古典力学 · 第17回 · 動画4 · インタラクティブ教材

崩れる交換：力学的エネルギーが保存されなくても、エネルギーは保存される

I重要な公式

公式名称必要なもの
W=Wc+Wnc,ΔU=−WcW = W_c + W_{\text{nc}}, \qquad \Delta U = -W_c内力の仕事の分解経路に依存するかどうかで分けた内力
Wnc=ΔK+ΔU=ΔEmW_{\text{nc}} = \Delta K + \Delta U = \Delta E_m非保存力の仕事始状態と終状態での KK と UU
ΔEsystem=ΔEm−Wnc=0\Delta E_{\text{system}} = \Delta E_m - W_{\text{nc}} = 0閉じた系の全エネルギー境界を越えるものが何もないこと
Wext+Q=ΔEsysW^{\text{ext}} + Q = \Delta E_{\text{sys}}熱力学第一法則境界を越える仕事と熱（符号つき）

ポイント： 力学的エネルギーは帳簿の1つの欄にすぎず、帳簿の全体ではありません。WncW_{\text{nc}} は、そのうちどれだけが回収できないエネルギーへの一方通行の旅に出たかを正確に測ります。そして全エネルギーは決して変わりません。

II可視化1 — 摩擦力にポテンシャルエネルギーがない理由

始点も終点も同じで、経路だけが違います。摩擦力はどちらの経路でも同じエネルギーを奪うでしょうか？

💡 摩擦力にはポテンシャルエネルギーの関数を書くことができません。蓄えた値が、本がどの経路を通ってそこに着いたかによって変わってしまうからです。

III可視化2 — 帳簿：Wnc=ΔEmW_{\text{nc}} = \Delta E_m

運動エネルギーは失われていき、それを受け止めるポテンシャルエネルギーの増加もありません。では、エネルギーはどこへ行くのでしょうか？

💡 映像を逆再生すると、机がみずから冷えて本を机の上へ押し出すことになります。エネルギーの収支はすべて合っているのに、こんなことは決して起こりません。この一方通行の性質こそ、この過程を不可逆にしているものです。

IV可視化3 — 境界を越える2つの道筋

系を閉じるのをやめます。外部からの仕事と熱がエネルギーを運び入れたり運び出したりし、その符号が向きを決めます。

V確認クイズ

問1 · 結果を読み取る

条件： 2.0 kg2.0\ \text{kg} の本が Ki=60.0 JK_i = 60.0\ \text{J} の運動エネルギーをもって、水平な机の上をまっすぐ滑ります。摩擦力は本に −49.0 J-49.0\ \text{J} の仕事をし、ポテンシャルエネルギーは変化しません。ΔEm\Delta E_m と終点での運動エネルギーを求めてください。

✅ 正解です！ ここでは力学的エネルギーは保存されません。ちょうど非保存力の仕事の分だけ変化し、その 49.0 J49.0\ \text{J} は今では回収できないエネルギーになっています。
❌ 保存されるのは全エネルギーで、力学的エネルギーではありません。 Wnc=ΔEmW_{\text{nc}} = \Delta E_m なので、WncW_{\text{nc}} がゼロでなければ ΔEm\Delta E_m もゼロではありません。
❌ 符号を確かめましょう。 摩擦力は各瞬間にすべりを妨げるので Wnc<0W_{\text{nc}} < 0 であり、ΔEm\Delta E_m も同じ符号になります。
❌ それは奪われたエネルギーで、残ったエネルギーではありません。 それを KiK_i から引きます：Kf=60.0−49.0K_f = 60.0 - 49.0。
❌ 惜しい！ Wnc=ΔK+ΔUW_{\text{nc}} = \Delta K + \Delta U から始め、水平な机では ΔU=0\Delta U = 0 とします。
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机は水平なので、ポテンシャルエネルギーは変化せず ΔU=0\Delta U = 0 です。

Wnc=ΔK+ΔU=ΔK=ΔEm=−49.0 JW_{\text{nc}} = \Delta K + \Delta U = \Delta K = \Delta E_m = -49.0\ \text{J} Kf=Ki+ΔK=60.0−49.0=11.0 JK_f = K_i + \Delta K = 60.0 - 49.0 = 11.0\ \text{J}

何も失われてはいません。回収できないエネルギーの欄が −Wnc=+49.0 J-W_{\text{nc}} = +49.0\ \text{J} だけ増えたので、閉じた系については次のようになります。

ΔEsystem=ΔEm−Wnc=−49.0−(−49.0)=0\Delta E_{\text{system}} = \Delta E_m - W_{\text{nc}} = -49.0 - (-49.0) = 0

本の運動は、本と机の温かさと交換されました。損失ではなく、移動です。

問2 · 符号の約束

条件： 系が外界に 30 J30\ \text{J} の仕事をし、その間に 80 J80\ \text{J} の熱エネルギーが系に流れ込みます。ΔEsys\Delta E_{\text{sys}} と ΔEsurroundings\Delta E_{\text{surroundings}} を求めてください。

