古典力学 · 第17回 · 動画2 · インタラクティブ教材

一本の曲線が運動のすべてを語る――ばねのエネルギー図を読む

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$U^s(x) = \tfrac{1}{2}kx^2$	ばねのポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）	基準点の選び方 $U^s(0) \equiv 0$
$F_x^s = -\dfrac{dU^s(x)}{dx} = -kx$	力は傾きにマイナスをつけたもの	$x$ での曲線の傾き
$K(x) = E_m - U^s(x)$	図の上での運動エネルギー	エネルギーの線と曲線のすき間
$x_{\max} = \sqrt{\dfrac{2E_m}{k}}$	転回点	保存されるエネルギー $E_m$ とばね定数 $k$

ポイント： 放物線だけで、あらゆる位置での力が決まります。高さ $E_m$ に水平線を1本加えれば、同じ図から転回点も、各位置での運動エネルギーも、物体が決して入れない領域も決まります。運動方程式を一つも解かないうちに、です。

II可視化1 — 力は傾きにマイナスをつけたもの

どの位置でも、ばねの力はポテンシャルエネルギーの曲線の傾きにマイナスをつけたものです。

III可視化2 — 運動が止まる場所

水平なエネルギーの線は、運動の範囲を区切る2つの転回点で放物線と交わります。

エネルギー E (J) 2.00

💡 同じ図の上の量子的な物体は、塗られた帯の中に見つかる確率が、ごくわずかながらゼロではありません。これらの領域が禁止されているのは、あくまで古典的には、なのです。

IV可視化3 — すき間が運動エネルギー

エネルギーの線と曲線のあいだの縦のすき間が $K$ です。平衡位置でいちばん広く、転回点ではゼロになります。

時刻 0.00 s

V確認クイズ

問1 · 曲線から力を求める

条件： ばね定数 $k = 40\ \text{N/m}$ のばねがあり、 $U^s(x) = \tfrac{1}{2}kx^2$ 、 $U^s(0) \equiv 0$ です。ばねを $x = 0.15\ \text{m}$ まで伸ばしたときの力の成分 $F_x^s$ を求めてください。

✅ 正解です！

F_x^s = -\dfrac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{2}kx^2\right) = -kx = -(40)(0.15) = -6.0\ \text{N}

です。負なので、伸びたばねは

x = 0

のほうへ引き戻します。

❌ 符号を確かめましょう。 大きさは合っています。伸びたばねは放物線の上り坂の側にあり、そこでは傾き

dU^s/dx

は正です。そして力は、その傾きにマイナスをつけたものです。

❌ 惜しい！ 係数

\tfrac{1}{2}

はポテンシャルエネルギーのもので、力のものではありません。

\tfrac{1}{2}kx^2

を微分すると指数の

2

が前に出て、

\tfrac{1}{2}

と打ち消し合います。

❌ それは力ではなくエネルギーです。

0.45\ \text{J}

は

U^s(0.15)

そのものの値です。力は曲線の高さではなく、その導関数にマイナスをつけたものです。

❌ 惜しい！ まず微分し、それからマイナスをつけましょう：

F_x^s = -dU^s/dx = -kx

。

解答を見る

力の成分は、ポテンシャルエネルギーの曲線の傾きにマイナスをつけたものです。

F_x^s = -\frac{dU^s(x)}{dx} = -\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}kx^2\right) = -kx

$k = 40\ \text{N/m}$ と $x = 0.15\ \text{m}$ を代入すると：

F_x^s = -(40\ \text{N/m})(0.15\ \text{m}) = -6.0\ \text{N}

マイナスの符号が、復元力であることを表しています。ばねが伸びている（ $x > 0$ ）とき、力は $-x$ の向き、つまり平衡位置へ戻る向きを向きます。比較のために言うと、そこで蓄えられているエネルギーは $U^s(0.15) = \tfrac{1}{2}(40)(0.15)^2 = 0.45\ \text{J}$ です。これは単位も異なる、別の量です。

問2 · 転回点の位置を求める

条件： 摩擦のないばねと物体の系があり、 $k = 50\ \text{N/m}$ 、保存される力学的エネルギーは $E_m = 4.0\ \text{J}$ 、 $U^s(0) \equiv 0$ です。ばねの最大の伸び $x_{\max}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 転回点では

K = 0

なので

E_m = \tfrac{1}{2}kx_{\max}^2

となり、

x_{\max} = \sqrt{2E_m/k} = \sqrt{0.16} = 0.40\ \text{m}

です。

❌ あと一歩です。

2E_m/k = 0.16

は

x_{\max}

ではなく

x_{\max}^2

で、単位も

\text{m}^2

です。平方根をとりましょう。

❌ 係数2が抜けています。

\tfrac{1}{2}kx_{\max}^2 = E_m

から得られるのは

x_{\max}^2 = 2E_m/k

で、

E_m/k

ではありません。

\sqrt{E_m/k} = 0.28\ \text{m}

は別の方程式の答えです。

❌ 二歩足りません。

E_m/k = 0.08

では係数

2

が抜けているうえに、平方根もとっていません。しかも

\text{J}/(\text{N/m}) = \text{m}^2

なので、長さですらありません。

E_m = \tfrac{1}{2}kx_{\max}^2

から、

2

をかけ、

k

で割り、それから平方根をとりましょう。

❌ 惜しい！ エネルギーの線と曲線を等しいとおいて

E_m = \tfrac{1}{2}kx_{\max}^2

とし、

x_{\max}

について解きましょう。

解答を見る

転回点は水平なエネルギーの線が放物線と交わる点なので、エネルギーはすべてポテンシャルエネルギーで、 $K = 0$ です。

E_m = U^s(x_{\max}) = \frac{1}{2}kx_{\max}^2

$x_{\max}$ について解くと：

x_{\max} = \sqrt{\frac{2E_m}{k}} = \sqrt{\frac{2(4.0\ \text{J})}{50\ \text{N/m}}} = \sqrt{0.16\ \text{m}^2} = 0.40\ \text{m}

