古典力学 · 第16回 · 動画4 · インタラクティブ教材

一つの手順で三つのポテンシャルエネルギー：ゼロ点は自分で選ぶ

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$\Delta U = -W_c = -\displaystyle\int_A^B \vec{F}_c \cdot d\vec{r}$	内部の保存力によるポテンシャルエネルギー	力と、2つの配置 $A$ 、 $B$
$U^g(y) = mgy, \qquad U^g(0) \equiv 0$	地表近くの重力	選んだゼロ点からの高さ $y$
$U^s(x) = \tfrac{1}{2}kx^2, \qquad U^s(0) \equiv 0$	理想的なばね	自然長からの変位 $x$
$U^G(r) = -\dfrac{Gm_1m_2}{r}, \qquad U^G(\infty) \equiv 0$	万有引力	中心間の距離 $r$

ポイント： 物理的な意味をもつのは差だけです。 $U$ を $U + C$ に置きかえても、どの $U_f - U_i$ も変わらないので、ポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）のゼロ点は帳簿のつけ方の選択です。項が1つ消える基準点や、自然な配置を表す基準点を選び、どれを選んだかをはっきり述べましょう。

II可視化1 — 1つの手順、3つの力

同じ五段階の手順を3つの異なる内力に当てはめると、見た目には無関係な3つの関数が得られます。

系手順の段階 1

第1段階 · 内部の保存力

\vec{F}^g = -mg\,\hat{j}

第2段階 · 変位とのスカラー積をとる

d\vec{r} = dy\,\hat{j}

\vec{F}^g \cdot d\vec{r} = -mg\,dy

第3段階 · 積分する — これが仕事

W^g = \int_{y_i}^{y_f} (-mg)\,dy

= -mg\,(y_f - y_i)

第4段階 · 符号を反転する

\Delta U^g = -W^g = mg\,(y_f - y_i)

第5段階 · ゼロ点を選ぶ

y_i = 0,\quad U^g(0) \equiv 0

U^g(y) = mgy\ \checkmark

第1段階 · 内部の保存力

\vec{F}^s = -kx\,\hat{i}

第2段階 · 変位とのスカラー積をとる

d\vec{r} = dx\,\hat{i}

\vec{F}^s \cdot d\vec{r} = -kx\,dx

第3段階 · 積分する — これが仕事

W^s = \int_{x_i}^{x_f} (-kx)\,dx

= -\tfrac{1}{2}k\,(x_f^2 - x_i^2)

第4段階 · 符号を反転する

\Delta U^s = -W^s = \tfrac{1}{2}k\,(x_f^2 - x_i^2)

第5段階 · ゼロ点を選ぶ

x_i = 0,\quad U^s(0) \equiv 0

U^s(x) = \tfrac{1}{2}kx^2\ \checkmark

第1段階 · 内部の保存力

\vec{F}^G_{2,1} = -\frac{Gm_1m_2}{r^2}\,\hat{r}_{2,1}

第2段階 · 変位とのスカラー積をとる

d\vec{r}_{2,1} = dr\,\hat{r}_{2,1}

\vec{F}^G \cdot d\vec{r} = -\frac{Gm_1m_2}{r^2}\,dr

第3段階 · 積分する — これが仕事

W^G = \int_{r_i}^{r_f} -\frac{Gm_1m_2}{r^2}\,dr

= Gm_1m_2\left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i}\right)

第4段階 · 符号を反転する

\Delta U^G = -\frac{Gm_1m_2}{r_f} + \frac{Gm_1m_2}{r_i}

第5段階 · ゼロ点を選ぶ

r_i \to \infty,\quad U^G(\infty) \equiv 0

U^G(r) = -\frac{Gm_1m_2}{r}\ \checkmark

III可視化2 — ゼロ点をずらす

基準の配置を動かすと、 $U$ の値はすべて変わります。では、差は変わるでしょうか？

系基準点 0

💡 測定できるものは何も変わらないので、数値だけではまだ答えになりません。「 $U = 12\ \text{J}$ 」は、どこを $U = 0$ とするかを述べるまで意味をもちません。

IV可視化3 — 無限遠が自然なゼロ点である理由

基準の距離を外へ広げていくと、 $\Delta U^G$ の項の1つがまるごと消えていきます。

基準の距離 2.0

V確認クイズ

問1 · 地表近くの重力に手順を当てはめる

条件： $3.0\ \text{kg}$ の本を、床から棚まで $1.2\ \text{m}$ 持ち上げます。 $U^g = 0$ は床に選び、 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とします。地球と本からなる系の $\Delta U^g$ を求めてください。