✅ 正解です！ 流れ込む熱が、出ていく仕事を上回ります。外界の帳簿には、符号が逆で同じ大きさの額が記入されます。
❌ WextW^{\text{ext}} は外界が系にする仕事です。 ここでは系が仕事をするので Wext=−30 JW^{\text{ext}} = -30\ \text{J} であり、+30 J+30\ \text{J} ではありません。
❌ 2つの道筋の向きがどちらも逆です。 Q=+80 JQ = +80\ \text{J} が流れ込み、出ていく仕事は 30 J30\ \text{J} だけなので、系のエネルギーは増えます。
❌ 両方が増えることはありません。 ΔEsystem=−ΔEsurroundings\Delta E_{\text{system}} = -\Delta E_{\text{surroundings}} です。一方が得た分だけ、もう一方が失います。
❌ 惜しい！ まずそれぞれの道筋に符号をつけてから足します：Wext+Q=ΔEsysW^{\text{ext}} + Q = \Delta E_{\text{sys}}。
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仕事をするのは系なので、外部からの仕事の道筋は外向きで、マイナス符号がつきます。熱の道筋は内向きで、プラス符号がつきます。

Wext=−30 J,Q=+80 JW^{\text{ext}} = -30\ \text{J}, \qquad Q = +80\ \text{J} ΔEsys=Wext+Q=−30+80=+50 J\Delta E_{\text{sys}} = W^{\text{ext}} + Q = -30 + 80 = +50\ \text{J}

その差額は外界が負担しました。

ΔEsurroundings=−ΔEsys=−50 J\Delta E_{\text{surroundings}} = -\Delta E_{\text{sys}} = -50\ \text{J}

2つの道筋は物理的には異なります。WextW^{\text{ext}} はそろった、組織的な運動を運び、QQ は不規則な熱運動を運びます。それでも第一法則は、両者を単なる符号つきの数として足し合わせます。

問3 · 粗い斜面

条件： 2.0 kg2.0\ \text{kg} のブロックが静止状態から斜面を L=3.0 mL = 3.0\ \text{m} 滑り下り、高さが h=1.5 mh = 1.5\ \text{m} 下がります。その間、斜面に沿って一定の摩擦力 f=3.0 Nf = 3.0\ \text{N} がはたらきます（g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2）。ΔEm\Delta E_m と斜面の下端での速さを求めてください。

力学的エネルギーの変化はいくらですか？

下端での速さはいくらですか？

✅ 正解です！ ΔEm\Delta E_m に現れるのは摩擦力の仕事だけです。放出されたポテンシャルエネルギーは、力学的エネルギーの欄の中ですべて帳尻が合っています。
❌ ポテンシャルエネルギーの減少は、損失として ΔEm\Delta E_m に入れるものではありません。 ΔEm=Wnc\Delta E_m = W_{\text{nc}} だけです。ΔU\Delta U はすでに EmE_m の中にあり、ΔK\Delta K と交換されています。
❌ それは ΔU\Delta U で、ΔEm\Delta E_m ではありません。 放出されたポテンシャルエネルギーは運動エネルギーになります。力学的エネルギーの欄から出ていくのは、摩擦力による分だけです。
❌ 12\tfrac12 の因子が抜けています。 Kf=12mvf2K_f = \tfrac12 m v_f^2 なので vf=2Kf/mv_f = \sqrt{2K_f/m} であり、Kf/m\sqrt{K_f/m} ではありません。
❌ それは摩擦がない場合の答えです。 5.42 m/s5.42\ \text{m/s} は Kf=29.4 JK_f = 29.4\ \text{J} から得られる値です。そのうち 9.0 J9.0\ \text{J} は、先に摩擦力に奪われています。
❌ 斜面の長さは高さではありません。 ΔU=−mgh\Delta U = -mgh に使うのは 1.5 m1.5\ \text{m} の高低差で、3.0 m3.0\ \text{m} は Wnc=−fLW_{\text{nc}} = -fL に使います。
❌ 惜しい！ 力学的エネルギーは、非保存力の仕事の分だけ変化します：ΔEm=Wnc=−fL\Delta E_m = W_{\text{nc}} = -fL。
❌ 惜しい！ KfK_f を ΔK=ΔEm−ΔU\Delta K = \Delta E_m - \Delta U から求め、それから Kf=12mvf2K_f = \tfrac12 m v_f^2 を速さについて解きます。
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ステップ1 — 2つの仕事の項。 重力は保存力で、その仕事は ΔU\Delta U が記録しています。非保存力は摩擦力だけです。

