古典力学 · 第18回 · 動画3 · インタラクティブ教材

位置とともに強まる摩擦：もう一つの見えないばね

I重要な公式

公式	名称	備考
$f = \mu N = b x \, m g$	位置に依存する摩擦	水平な机の上でのモデル $\mu = bx$ （このとき $N = mg$ ）
$W_{nc} = \displaystyle\int_{0}^{x_f} -b x m g \, dx = -\tfrac{1}{2} b m g \, x_f^{2}$	変化する力の仕事	端点だけでなく、経路全体が必要
$W_{nc} = \Delta E_m = E_f - E_i$	摩擦がある場合の仕事とエネルギーの関係	$E_i = \tfrac{1}{2} m v_0^{2}$ 、 $E_f = \tfrac{1}{2} k x_f^{2}$
$x_f^{2} = \dfrac{m v_0^{2}}{k + b m g}$	停止位置	$x_f^{2}$ についての一次方程式が一つ。平方根は不要

ポイント： $\mu$ は無次元で $\mu = bx$ なので、 $[b] = \mathrm{m}^{-1}$ 、 $[b m g] = \mathrm{N/m}$ となり、ちょうど $k$ と同じ次元です。摩擦は、ばね定数 $bmg$ の二つめのばねがエネルギーを蓄えるのと同じ仕方でエネルギーを奪います。そのため初めの運動エネルギーは $k : bmg$ の比に分かれ、損失は $|\Delta E_m| = \tfrac{1}{2} m v_0^{2}\left(1 + \tfrac{k}{bmg}\right)^{-1}$ です。

II可視化1 — 摩擦の仕事は三角形

距離とともに強まる摩擦力の仕事は、力×距離ではなく、右上がりの直線の下の面積として積み重なります。

行程 t / t_stop 0.00

💡 押し込んでいく行程では、物体はばね定数 $k + bmg$ の厳密な調和振動子になっています。だから $v(x) = v_0\sqrt{1 - x^{2}/x_f^{2}}$ となるのです。ただし、この類推は転回点で終わります。ばねは蓄えた $\tfrac{1}{2}k x_f^{2}$ を返してくれますが、摩擦は戻る途中でもまたエネルギーを奪います。

III可視化2 — エネルギーの収支が尽きるところ

物体が止まるのは、ばねと摩擦が合わせて、初めの運動エネルギーをちょうど使い切る位置です。

停止位置の予想 x [m] 0.350

IV可視化3 — 運動エネルギーの行き先

ただ一つの比 $k/(bmg)$ が、初めの運動エネルギーがばねに蓄えられる分と熱になる分にどう分かれるかを決めます。

ばね定数 k [N/m] 24.5 摩擦の増え方 b [1/m] 1.25

V確認クイズ

問1 · 摩擦の仕事の積分

条件： 質量 $m$ の物体が、摩擦係数が $\mu = bx$ の水平な机の上を $x = 0$ から $x = x_f$ まですべります。摩擦がする仕事を求めてください。

✅ 正解です！ 被積分関数は

0

から

bmg\,x_f

まで直線的に増えるので、その積分は三角形の面積

\tfrac{1}{2}(b m g x_f)(x_f)

です。

❌ それは三角形ではなく長方形です。 最大の摩擦力

bmg\,x_f

に全距離

x_f

をかけると、摩擦が弱かった経路の前のほうまで最後の強さで数えることになり、ちょうど本当の大きさの2倍になります。

❌ 積分を確かめましょう。

\int_0^{x_f} x\,dx = \tfrac{1}{2}x_f^{2}

で、

\tfrac{1}{2}x_f

ではありません。

\mu = bx

の

x

と

dx

が、それぞれ1乗ずつ寄与します。

❌ 符号を確かめましょう。 摩擦は変位と逆向きなので、各部分

-\mu N\,dx

は負で、仕事の合計も負でなければなりません。

解答を見る

水平な机の上では垂直抗力は $N = mg$ なので、摩擦力の大きさは

f = \mu N = (b x)(m g) = b m g \, x

これは位置とともに大きくなるので、仕事の積分の外に出すことはできません。小さな一歩 $dx$ ごとに、摩擦は負の仕事をします：

W_{nc} = \int_{0}^{x_f} -\mu N \, dx = -\int_{0}^{x_f} b m g \, x \, dx = -b m g \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{x_f}

