古典力学 · 第18回 · 動画2 · インタラクティブ教材

エネルギーだけでは宙返りループは解けない：ばね・物体・ループ（例題14.3）

I重要な公式

公式	名称	わかること
$\tfrac{1}{2}kx^2 = 2mgR + \tfrac{1}{2}mv_{top}^2$	エネルギー保存則、ばね $\to$ 最高点	一つの式に二つの未知数（ $x$ と $v_{top}$ ）
$-mg - N = -\dfrac{mv_{top}^2}{R}$	最高点での動径方向のニュートンの第二法則	二つの力はどちらも中心を向く
$v_{top} = \sqrt{3gR}$	$N = 2mg$ のときの最高点での速さ	質量は約分されて消え、 $g$ と $R$ だけが残る
$x = \sqrt{\dfrac{7mgR}{k}}$	ばねの縮み	二つの原理を組み合わせた結果

ポイント：エネルギー保存則は二つの状態のエネルギーを見積もりますが、 $x$ と $v_{top}$ は一つの式の中にからみ合ったまま残ります。レールの押す力が指定された一点でニュートンの第二法則を使うと、独立な二つめの式が得られます。

II可視化1 — ばねのエネルギーの行き先

ばねに蓄えられたエネルギーの使い道はちょうど二つです。高さ $2R$ まで登ることと、最高点に残る運動エネルギーです。

道のりばね

III可視化2 — レールの押す力が速さを決める

最高点では二つの力がどちらも中心を向くので、レールが強く押すほど物体は速くなります。

N / mg 2.00

💡 レールの力を $N = 0$ より小さくしようとすると、物体を円の上にとどめるものは何もなくなります。物体はレールを離れて投射体として飛んでいくので、 $\sqrt{gR}$ が半径 $R$ のループを通過できる最小の速さです。

IV可視化3 — 二つの原理、一つの縮み

二つの原理は同じ $\tfrac{1}{2}mv_{top}^2$ を表しているので、それらを等しいとおくと縮み $x$ が決まります。

ステップ 1

ステップ1 — エネルギー保存則（小問(a)）

摩擦のないレールで空気抵抗もないので、

W_{nc} = 0

、

E_f = E_i

です：

2mgR + \tfrac{1}{2}mv_{top}^2 = \tfrac{1}{2}kx^2 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{2}mv_{top}^2 = \tfrac{1}{2}kx^2 - 2mgR

一つの式に

x

と

v_{top}

の二つの未知数。エネルギーだけではここで行き詰まります。

ステップ2 — 最高点でのニュートンの第二法則（小問(b)）

上向きを

+y

にとると、

mg

も

N

も下向き、つまり中心を向きます：

-mg - N = -\frac{mv_{top}^2}{R}, \qquad N = 2mg \;\Longrightarrow\; 3mg = \frac{mv_{top}^2}{R}

\tfrac{R}{2}

をかけると、力の式がエネルギーの式に変わります：

\tfrac{1}{2}mv_{top}^2 = \tfrac{3}{2}mgR \qquad (v_{top} = \sqrt{3gR})

ステップ3 — 一つの量、二つの表し方

\tfrac{1}{2}kx^2 - 2mgR = \tfrac{3}{2}mgR

ステップ4 — 収支を読む

\tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{3}{2}mgR + 2mgR = \tfrac{7}{2}mgR

ばねが蓄える

\tfrac{7}{2}mgR

のうち、

2mgR

は高さ

2R

まで登るのに使われ、

\tfrac{3}{2}mgR

は最高点でもまだ運動エネルギーとして残っています。

ステップ5 — 縮みについて解く

x^2 = \frac{7mgR}{k} \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{\frac{7mgR}{k}}

k

が大きい（ばねが硬い）ほど

x

は小さく、

m

や

R

が大きいほど

x

は大きくなります。

V確認クイズ

問1 · 最高点での速さ

条件： 質量 $m$ の物体が半径 $R$ の鉛直なループの最高点を通過します。そこでレールは大きさ $N = 2mg$ の垂直抗力で物体を押しています。速さ $v_{top}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 重力と垂直抗力を合わせると中心向きの力は

