古典力学 · 第17回 · 動画1 · インタラクティブ教材

力学的エネルギー保存則：運動エネルギーと位置エネルギーの完全な交換

I重要な公式

公式	名称	成り立つ条件
$\Delta E_m = \Delta K_{\text{sys}} + \Delta U_{\text{sys}}$	力学的エネルギーの変化	いつでも（ただの定義）
$\Delta E_m = 0 \;\Longleftrightarrow\; \Delta K_{\text{sys}} = -\Delta U_{\text{sys}}$	力学的エネルギー保存則	閉じた系で、内力が保存力だけのとき
$K_f + U_f = K_i + U_i$	実用的な式	力学的エネルギーが保存される系の任意の2つの状態
$E_m = \tfrac{1}{2}m_o v^2 + m_o g y$	地表付近の力学的エネルギー	地球 $+$ 物体の系、地表で $U^g(0) = 0$

ポイント： どちらの条件も外せません。そしてこの式は、2つの状態のあいだをどう移ったかを覚えていません。初めに一度、終わりに一度 $K + U$ を計算して等しいとおくだけです。途中の道のりは一切入ってきません。

II可視化1 — 瞬間ごとのエネルギーのやりとり

$2.0\ \text{kg}$ のボールが $14\ \text{m/s}$ で手を離れます。飛んでいるあいだずっと変わらない量が一つあります。

時刻 t (s) 0.00

III可視化2 — 和が一定でなくなるとき

同じ落下するボールのまわりに、系を3通りにとります。 $K + U$ が一定に保たれるのは、そのうち一つだけです。

系落下距離 d (m) 0.00

💡 空気抵抗のある場合も、何かが消滅したわけではありません。足りないジュールはボールと空気の熱エネルギーになっています。それも含めるように帳簿を広げるのが、このあとの摩擦の動画の内容です。

IV可視化3 — 実用的な式を一歩ずつ

$10.0\ \text{m}$ の高さで静かに放したボールは、 $2.0\ \text{m}$ を通過するとき、どれだけの速さで動いているでしょうか？

ステップ 1

ステップ1 — 系を選び、2つの条件を確かめる

系

=

ボール

+

地球とすると、重力は内力である保存力です。境界を越えるものはなく、内部で空気抵抗もはたらきません。

\Delta E_m = 0 \quad\Longrightarrow\quad K_f + U_f = K_i + U_i

ステップ2 — 初めの状態を計算する

K_i = \tfrac{1}{2}m v_i^2 = 0 \qquad (\text{静止から放す})

U_i = mgy_i = (2.0)(9.8)(10.0) = 196.0\ \text{J}

ステップ3 — 終わりの状態を計算する

U_f = mgy_f = (2.0)(9.8)(2.0) = 39.2\ \text{J}

合計はすでに

196.0\ \text{J}

に決まっているので、運動エネルギーの部分は残りの分です。

K_f = (K_i + U_i) - U_f = 196.0 - 39.2 = 156.8\ \text{J}

ステップ4 — 速さを求める

\tfrac{1}{2}mv_f^2 = 156.8\ \text{J} \quad\Longrightarrow\quad v_f = \sqrt{\frac{2(156.8)}{2.0}} = 12.5\ \text{m/s}

文字式のままなら、数値を使う前に質量が消えます。

\tfrac{1}{2}mv_f^2 = mg(y_i - y_f) \quad\Longrightarrow\quad v_f = \sqrt{2g(y_i - y_f)} = \sqrt{2(9.8)(8.0)}

V確認クイズ

問1 · 真下への落下

条件： $0.50\ \text{kg}$ のボールを、地面から $y_i = 5.0\ \text{m}$ の高さで静かに放します。地面で $U^g = 0$ 、 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とし、空気抵抗は無視できます。地面に達するときの速さを求めてください。

