı^)=0⃗d\vec{r}_{2,1} = d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2 = (2\,\hat{\imath}) - (2\,\hat{\imath}) = \vec{0}

したがって

Wc=F⃗2,1⋅dr⃗2,1=0⟹ΔUsys=−Wc=0W_c = \vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_{2,1} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \Delta U_{\text{sys}} = -W_c = 0

物体ごとに見ると： F⃗2,1⋅dr⃗1=(5)(2)=+10 J\vec{F}_{2,1}\cdot d\vec{r}_1 = (5)(2) = +10\ \text{J}、F⃗1,2⋅dr⃗2=(−5)(2)=−10 J\vec{F}_{1,2}\cdot d\vec{r}_2 = (-5)(2) = -10\ \text{J} です。対の力は物体2から物体1へ 10 J10\ \text{J} を移すだけで、何もたくわえません。

外からの手は系の運動エネルギーを変えるかもしれません。しかし ΔUsys\Delta U_{\text{sys}} を決めるのは内力の対だけで、その力が見ているのは間隔だけです。そして間隔はまったく動いていません。

問3 · 換算質量と帳簿

条件：m1=2.0 kgm_1 = 2.0\ \text{kg} と m2=6.0 kgm_2 = 6.0\ \text{kg} からなる閉じた系が、ただ1つの保存力の内力だけで相互作用しています。2つの物体の相対速さが vA=1.0 m/sv_A = 1.0\ \text{m/s} から vB=3.0 m/sv_B = 3.0\ \text{m/s} に増えます。換算質量と ΔUsys\Delta U_{\text{sys}} を求めてください。

換算質量はいくらですか？

ポテンシャルエネルギーの変化はいくらですか？

✅ 正解です！ μ=1.5 kg\mu = 1.5\ \text{kg} から Wc=ΔKsys=+6.0 JW_c = \Delta K_{\text{sys}} = +6.0\ \text{J} となるので、相互作用はたくわえていたエネルギーのうち 6.0 J6.0\ \text{J} を使ったことになります。
❌ それは相加平均です。 換算質量は逆数を組み合わせたものです。1/μ=1/m1+1/m21/\mu = 1/m_1 + 1/m_2 なので、μ\mu はいつも軽いほうの質量より小さくなります。
❌ それは m1+m2m_1 + m_2 です。 この和は μ=m1m2/(m1+m2)\mu = m_1 m_2/(m_1+m_2) の分母であって、答えではありません。
❌ 組み合わせ方を確かめてください。 μ=m1m2/(m1+m2)\mu = m_1 m_2/(m_1+m_2) で、2つの質量の小さいほうを超えることはありません。
❌ 符号を確かめてください。 相対速さは増えたので ΔKsys>0\Delta K_{\text{sys}} > 0 です。ΔUsys=−ΔKsys\Delta U_{\text{sys}} = -\Delta K_{\text{sys}} なので、ポテンシャルエネルギーは減るはずです。
❌ 差を2乗しています。 式に入るのは (vB−vA)2=4 m2/s2(v_B - v_A)^2 = 4\ \text{m}^2/\text{s}^2 ではなく、vB2−vA2=9−1=8 m2/s2v_B^2 - v_A^2 = 9 - 1 = 8\ \text{m}^2/\text{s}^2 です。
❌ 係数 12\tfrac{1}{2} が抜けています。 Wc=12μ(vB2−vA2)W_c = \tfrac{1}{2}\mu(v_B^2 - v_A^2) です。1つの粒子の K=12mv2K = \tfrac{1}{2}mv^2 とまったく同じです。
❌ 惜しい！ まず Wc=12μ(vB2−vA2)W_c = \tfrac{1}{2}\mu(v_B^2 - v_A^2) を計算し、それにマイナスをつけます。
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ステップ1 — 換算質量。 2つの物体の第二法則の式を引き算すると dv⃗2,1/dt=(1/m1+1/m2)F⃗2,1d\vec{v}_{2,1}/dt = (1/m_1 + 1/m_2)\vec{F}_{2,1} となるので、かっこの中身が 1/μ1/\mu です。

μ=m1m2m1+m2=(2.0)(6.0)2.0+6.0=128=1.5 kg\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{(2.0)(6.0)}{2.0 + 6.0} = \frac{12}{8} = 1.5\ \text{kg}

ステップ2 — 相対速さから仕事を求める。 dr⃗2,1=v⃗2,1 dtd\vec{r}_{2,1} = \vec{v}_{2,1}\,dt を使うと、被積分関数はちょうど時間微分の形になり、両端の値だけが残ります。

Wc=∫ABμ dv⃗2,1dt⋅v⃗2,1 dt=12μ(vB2−vA2)=12(1.5)(3.02−1.02)=12(1.5)(8.0)=6.0 JW_c = \int_A^B \mu\,\frac{d\vec{v}_{2,1}}{dt}\cdot\vec{v}_{2,1}\,dt = \tfrac{1}{2}\mu\left(v_B^2 - v_A^2\right) = \tfrac{1}{2}(1.5)\big(3.0^2 - 1.0^2\big) = \tfrac{1}{2}(1.5)(8.0) = 6.0\ \text{J}