ΔU=−mgh=−(2.0)(9.8)(1.5)=−29.4 J,Wnc=−fL=−(3.0)(3.0)=−9.0 J\Delta U = -mgh = -(2.0)(9.8)(1.5) = -29.4\ \text{J}, \qquad W_{\text{nc}} = -fL = -(3.0)(3.0) = -9.0\ \text{J}

ステップ2 — 力学的エネルギーの変化。

ΔEm=Wnc=−9.0 J\Delta E_m = W_{\text{nc}} = -9.0\ \text{J}

ステップ3 — 運動エネルギー。 Wnc=ΔK+ΔUW_{\text{nc}} = \Delta K + \Delta U から、

ΔK=Wnc−ΔU=−9.0−(−29.4)=20.4 J\Delta K = W_{\text{nc}} - \Delta U = -9.0 - (-29.4) = 20.4\ \text{J}

ブロックは静止状態から動き出したので Kf=20.4 JK_f = 20.4\ \text{J} であり、

vf=2Kfm=2(20.4)2.0=20.4=4.52 m/sv_f = \sqrt{\frac{2K_f}{m}} = \sqrt{\frac{2(20.4)}{2.0}} = \sqrt{20.4} = 4.52\ \text{m/s}

検算： 摩擦がなければ、ブロックは 29.4=5.42 m/s\sqrt{29.4} = 5.42\ \text{m/s} で下端に着きます。足りない 9.0 J9.0\ \text{J} は消えたわけではありません。今は回収できないエネルギーの欄にあり、ブロックと斜面を温めています。

問4 · 閉じた経路を一周する

条件： ブロックが粗い斜面を L=4.0 mL = 4.0\ \text{m} 滑り下りて AA から BB へ移り、高さが 2.0 m2.0\ \text{m} 下がります。その後、同じ斜面を AA まで押し戻されます。行きも帰りも、一定の摩擦力 f=6.0 Nf = 6.0\ \text{N} がすべりを妨げます。一周 A→B→AA \to B \to A の間にそれぞれの力がする仕事を求めてください。

一周の間に重力がする仕事はいくらですか？

一周の間に摩擦力がする仕事はいくらですか？

✅ 正解です！ 保存力は奪ったものをすべて返しますが、摩擦力は奪ったエネルギーを少しも返しません。そのため、同じ状態に戻すには、手が 48 J48\ \text{J} の外部からの仕事を供給しなければなりませんでした。
❌ 2つの区間では符号が逆です。 重力は下りで +mgh+mgh、上りで −mgh-mgh の仕事をし、これらはちょうど打ち消し合います。
❌ 質量は必要ありません。 mghmgh がいくらであっても、この一周では下りが +mgh+mgh、上りが −mgh-mgh を寄与します。
❌ 閉じた経路を一周してゼロになるのは、保存力のしるしです。 摩擦力はこのテストに合格しません。合格しないことこそ、摩擦力が非保存力である理由です。
❌ それは片道だけです。 ブロックは 4.0 m4.0\ \text{m} 下り、4.0 m4.0\ \text{m} 上って戻るので、摩擦力は 8.0 m8.0\ \text{m} の経路にわたってはたらきます。
❌ 摩擦力が滑るブロックに正の仕事をすることはありません。 摩擦力は運動とともに向きを変えるので、どちらの区間でも変位を妨げ、どちらの寄与も負になります。
❌ 惜しい！ 重力の仕事は始点と終点だけで決まり、一周すると出発点に戻ります。
❌ 惜しい！ 摩擦力の仕事は経路の長さで決まります：Wnc=−f×(滑った距離の合計)W_{\text{nc}} = -f \times (\text{滑った距離の合計})。
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重力。 その仕事は高さの変化だけで決まり、一周するとブロックは最初の高さに戻ります。

Wg=(+mgh)+(−mgh)=0W^g = (+mgh) + (-mgh) = 0

これが閉じた経路での保存力のしるしであり、そもそも UgU^g が存在できるのはこのためです。

摩擦力。 摩擦力は運動とともに向きを変えるので、どちらの区間でも変位を妨げ、その寄与は打ち消し合わずに足し合わされます。

Wnc=−f(L+L)=−(6.0)(8.0)=−48 JW_{\text{nc}} = -f(L + L) = -(6.0)(8.0) = -48\ \text{J}

その代償。 ブロックは最初とまったく同じ状態で終わるので、一周全体で ΔEm=0\Delta E_m = 0 です。それでも、48 J48\ \text{J} の回収できないエネルギーが生まれました。この系は閉じていません。ブロックを押し戻した手が、外部からの仕事

Wext=ΔEsys=+48 J(ただし Q=0)W^{\text{ext}} = \Delta E_{\text{sys}} = +48\ \text{J} \quad (\text{ただし } Q = 0)

をしたのです。これがまさに往復の代価です。保存力はエネルギーを貸して、その貸しを取り戻します。非保存力には、一周ごとに外から支払わなければなりません。

正解数：0 / 4