線は曲線と左右対称に交わるので、運動は $-0.40\ \text{m} \le x \le 0.40\ \text{m}$ に閉じこめられます。 $-x_{\max}$ が最大の縮み、 $+x_{\max}$ が最大の伸びです。

問3 · すき間を読む

条件： 摩擦のない面の上で、質量 $m = 0.50\ \text{kg}$ の物体が $k = 200\ \text{N/m}$ のばねにつながれています。物体を $x = 0.10\ \text{m}$ まで引いて、静かに放します。 $x = 0.060\ \text{m}$ を通過するときの運動エネルギーと速さを求めてください。

そこでの運動エネルギーは？

そこでの速さは？

✅ 正解です！

x = 0.10\ \text{m}

で静かに放したことから

E_m = 1.00\ \text{J}

が決まります。

x = 0.060\ \text{m}

でのすき間は

K = 1.00 - 0.36 = 0.64\ \text{J}

で、

v = \sqrt{2K/m} = 1.60\ \text{m/s}

です。

❌ すき間を確かめましょう。 静かに放したので、物体は転回点から動き始めます。したがって

E_m = U^s(0.10) = 1.00\ \text{J}

です。運動エネルギーは差

E_m - U^s(0.060)

であって、どちらか一方の高さではありません。

❌ 速さを求める段階を確かめましょう。

K = \tfrac{1}{2}mv^2

を解くと

v = \sqrt{2K/m}

です。

E_m

ではなく

K

を使い、根号の中の係数

2

を忘れないようにしましょう。

解答を見る

ステップ1 — エネルギーの線。 静かに放したので、そこで $K = 0$ です。したがって $x = 0.10\ \text{m}$ は転回点で、その高さが $E_m$ を決めます。

E_m = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}(200)(0.10)^2 = 1.00\ \text{J}

ステップ2 — 新しい位置での曲線の高さ。

U^s(0.060) = \frac{1}{2}(200)(0.060)^2 = 0.36\ \text{J}

ステップ3 — すき間が運動エネルギー。

K = E_m - U^s(x) = 1.00\ \text{J} - 0.36\ \text{J} = 0.64\ \text{J}

ステップ4 — エネルギーを速さに直す。

v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.64\ \text{J})}{0.50\ \text{kg}}} = \sqrt{2.56\ \text{m}^2/\text{s}^2} = 1.60\ \text{m/s}

$0.060\ \text{m}$ から内側へ進むにつれてすき間は広がり続け、速さは $x = 0$ で最大の $v = \sqrt{2(1.00)/0.50} = 2.00\ \text{m/s}$ になります。

問4 · 転回点の向こう側

条件： $k = 100\ \text{N/m}$ として $U^s(x) = \tfrac{1}{2}kx^2$ で、物体の保存される力学的エネルギーは $E_m = 2.0\ \text{J}$ です。位置 $x = 0.25\ \text{m}$ についてエネルギー図から何が言えるか、判断してください。

✅ 正解です！

U^s(0.25) = 3.125\ \text{J}

は

2.0\ \text{J}

のエネルギーの線より上にあるので、そこでは

K

が負になってしまいます。転回点は

x_{\max} = \sqrt{2(2.0)/100} = 0.20\ \text{m}

です。

❌ その数はすき間ではなく、曲線の高さです。

3.125\ \text{J}

は

U^s(0.25)

です。運動エネルギーは

E_m - U^s

で、ここではその差は負になります。

❌ 線が実際に曲線と交わる位置を確かめましょう。 一瞬静止するということは

E_m = U^s(x)

ということで、これから

x = \sqrt{2(2.0)/100} = 0.20\ \text{m}

が得られます。物体は

0.25\ \text{m}

に達する前に、すでに引き返しています。

❌ 計算は合っていますが、その意味を読み取りましょう。

E_m - U^s = -1.125\ \text{J}

こそが矛盾です。

K = \tfrac{1}{2}mv^2

は決して負にならないので、物体がそこに見つかることはまったくありません。

❌ 惜しい！

x = 0.25\ \text{m}

での曲線の高さとエネルギーの線の高さを比べ、

K = E_m - U^s

が負になりうるかを考えましょう。

解答を見る

ステップ1 — その位置での曲線の高さ。

U^s(0.25) = \frac{1}{2}(100)(0.25)^2 = 3.125\ \text{J}

ステップ2 — エネルギーの線と比べる。 $U^s(0.25) = 3.125\ \text{J} > E_m = 2.0\ \text{J}$ なので、そこでは放物線が線より上にあります。したがって

K = E_m - U^s(x) = 2.0\ \text{J} - 3.125\ \text{J} = -1.125\ \text{J}

ステップ3 — これを退ける。 どんな実数の速さに対しても運動エネルギーは $K = \tfrac{1}{2}mv^2 \ge 0$ なので、このエネルギーをもつ物体が $x = 0.25\ \text{m}$ に見つかることはありえません。そこは古典的に禁止された領域です。

ステップ4 — 実際に引き返す位置。

x_{\max} = \sqrt{\frac{2E_m}{k}} = \sqrt{\frac{2(2.0)}{100}} = \sqrt{0.04} = 0.20\ \text{m}

運動は $-0.20\ \text{m} \le x \le 0.20\ \text{m}$ の有界な振動です。その外側はすべて禁止されています。古典的には、ですが。

正解数：0 / 4