✅ 正解です！ 本を持ち上げると地球と本の配置にエネルギーがたくわえられるので、

\Delta U^g

は正です。

❌ それは $\Delta U^g$ ではなく $W^g$ です。 持ち上げるあいだに重力がする仕事は

-35.3\ \text{J}

です。手順の第4段階でその符号を反転して、

\Delta U^g = -W^g = +35.3\ \text{J}

となります。

❌ 惜しい！ 手順から

\Delta U^g = mg\,\Delta y

が得られます。係数

\tfrac12

はつかず、

g

も省けません。

解答を見る

第1〜第3段階で、上昇のあいだに一定の力 $\vec{F}^g = -mg\,\hat{j}$ がする仕事が求まります。

W^g = \int_{y_i}^{y_f}(-mg)\,dy = -mg\,(y_f - y_i) = -(3.0)(9.8)(1.2) = -35.28\ \text{J}

第4段階で、その符号を反転します。

\Delta U^g = -W^g = mg\,\Delta y = (3.0)(9.8)(1.2) = 35.28 \approx 35.3\ \text{J}

係数 $\tfrac12$ がつくのは、変位とともに力が大きくなるばねのほうです。地表近くの重力は一定なので、積分は単に $mg$ に上がった高さをかけたものになります。

問2 · ゼロ点は宣言したところにある

条件： $2.0\ \text{kg}$ のブロックが床の上に静止しています。 $U^g = 0$ となる場所を、床から $3.0\ \text{m}$ 上の天井と宣言します（ $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ）。床の上のブロックの $U^g$ を求めてください。

✅ 正解です！ 選んだゼロ点より下では

U^g

は負になります。負のポテンシャルエネルギーは、まったくふつうのことです。

❌ 床が自動的にゼロ点になるわけではありません。 ここではゼロ点を天井と宣言しているので、ブロックはそこから

3.0\ \text{m}

下にあります。

❌ 大きさは合っていますが、符号が逆です。

U^g = mg(y - y_{\text{ref}})

で、

y - y_{\text{ref}} = 0 - 3.0 = -3.0\ \text{m}

です。

❌ 惜しい！ 高さは宣言したゼロ点から測ります。

U^g = mg\,(y - y_{\text{ref}})

です。

解答を見る

ゼロ点を $y_{\text{ref}} = 3.0\ \text{m}$ に選ぶということは、 $U^g(y) = mg\,(y - y_{\text{ref}})$ とすることです。床の上では $y = 0$ なので

U^g(0) = (2.0)(9.8)(0 - 3.0) = -58.8\ \text{J}

ふつうの選び方 $y_{\text{ref}} = 0$ と比べてみましょう。この場合は $U^g(0) = 0$ 、 $U^g(3.0) = +58.8\ \text{J}$ です。2つの取り決めは、どこでも定数 $C = -58.8\ \text{J}$ だけ違います。そして差はすべて同じです。ブロックを天井まで持ち上げるのに必要なエネルギーは、どちらの取り決めでも $+58.8\ \text{J}$ です。

問3 · 縮んだ状態から伸びた状態へ

条件：ばね定数 $k = 250\ \text{N/m}$ のばねが、 $0.12\ \text{m}$ 縮んだ状態から $0.20\ \text{m}$ 伸びた状態になります。 $U^s = 0$ は自然長に選びます。 $\Delta U^s$ と、ばねの力がする仕事 $W^s$ を求めてください。

ポテンシャルエネルギーの変化はいくらですか？

ばねの力がした仕事はいくらですか？

✅ 正解です！ ばねは

3.2\ \text{J}

をたくわえます。手順の第4段階から、ばねの力がした仕事はちょうど

-3.2\ \text{J}

です。

❌ $\tfrac12 k(\Delta x)^2$ と $\tfrac12 k(x_f^2 - x_i^2)$ は違います。

U^s

は二次関数なので、2つの2乗を別々に計算してから引き算しなければなりません。

❌ 縮めても負のエネルギーがたくわえられるわけではありません。

U^s = \tfrac12 kx^2

は

x

について偶関数です。

x = -0.12\ \text{m}

でばねはすでに

+1.8\ \text{J}

をたくわえているので、このエネルギーは足すのではなく引くのです。

❌ 両端を確かめてください。

x_i = -0.12\ \text{m}

、

x_f = +0.20\ \text{m}

を

\Delta U^s = \tfrac12 k(x_f^2 - x_i^2)