✅ 正解です！

24.5\ \text{J}

の位置エネルギーがすべて運動エネルギーになりました：

v_f = \sqrt{2gy_i} = \sqrt{98} = 9.9\ \text{m/s}

。

❌ 係数2を確かめましょう。

\sqrt{gy_i} = \sqrt{49} = 7.0

では

2

が抜けています。

K = \tfrac{1}{2}mv^2

を逆に解くと出てくる係数です：

v_f^2 = 2K_f/m = 2gy_i

。

❌ 質量を2回使っています。

mgy_i

にはすでに

m

が含まれていて、さらに

m

で割ると

\sqrt{2gy_i/m} = \sqrt{196}

になってしまいます。そうではなく

m

を約分しましょう。質量は完全に消えます。

❌ それは $v_f$ ではなく $v_f^2$ です。

2gy_i = 98\ \text{m}^2/\text{s}^2

です。平方根をとると速さになります。

❌ 惜しい！

K_i = 0

、

U_f = 0

として

K_f + U_f = K_i + U_i

とおき、

\tfrac{1}{2}mv_f^2 = mgy_i

を解きましょう。

解答を見る

系をボール $+$ 地球にとると、重力は内力で保存力なので、力学的エネルギーは保存されます。

K_i + U_i = K_f + U_f

初めはボールが $5.0\ \text{m}$ の高さで静止しており、終わりは位置エネルギーがゼロの位置にあります。

0 + mgy_i = \tfrac{1}{2}mv_f^2 + 0

両辺を $m$ で割ります。ここで質量が消えます。

v_f = \sqrt{2gy_i} = \sqrt{2(9.8)(5.0)} = \sqrt{98} = 9.9\ \text{m/s}

エネルギーの検算： $U_i = (0.50)(9.8)(5.0) = 24.5\ \text{J}$ 、 $K_f = \tfrac{1}{2}(0.50)(9.9)^2 = 24.5\ \text{J}$ です。同じジュールが、呼び名を変えただけです。

問2 · エネルギーはどちら向きに移るか

条件： $1.5\ \text{kg}$ のボールが手を離れ、 $4.0\ \text{m}$ 上昇して最高点に達します。 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とし、空気抵抗はありません。この上昇のあいだの、ボール $+$ 地球の系の $\Delta U^g$ と $\Delta K$ を求めてください。

✅ 正解です！ 距離が広がるので

U^g

は

58.8\ \text{J}

増え、その1ジュール残らずを

\Delta K = -\Delta U^g

がまかないます。

❌ 符号が逆です。 ボールは高い位置で終わるので

y_f - y_i = +4.0\ \text{m}

となり、

\Delta U^g = mg(y_f - y_i)

は正です。また、上昇するボールは遅くなるので、

\Delta K

が正になることはありません。

❌ それは $\Delta K = +\Delta U$ です。 保存則は

\Delta K + \Delta U = 0

、つまり

\Delta K = -\Delta U

を意味します。両方が

+58.8\ \text{J}

なら、系はどこからともなく

117.6\ \text{J}

を得たことになります。

❌ 保存則が固定するのは和であって、それぞれの項ではありません。 変化が打ち消し合う限り、

K

と

U

はいくらでも変わることができます。実際、ボールは上るにつれてはっきり遅くなります。

❌ 惜しい！ まず

\Delta U^g = mg(y_f - y_i)

を計算し、次に

\Delta K = -\Delta U^g

を使いましょう。

解答を見る

地表付近では $U^g = mgy$ なので、上昇に必要なエネルギーは

\Delta U^g = mg(y_f - y_i) = (1.5)(9.8)(4.0) = +58.8\ \text{J}

系は閉じていて、仕事をする内力は重力だけなので、 $\Delta E_m = \Delta K + \Delta U^g = 0$ です。

\Delta K = -\Delta U^g = -58.8\ \text{J}

検算： ボールは手を離れるとき、少なくとも $58.8\ \text{J}$ の運動エネルギーをもっていたはずです。つまり

v_i = \sqrt{\frac{2(58.8)}{1.5}} = \sqrt{78.4} = 8.9\ \text{m/s}

で、これはちょうど $4.0\ \text{m}$ まで届く投げ上げの速さです。

問3 · 動画のボール：手から最高点まで

条件： $2.0\ \text{kg}$ のボールを、手の位置から $14\ \text{m/s}$ で真上に投げ上げます。手の位置で $y = 0$ 、 $U^g = 0$ とします。 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とし、空気抵抗は無視します。

系の力学的エネルギーはいくらですか？

ボールはどの高さまで上がりますか？

✅ 正解です！ 手の位置ではすべて運動エネルギーだった

196\ \text{J}

が、

10.0\ \text{m}

ではすべて位置エネルギーの

196\ \text{J}

になります。同じ数が2回出てくるのです。

❌ そこで $U^g = 0$ ですが、 $K$ はゼロではありません。 位置エネルギーのゼロ点はどこにとるかという選択であって、系がエネルギーをもたないという意味ではありません。ボールは

