古典力学 · 第18回 · 動画4 · インタラクティブ教材

摩擦は一つの置き換えで入る：斜面を下る台車とばね

I重要な公式

公式名称前提
12kx2−xmgsin⁡θ=mgdsin⁡θ\tfrac{1}{2}kx^2 - xmg\sin\theta = mgd\sin\theta力学的エネルギー保存則摩擦なしですべる。Ug=0U^g = 0 と Us=0U^s = 0 をどちらも自然長のばねの端にとる
x=mgk(sin⁡θ+sin⁡2θ+2kdmgsin⁡θ)x = \dfrac{mg}{k}\left(\sin\theta + \sqrt{\sin^2\theta + \dfrac{2kd}{mg}\sin\theta}\right)最大の縮み正の解だけをとる。縮みとは、ばねの端が前に押し込まれること
sin⁡θ  ⟶  sin⁡θ−μkcos⁡θ\sin\theta \;\longrightarrow\; \sin\theta - \mu_k\cos\theta摩擦の置き換え摩擦のないときの答えを、摩擦があるときの答えに変える
Elost=∣Wnc∣=μkmgcos⁡θ (d+x)E_{\text{lost}} = |W_{nc}| = \mu_k mg\cos\theta\,(d + x)熱エネルギーに変わるエネルギーxx は、いま考えている場合の縮みを使う

ポイント： 摩擦が入っても、一から導き直す必要はありません。摩擦の項をまとめると、摩擦のないときの2次方程式に戻り、sin⁡θ\sin\theta が sin⁡θ−μkcos⁡θ\sin\theta - \mu_k\cos\theta に格下げされるだけです。重力のうち台車を押し下げる成分が弱まるので、ばねに蓄えられるエネルギーは少なくなります。

II可視化1 — エネルギーはどこにあるか

30∘30^\circ の斜面で 1.00 m1.00\ \text{m} 上から放した台車のエネルギーは、3つの項目のあいだを移り変わるだけです。

III可視化2 — 2つの解と1つの運動

エネルギーの直線はポテンシャルエネルギー曲線と2か所で交わりますが、この台車が実際に到達するのは一方だけです。

💡 ばねにつながっていない台車は x=0x = 0 で止まりません。9.80 J9.80\ \text{J} をすべて運動エネルギーとして取り戻してばねを離れ、斜面をさらに 1.00 m1.00\ \text{m} 上って、ちょうど放した位置に戻ります。そこはこの図の左の外側です。

IV可視化3 — 摩擦は一つの置き換えで入る

摩擦が変えるのは、答えの中のただ一つの因子です：sin⁡θ\sin\theta が sin⁡θ−μkcos⁡θ\sin\theta - \mu_k\cos\theta になります。

小問 (a) — 摩擦なし
0=12kx2−xmgsin⁡θ−dmgsin⁡θ0 = \tfrac{1}{2}kx^2 - xmg\sin\theta - dmg\sin\theta
小問 (b) — −μkmgcos⁡θ (d+x)=Ef−Ei-\mu_k mg\cos\theta\,(d+x) = E_f - E_i の摩擦の項をまとめる
0=12kx2−xmg(sin⁡θ−μkcos⁡θ)−dmg(sin⁡θ−μkcos⁡θ)0 = \tfrac{1}{2}kx^2 - xmg(\sin\theta - \mu_k\cos\theta) - dmg(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)
同じ2次方程式で、因子が一つ変わるだけ
sin⁡θ  ⟶  R≡sin⁡θ−μkcos⁡θ⟹x=mgk(R+R2+2kdmg R)\sin\theta \;\longrightarrow\; R \equiv \sin\theta - \mu_k\cos\theta \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{mg}{k}\left(R + \sqrt{R^2 + \frac{2kd}{mg}\,R}\right)

💡 μk=tan⁡θ≈0.577\mu_k = \tan\theta \approx 0.577 で実効的な係数はゼロになります。摩擦だけで斜面に沿った重力の成分とつり合うので、静止から放した台車はまったくすべりません。

V確認クイズ

問1 · 最大の縮み

条件： 摩擦のない 30∘30^\circ の斜面で、2.0 kg2.0\ \text{kg} の台車を静止から放します。台車は、ばね定数 k=400 N/mk = 400\ \text{N/m} の自然長のばねの自由端から、斜面に沿って d=1.00 md = 1.00\ \text{m} のところにあります。g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2 とします。最大の縮み xx を求めてください。

✅ 正解です！ mgk=0.049 m\frac{mg}{k} = 0.049\ \text{m}、2kdmgsin⁡θ=20.41\frac{2kd}{mg}\sin\theta = 20.41 なので、解は 0.049(0.5+0.25+20.41)=0.247 m0.049\left(0.5 + \sqrt{0.25 + 20.41}\right) = 0.247\ \text{m} です。
❌ それは 12kx2=mgdsin⁡θ\tfrac{1}{2}kx^2 = mgd\sin\theta を解いた値です。 台車はばねを縮めるあいだも下り続け、さらに xsin⁡θx\sin\theta だけ下がって、エネルギーの収支にもう xmgsin⁡θxmg\sin\theta を加えます。
❌ それは捨てるほうの解です。 2次方程式からは x−=−0.198 mx_- = -0.198\ \text{m} も出てきます。縮みならばねの端は前に動くはずなので、物理的に正しいのは＋の符号です。
❌ それはつり合いの位置での縮みです。 mgsin⁡θ/k=0.0245 mmg\sin\theta/k = 0.0245\ \text{m} は、ばねの力が重力の成分とつり合う位置です。そこで台車は止まっているのではなく、いちばん速く動いています。
解答を見る