W_{nc} = -\tfrac{1}{2} b m g \, x_f^{2}

形に注目しましょう。 $\tfrac{1}{2}(bmg)x_f^{2}$ は、ばねに蓄えられるエネルギーと同じ $\tfrac{1}{2}(\text{ばね定数})x^{2}$ の形で、 $bmg$ がばね定数の役割を果たしています。

落とし穴：近道の $W = -\mu m g d$ が使えるのは、 $\mu$ が一定のときだけです。最後の係数 $\mu_f = b x_f$ を全距離に使うと $-b m g x_f^{2}$ となり、ちょうど2倍大きすぎます。高さ $bmg x_f$ の長方形には、三角形がちょうど2つ入るからです。

問2 · $k + bmg$ が許される理由

条件： 停止位置は $x_f^{2} = \dfrac{m v_0^{2}}{k + b m g}$ となりました。この和が意味をもつためには、 $b$ はどんな次元をもたなければなりませんか？

✅ 正解です！

bmg

はばね定数と同じ種類の量なので、

k + bmg

は同種の量どうしの和になり、

k/(bmg)

は純粋な数です。

❌ それでは $\mu$ そのものが次元をもってしまいます。

b

が無次元なら、

\mu = bx

によって

\mu

は長さになってしまいますが、摩擦係数は純粋な数です。したがって

b

は

x

の長さを打ち消さなければなりません。

❌ 惜しい！

\mu = b x

で

[\mu] = 1

から出発し、それを

bmg

に当てはめて、

[k] = \mathrm{N/m}

と比べましょう。

解答を見る

摩擦係数は二つの力の比なので、無次元です：

[\mu] = 1, \qquad \mu = b x \;\Longrightarrow\; [b] = \frac{1}{[\,x\,]} = \mathrm{m^{-1}}

また $mg$ は力なので

[b m g] = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} = [k]

したがって $k + bmg$ は同じ種類の二つの量の和で、正当な和です。 $bmg$ は二つめのばね定数と読んでよいのです。このことから

\frac{k}{b m g} \ \text{は純粋な数です。}

だからこそ、答え全体がこのただ一つの比で決まりうるのです：

W_{nc} = -\frac{m v_0^{2}}{2}\left(1 + \frac{k}{b m g}\right)^{-1}

結果そのものの次元も確かめましょう。 $m v_0^{2}$ はエネルギーで、かっこの中は無次元なので、 $W_{nc}$ はエネルギーです ✓。

問3 · 停止位置と損失

条件： 物体は速さ $v_0$ で $x = 0$ に達し、ばね定数は $k$ 、 $x = 0$ より先では $\mu = bx$ です。物体が最初に一瞬静止する位置と、 $\tfrac{1}{2}mv_0^{2}$ のうち摩擦が奪う割合を求めてください。

停止位置

摩擦で失われる割合

✅ 正解です！ 二つのばね定数が

k : bmg

の比でエネルギーを分け合い、その割合

\frac{k}{k+bmg}

と

\frac{bmg}{k+bmg}

を足すと

1

になります。

❌ 停止位置を確かめましょう。 収支のどの項にも

\tfrac{1}{2}

がつき、

x_f^{2}

はすべて片側に集まります：

m v_0^{2} = (k + bmg)x_f^{2}

。摩擦を落とすと

k

だけが残り、摩擦の項を反対側に移し間違えると符号が逆になります。

❌ 割合を確かめましょう。

x_f^{2}

を

\tfrac{1}{2}bmg\,x_f^{2}

に代入し、

\tfrac{1}{2}mv_0^{2}

でわります。

\tfrac{1}{2}mv_0^{2}

は完全に約分されるので、余分な

\tfrac{1}{2}

も残らず、分母が

k

だけになることもありません。

解答を見る

ステップ1 — 二つのエネルギーの状態。 初めはばねが縮んでいないのでポテンシャルエネルギーの項はなく、終わりは物体が静止しているので運動エネルギーの項はありません：