14\ \text{m/s}

で動いています。

❌ 力学的エネルギーを確かめましょう。 手の位置では

U^g = mgy = 0

なので、

m = 2.0\ \text{kg}

、

v = 14\ \text{m/s}

として

E_m = K = \tfrac{1}{2}mv^2

です。

\tfrac{1}{2}

も質量も忘れずに残しましょう。

❌ 高さを確かめましょう。 最高点でボールは一瞬静止するので

K_f = 0

で、

196\ \text{J}

はすべて

U^g = mgy_{\max} = 19.6\,y_{\max}

に入っています。

解答を見る

ステップ1 — 手の位置での力学的エネルギー。 $y = 0$ なので位置エネルギーの項は消え、運動エネルギーの項だけが残ります。

E_m = \tfrac{1}{2}mv^2 + mgy = \tfrac{1}{2}(2.0)(14)^2 + 0 = 196\ \text{J}

ステップ2 — 最高点に実用的な式を適用する。 最高点でボールは一瞬静止するので、 $K_f = 0$ です。

K_f + U_f = K_i + U_i \;\Longrightarrow\; 0 + mgy_{\max} = 196\ \text{J}

y_{\max} = \frac{196}{(2.0)(9.8)} = \frac{196}{19.6} = 10.0\ \text{m}

文字式では： $\tfrac{1}{2}mv^2 = mgy_{\max}$ から $y_{\max} = v^2/2g = 196/19.6$ が得られます。ここでも質量は消えます。よくある間違いは、 $\tfrac{1}{2}$ を忘れて $v^2/g = 20.0\ \text{m}$ としてしまうことです。

問4 · 地球が受け取る運動エネルギーの割合

条件： $2.0\ \text{kg}$ のボールが地球（ $m_e = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$ ）に向かって落下します。2つの重力は大きさが等しく向きが反対で、同じ時間だけはたらくので、2つの物体は同じ大きさ $p$ の運動量を得ます。 $K = p^2/2m$ を使って、地球と物体が得る運動エネルギーの比 $K_e/K_o$ を求めてください。

✅ 正解です！ 運動量が等しければ、重い物体ほど受け取る分は小さくなります。この

3 \times 10^{-25}

こそ、手で落とせるどんな物でも

\Delta K_{\text{sys}} \cong \Delta K_o

となる理由です。

❌ 比が逆さまです。

K = p^2/2m

では質量で割るので、

p

が等しければ重い物体ほどエネルギーは小さくなります。ごくわずかなのは地球の分のはずです。

❌ 運動量が等しくても、エネルギーは等しくありません。 第三法則の対によって確かに

|\Delta p_e| = |\Delta p_o|

となりますが、

K = p^2/2m

により、その運動量に対するエネルギーは質量に反比例して分かれます。

❌ 平方根は出てきません。

K

は

1/\sqrt{m}

ではなく

1/m

に比例します。

K_e/K_o

をつくると

p^2/2

はちょうど消え、

m_o/m_e

が残ります。

❌ 惜しい！

K_e = p^2/2m_e

と

K_o = p^2/2m_o

を書いて割り算しましょう。質量以外はすべて消えます。

解答を見る

ニュートンの第三法則により2つの力は大きさが等しく向きが反対で、同じ時間だけはたらくので、運動量の大きさは一致します： $|\Delta p_e| = |\Delta p_o| = p$ 。それぞれの運動エネルギーを、この共通の運動量で表すと、

K_e = \frac{p^2}{2m_e}, \qquad K_o = \frac{p^2}{2m_o}

\frac{K_e}{K_o} = \frac{p^2/2m_e}{p^2/2m_o} = \frac{m_o}{m_e} = \frac{2.0}{6.0 \times 10^{24}} = 3.3 \times 10^{-25}

20桁以上も小さいので、地球の項はまったく無視できます。

\Delta K_{\text{sys}} = \Delta K_e + \Delta K_o \cong \Delta K_o = \tfrac{1}{2}m_o v_{o,f}^2 - \tfrac{1}{2}m_o v_{o,i}^2

これが意味しないことに注意してください。地球はあくまで系の一部で、 $U^g$ も二物体の組に属したままです。帳簿から落とすのは、運動エネルギーのうち地球の分だけです。

正解数：0 / 4