に代入します。

❌ 符号を確かめてください。 手順の第4段階は

\Delta U = -W

なので、

W^s = -\Delta U^s

です。

解答を見る

ゼロ点を自然長に選ぶと $U^s(x) = \tfrac12 kx^2$ です。縮みは $x_i = -0.12\ \text{m}$ と数えますが、 $x$ は2乗されるので符号は関係ありません。

U^s_i = \tfrac12(250)(-0.12)^2 = 1.8\ \text{J}, \qquad U^s_f = \tfrac12(250)(0.20)^2 = 5.0\ \text{J}

\Delta U^s = 5.0 - 1.8 = 3.2\ \text{J}

同じことを、手順から直接求めると

\Delta U^s = \tfrac12 k\,(x_f^2 - x_i^2) = 125\,(0.0400 - 0.0144) = 3.2\ \text{J}

そして第4段階を逆向きに読むと、ばねの力そのものがした仕事が得られます。

W^s = -\Delta U^s = -3.2\ \text{J}

当然、負になります。この動きのあいだずっと、ばねは押し戻していたからです。

問4 · 引き合う2つの質量を引き離す

条件：中心間の距離 $r$ にある2つの質量を、 $3r$ まで引き離します。 $U^G(r) = -\dfrac{Gm_1m_2}{r}$ （ $U^G(\infty) \equiv 0$ ）を使います。 $\Delta U^G$ を求めてください。さらに、ゼロ点を別の場所にするとそれがどうなるかを考えてください。

ポテンシャルエネルギーの変化はいくらですか？

次に、ゼロ点を別の距離に移します。その変化はどうなりますか？

✅ 正解です！ 引き合う質量を引き離すとエネルギーがたくわえられます。また、ゼロ点を動かすと2つの

U

の値が同じ定数だけずれるので、差はそのまま残ります。

❌ それは変化ではなく $U^G(3r)$ です。 ポテンシャルエネルギーの値は、ポテンシャルエネルギーの差ではありません。さらに

U^G(r)

を引く必要があります。

❌ 惜しい、引き算が逆です。 計算したのは

U_i - U_f

です。引き合う質量を引き離せばエネルギーがたくわえられるはずなので、

\Delta U^G > 0

です。

❌ 2つの項を大きさとして足しています。 符号を残してください。どちらの

U

の値も負で、

-\tfrac13 - (-1) = +\tfrac23

です（単位は

Gm_1m_2/r

）。

❌ 惜しい！ 両方の距離で

U^G

を求めて引き算します。

\Delta U^G = U^G(3r) - U^G(r)

です。

❌ 惜しい！ 新しいゼロ点は

U

のいたるところに同じ定数

C

を1つ足すだけで、

C

は

U_f - U_i

から消えます。

解答を見る

前半 — ゼロ点を無限遠にとったときの変化：

U^G(r) = -\frac{Gm_1m_2}{r}, \qquad U^G(3r) = -\frac{Gm_1m_2}{3r}

\Delta U^G = U^G(3r) - U^G(r) = -\frac{Gm_1m_2}{3r} + \frac{Gm_1m_2}{r} = \frac{2Gm_1m_2}{3r}

当然、正になります。引力に逆らって引っぱる必要があり、そのエネルギーがいまは二物体の組の配置にたくわえられているのです。

後半 — 別のゼロ点： $2r$ で $U^G = 0$ と宣言すると、関数は次のように置きかわります。

\tilde{U}^G(\rho) = -\frac{Gm_1m_2}{\rho} + \frac{Gm_1m_2}{2r} = U^G(\rho) + C

ここで、定数は $C = Gm_1m_2/(2r)$ の1つだけです。すると

\tilde{U}^G(3r) - \tilde{U}^G(r) = \big(U^G(3r) + C\big) - \big(U^G(r) + C\big) = \frac{2Gm_1m_2}{3r}

定数は打ち消し合います。個々の値は変わります（この取り決めでは $U^G(2r) = 0$ で、 $U^G(r)$ は負）が、測定できる予言は何も変わりません。だからこそ、ゼロ点を自由に選んでよいのです。

正解数：0 / 4