3mg

なので、

v_{top}^2 = 3gR

です。

g

と

R

だけで決まります。

❌ 重力が抜けています。 最高点では重力も中心を向くので、動径方向の合力は

N = 2mg

ではなく

mg + N = 3mg

です。

❌ それは $N$ を上向きにしたときの答えです。

N

を上向きに描くと

N - mg = mg

となり、

v^2 = gR

です。レールは押すことしかできず、ループの最高点で押すとは下向きに押すことです。

❌ 式変形が一歩足りません。

\tfrac{1}{2}mv_{top}^2 = \tfrac{3}{2}mgR

に

\tfrac{2}{m}

をかけると、

\tfrac{3}{2}gR

ではなく

v_{top}^2 = 3gR

です。

❌ 惜しい！ 二つの力がどちらも中心を向くように動径方向の式を立て、

N = 2mg

を代入しましょう。

解答を見る

ループの最高点では円の中心が物体の下にあるので、向心加速度は下向きで、二つの力も下向きです。上向きを $+y$ にとると：

-mg - N = -\frac{mv_{top}^2}{R}

与えられた条件 $N = 2mg$ を代入すると：

-mg - 2mg = -\frac{mv_{top}^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad 3mg = \frac{mv_{top}^2}{R}

質量は約分されて消え、 $v_{top}^2 = 3gR$ となるので

v_{top} = \sqrt{3gR}

同じことですが、 $\tfrac{1}{2}mv_{top}^2 = \tfrac{3}{2}mgR$ です。これは最高点での運動エネルギーで、ばねにはまったく触れずに、力だけから決まります。

問2 · 許されるいちばん遅い通過

条件： 同じ半径 $R$ のループで、 $N$ には条件を課しません。物体がまだレールに接していられる、最高点での最小の速さを求めてください。

✅ 正解です！

N

が負にならなければならなくなった瞬間に接触は失われるので、限界は

N = 0

の場合で、重力だけが

mv^2/R

をまかないます。

❌ それはエネルギーだけの考え方です。 最高点にたどり着くだけでは足りません。

v = 0

では必要な向心力はゼロなのに、重力はなお

mg

で引くので、物体はすでにレールを離れています。

❌ 半径を確かめましょう。

\sqrt{2gR}

は、直径を使って

a = v^2/(2R)

とした値です。向心加速度には半径を使います：

a = v^2/R

。

❌ それは $N = 2mg$ の場合です。 ここでは

N

に条件がないので、限界はレールが出せる最小の押す力、

N = 0

です。

❌ 惜しい！ レールが出せる最小の垂直抗力はいくらかを考え、その値を動径方向の式に入れましょう。

解答を見る

レールは押せても引けないので、 $N \ge 0$ です。上向きを $+y$ にとると、最高点での動径方向の式は

-mg - N = -\frac{mv^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{(mg + N)R}{m}

速さが最小になるのは $N$ が最小、すなわち $N = 0$ のときです：

v_{min}^2 = gR \quad\Longrightarrow\quad v_{min} = \sqrt{gR}

ちょうどこの速さのとき、重力だけで物体は円に沿って曲がります。これより遅いと必要な向心力が $mg$ より小さくなり、レールにはそれを実現できません。物体は最高点に達する前にループから離れて落ちていきます。

問3 · さらに強い条件

条件： 動画と同じばね（ $k$ ）、物体（ $m$ ）、摩擦のないループ（ $R$ ）を使いますが、最高点での垂直抗力が $N = 4mg$ になるように留め金の位置を決めます。最高点での運動エネルギーと縮み $x$ を求めてください。