E_i = \tfrac{1}{2} m v_0^{2}, \qquad E_f = \tfrac{1}{2} k x_f^{2}

ステップ2 — 摩擦の仕事。

W_{nc} = -\int_{0}^{x_f} b m g \, x \, dx = -\tfrac{1}{2} b m g \, x_f^{2}

ステップ3 — 収支 $W_{nc} = E_f - E_i$ 。

-\tfrac{1}{2} b m g \, x_f^{2} = \tfrac{1}{2} k x_f^{2} - \tfrac{1}{2} m v_0^{2}

両辺に $2$ をかけて $x_f^{2}$ の項を集めます。 $x_f^{2}$ についての一次方程式が一つなので、平方根は必要ありません：

m v_0^{2} = (k + b m g)\, x_f^{2} \qquad\Longrightarrow\qquad x_f^{2} = \frac{m v_0^{2}}{k + b m g}

ステップ4 — 損失。 代入し直すと：

W_{nc} = -\frac{b m g}{2} \cdot \frac{m v_0^{2}}{k + b m g} = -\frac{1}{2} m v_0^{2} \cdot \frac{b m g}{k + b m g}

$E_i = \tfrac{1}{2}mv_0^{2}$ でわると、失われる割合が残ります：

\frac{|W_{nc}|}{E_i} = \frac{b m g}{k + b m g} = \left(1 + \frac{k}{b m g}\right)^{-1}

ばねには残りの $\dfrac{k}{k + bmg}$ が蓄えられ、二つの割合の和は $1$ です。1 J 残らず、行き先が説明できます。

問4 · さらに急な増え方： $\mu = c x^{2}$

条件： 同じ物体、ばね、机ですが、今度は係数が2次関数的に増え、 $c > 0$ を定数として $\mu = c x^{2}$ です。摩擦の仕事を求め、停止位置がまだばね定数の和から求まるかどうかを判断してください。

$0$ から $x_f$ までの摩擦の仕事

ばね定数の和を使う近道はまだ使えるか？

✅ 正解です！ 方法は変わりません。積分してから収支を合わせます。ただし、ばねの項とまとめられる

\tfrac{1}{2}(\text{ばね定数})x^{2}

の形になるのは、

\mu

が一次のときだけです。

❌ 積分を確かめましょう。

\int_0^{x_f} x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}x_f^{3}

です。積分すると

\mu

の中の

x

の次数が1つ上がり、その逆数が係数になります。

❌ 次数と単位を見ましょう。 仕事とエネルギーの関係はやはり成り立ちます。そもそも、それを使って式を立てたのです。しかし摩擦の項は今度は

x_f^{3}

を含み、

cmg

の単位は

\mathrm{N/m^{2}}

なので、

k

に足すことは決してできません。

解答を見る

積分。 やはり $N = mg$ で、 $\mu = c x^{2}$ なので：

W_{nc} = -\int_{0}^{x_f} c m g \, x^{2} \, dx = -c m g \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{x_f} = -\tfrac{1}{3} c m g \, x_f^{3}

収支。 仕事とエネルギーの関係はそのままです。 $W_{nc} = E_f - E_i$ はどんな力の法則でも成り立ちます：

-\tfrac{1}{3} c m g \, x_f^{3} = \tfrac{1}{2} k x_f^{2} - \tfrac{1}{2} m v_0^{2}

\tfrac{1}{2} m v_0^{2} = \tfrac{1}{2} k x_f^{2} + \tfrac{1}{3} c m g \, x_f^{3}

これは $x_f$ についての3次方程式です。摩擦の項はもう $\tfrac{1}{2}(\text{ばね定数})\,x_f^{2}$ の形ではないので、 $k$ に組み込むことはできません。 $x_f^{2} = m v_0^{2}/(k + bmg)$ というすっきりした結果は、一次の増え方 $\mu = bx$ がくれた贈り物だったのです。

単位でも確かめられます。 $[\mu] = 1$ と $\mu = cx^{2}$ から $[c] = \mathrm{m^{-2}}$ なので、 $[c m g] = \mathrm{N/m^{2}}$ です。これはばね定数ではなく、 $k$ に足すことはできません。

応用のきく考え方：力が経路に沿って変化するときは、まず積分し、それからエネルギーの収支を合わせます。変わるのは積分だけで、収支のつけ方はいつも同じです。

正解数： 0 / 4