ステップ3 — 帳簿。 Wc=ΔKsys=+6.0 JW_c = \Delta K_{\text{sys}} = +6.0\ \text{J} で、定義により

ΔUsys=−Wc=−6.0 J,ΔKsys+ΔUsys=0 ✓\Delta U_{\text{sys}} = -W_c = -6.0\ \text{J}, \qquad \Delta K_{\text{sys}} + \Delta U_{\text{sys}} = 0\ \checkmark

μ=1.5 kg\mu = 1.5\ \text{kg} がどちらの質量よりも小さいことに注意しましょう。相対運動はいつも、2つの物体のどちらよりも軽い粒子のようにふるまいます。

問4 · いくつもの相互作用、1つの帳簿

条件：3つの物体からなる閉じた系に、保存力の内力による相互作用が2つあり、非保存力の内力はありません。状態 AA から状態 BB へ移るあいだに、相互作用1は仕事 Wc,1=+8.0 JW_{c,1} = +8.0\ \text{J} を、相互作用2は仕事 Wc,2=−3.0 JW_{c,2} = -3.0\ \text{J} をします。2つのエネルギーの変化と、AA に戻る往復の結果を求めてください。

状態 A から状態 B へ

次に、B から A へ任意の道筋で戻ると

✅ 正解です！ 仕事は足し合わせられるので Wc=+5.0 JW_c = +5.0\ \text{J} で、2つのエネルギーは同じ量ずつ入れかわります。また UU は状態量なので、配置 AA に戻ればもとの値にぴったり戻ります。
❌ 符号が入れかわっています。 全仕事が正ということは、相互作用がたくわえていたエネルギーを放出したということです。ΔUsys=−Wc<0\Delta U_{\text{sys}} = -W_c < 0、ΔKsys=+Wc>0\Delta K_{\text{sys}} = +W_c > 0 です。
❌ 大きさを足しています。 相互作用2は負の仕事をするので、合計は 8.0+3.08.0 + 3.0 ではなく 8.0−3.0=5.0 J8.0 - 3.0 = 5.0\ \text{J} です。
❌ 両方が減ることはありません。 非保存力のない閉じた系では ΔKsys+ΔUsys=0\Delta K_{\text{sys}} + \Delta U_{\text{sys}} = 0 です。一方が減った分だけ、もう一方がちょうど増えます。
❌ 惜しい！ まず仕事を足して Wc=Wc,1+Wc,2W_c = W_{c,1} + W_{c,2} とし、それから ΔUsys=−Wc=−ΔKsys\Delta U_{\text{sys}} = -W_c = -\Delta K_{\text{sys}} を使います。
❌ 保存力は道筋を覚えていません。 それぞれの ΔUsys,i\Delta U_{\text{sys},i} は始めと終わりの状態だけで決まるので、もとの配置に戻ってくれば、どの項も出発時の値に戻ります。
❌ 往復とは何かを確かめてください。 終わりの状態は状態 AA そのものなので、どの UU の項も始めの値で終わります。
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ステップ1 — 相互作用ごとに1項。 仕事は足し合わせることができるので、ポテンシャルエネルギーの変化も足し合わされます。

ΔUsys=ΔUsys,1+ΔUsys,2=−Wc,1−Wc,2=−(8.0−3.0)=−5.0 J\Delta U_{\text{sys}} = \Delta U_{\text{sys},1} + \Delta U_{\text{sys},2} = -W_{c,1} - W_{c,2} = -(8.0 - 3.0) = -5.0\ \text{J}

ステップ2 — 帳簿。 外力の仕事がなく、非保存力の内力もないので、

ΔKsys=Wc=+5.0 J,ΔKsys+ΔUsys=5.0−5.0=0 ✓\Delta K_{\text{sys}} = W_c = +5.0\ \text{J}, \qquad \Delta K_{\text{sys}} + \Delta U_{\text{sys}} = 5.0 - 5.0 = 0\ \checkmark

ステップ3 — 往復。 どの力も保存力なので、閉じた経路を一周するあいだの仕事は0です。

∮F⃗c,i⋅dr⃗i=0⟹ΔUsys=0かつΔKsys=0\oint \vec{F}_{c,i}\cdot d\vec{r}_i = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \Delta U_{\text{sys}} = 0 \quad\text{かつ}\quad \Delta K_{\text{sys}} = 0

帰り道では、相互作用は合計 −5.0 J-5.0\ \text{J} の仕事をして、行きの +5.0 J+5.0\ \text{J} を打ち消さなければなりません。系が使ったエネルギーは、そっくり返ってくるのです。

正解数：0 / 4