最高点での運動エネルギーは？

ばねの縮みは？

✅ 正解です！ 最高点でより強く押させるには、より多くの蓄えたエネルギーが必要です。

\tfrac{1}{2}kx^2 = 2mgR + \tfrac{5}{2}mgR = \tfrac{9}{2}mgR

なので、

x = 3\sqrt{mgR/k}

です。

❌ 動径方向の式を確かめましょう。

N = 4mg

なら中心向きの力は

mg + 4mg = 5mg

で、

v_{top}^2 = 5gR

、

\tfrac{1}{2}mv_{top}^2 = \tfrac{5}{2}mgR

となります。動画の

\tfrac{3}{2}mgR

は

N = 2mg

の場合の値です。

❌ エネルギーの収支を確かめましょう。 ばねは上昇分

2mgR

と運動エネルギー

\tfrac{5}{2}mgR

の両方をまかなわなければなりません。

\tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{9}{2}mgR

から

x^2 = 9mgR/k

です。

解答を見る

ステップ1 — 最高点でのニュートンの第二法則（二つの力はどちらも中心向き、上向きが $+y$ ）：

-mg - 4mg = -\frac{mv_{top}^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad 5mg = \frac{mv_{top}^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad v_{top}^2 = 5gR

\tfrac{1}{2}mv_{top}^2 = \tfrac{5}{2}mgR

ステップ2 — エネルギー保存則（縮んだばねと最高点のあいだ）：

\tfrac{1}{2}kx^2 = 2mgR + \tfrac{1}{2}mv_{top}^2 = 2mgR + \tfrac{5}{2}mgR = \tfrac{9}{2}mgR

ステップ3 — $x$ について解く（ $2/k$ をかけてから平方根をとる）：

x^2 = \frac{9mgR}{k} \quad\Longrightarrow\quad x = 3\sqrt{\frac{mgR}{k}}

動画の $\sqrt{7mgR/k} \approx 2.65\sqrt{mgR/k}$ と比べましょう。上昇分の $2mgR$ は変わらず、変わったのは最高点での運動エネルギーの分だけです。

問4 · 質量を2倍にする

条件： 同じばね（ $k$ ）とループ（ $R$ ）で、物体の質量を $2m$ にし、やはり最高点での垂直抗力が重さの2倍になるように打ち出します。 $v_{top}$ と必要な縮み $x$ がどう変わるかを求めてください。

最高点での速さは？

必要な縮みは？

✅ 正解です！ 質量は動径方向の式では約分されますが、エネルギーの式では約分されません。

v_{top} = \sqrt{3gR}

は変わらず、

x = \sqrt{7mgR/k}

は

\sqrt{m}

に比例して大きくなります。

❌ ここでは質量は約分されます。

3(2m)g = (2m)v_{top}^2/R

の両辺を

2m

でわると

v_{top}^2 = 3gR

が残り、速さは前と同じです。

❌ 式の中で $m$ がどう入っているかを見ましょう。

x = \sqrt{7mgR/k}

は質量の平方根に比例するので、

m

を2倍にすると、

x

は

2

倍ではなく

\sqrt{2} \approx 1.41

倍になります。

解答を見る

速さ。 質量が $2m$ のとき、「 $N$ は重さの2倍」という条件は $N = 2(2m)g$ となり、動径方向の式は

-(2m)g - 2(2m)g = -\frac{(2m)v_{top}^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad 3g = \frac{v_{top}^2}{R}

どの項にも同じ因子 $2m$ がつくので約分され、 $v_{top} = \sqrt{3gR}$ と前とまったく同じになります。動画の小問(b)が $g$ と $R$ だけで答えられたのはこのためです。

縮み。 エネルギーは事情が違います。ばねは重い物体を持ち上げ、より多くの運動エネルギーを与えなければなりません：

\tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{7}{2}(2m)gR \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{\frac{7(2m)gR}{k}} = \sqrt{2}\,\sqrt{\frac{7mgR}{k}}

したがって $x$ は $\sqrt{2} \approx 1.41$ 倍になります。エネルギーの二つの項 $2mgR$ と $\tfrac{3}{2}mgR$ はどちらも $m$ に比例するので、収支全体は2倍になりますが、 $x$ はその平方根に比例してしか大きくなりません。

正解数： 0 / 4