Ug=0U^g = 0 と Us=0U^s = 0 を、どちらも自然長のばねの端にとります。斜面に沿って距離 dd だけ上で静止から放すので、台車ははじめ、その基準線より dsin⁡θd\sin\theta だけ高い位置にあります：

Ei=Ki+Ui=0+mgdsin⁡θ=(19.6)(1.00)(0.5)=9.80 JE_i = K_i + U_i = 0 + mgd\sin\theta = (19.6)(1.00)(0.5) = 9.80\ \text{J}

最大の縮みのとき、台車は一瞬静止し、ばねには 12kx2\tfrac{1}{2}kx^2 が蓄えられ、台車は基準線より xsin⁡θx\sin\theta だけ下にあります：

Ef=12kx2−xmgsin⁡θE_f = \tfrac{1}{2}kx^2 - xmg\sin\theta

非保存力ははたらかないので、Ef=EiE_f = E_i です：

12kx2−xmgsin⁡θ−mgdsin⁡θ=0⟹200x2−9.8x−9.8=0\tfrac{1}{2}kx^2 - xmg\sin\theta - mgd\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad 200x^2 - 9.8x - 9.8 = 0 x=mgk(sin⁡θ+sin⁡2θ+2kdmgsin⁡θ)=0.049(0.5+0.25+20.41)=0.247 mx = \frac{mg}{k}\left(\sin\theta + \sqrt{\sin^2\theta + \frac{2kd}{mg}\sin\theta}\right) = 0.049\left(0.5 + \sqrt{0.25 + 20.41}\right) = \mathbf{0.247\ \text{m}}

検算： 12kx2=12.22 J\tfrac{1}{2}kx^2 = 12.22\ \text{J}、xmgsin⁡θ=2.42 Jxmg\sin\theta = 2.42\ \text{J} なので、Ef=12.22−2.42=9.80 J=EiE_f = 12.22 - 2.42 = 9.80\ \text{J} = E_i ✓

問2 · 解をくくり出す

条件： 12kx2−xmgsin⁡θ−dmgsin⁡θ=0\tfrac{1}{2}kx^2 - xmg\sin\theta - dmg\sin\theta = 0 に解の公式を使うと、x=mgsin⁡θk+(mgsin⁡θk)2+2dmgsin⁡θkx = \dfrac{mg\sin\theta}{k} + \sqrt{\left(\dfrac{mg\sin\theta}{k}\right)^{2} + \dfrac{2dmg\sin\theta}{k}} が得られます。mgk\dfrac{mg}{k} を前にくくり出した同値な形を求めてください。

✅ 正解です！ ルートの中を (mgk)2\left(\frac{mg}{k}\right)^2 で割ると、(mgsin⁡θk)2→sin⁡2θ\left(\frac{mg\sin\theta}{k}\right)^2 \to \sin^2\theta、2dmgsin⁡θk→2kdmgsin⁡θ\frac{2dmg\sin\theta}{k} \to \frac{2kd}{mg}\sin\theta となります。
❌ ルートの中の最初の項は 11 ではありません。 (mgsin⁡θk)2÷(mgk)2=sin⁡2θ\left(\frac{mg\sin\theta}{k}\right)^{2} \div \left(\frac{mg}{k}\right)^{2} = \sin^2\theta です。これは印刷された教科書にある誤植で、計算すると sin⁡2θ\sin^2\theta になります。
❌ sin⁡2θ\sin^2\theta をくくり出したあとに何が残るか確かめてください。 sin⁡2θ+2kdmgsin⁡θ=sin⁡θ1+2kdmgsin⁡θ\sqrt{\sin^2\theta + \frac{2kd}{mg}\sin\theta} = \sin\theta\sqrt{1 + \frac{2kd}{mg\sin\theta}} となり、もう1つの sin⁡θ\sin\theta は分母に移ります。
❌ 最初の項が抜けています。 くくり出したのはルートの部分だけです。ルートの外にある mgsin⁡θk\frac{mg\sin\theta}{k} が、前の sin⁡θ\sin\theta になります。
解答を見る

両方の項から mgk\frac{mg}{k} をくくり出します。ルートの外ではそのままくくり出せます。ルートの中から因子をくくり出すには、ルートの中をその2乗で割ります：

(mgsin⁡θk)2=(mgk)2sin⁡2θ,2dmgsin⁡θk=(mgk)2⋅2kdmgsin⁡θ\left(\frac{mg\sin\theta}{k}\right)^{2} = \left(\frac{mg}{k}\right)^{2}\sin^2\theta, \qquad \frac{2dmg\sin\theta}{k} = \left(\frac{mg}{k}\right)^{2}\cdot\frac{2kd}{mg}\sin\theta x=mgk(sin⁡θ+sin⁡2θ+2kdmgsin⁡θ)x = \frac{mg}{k}\left(\sin\theta + \sqrt{\sin^2\theta + \frac{2kd}{mg}\sin\theta}\right)

11 が誤りである理由。 このルートの中を 11 と印刷している版があります。その式を 12kx2−xmgsin⁡θ−dmgsin⁡θ\tfrac{1}{2}kx^2 - xmg\sin\theta - dmg\sin\theta に代入し直してもゼロにはならず、(mgcos⁡θ)22k\frac{(mg\cos\theta)^2}{2k} が残ります。問1の数値では 0.36 J0.36\ \text{J} です。sin⁡2θ\sin^2\theta を使った正しい解は、方程式をぴったり満たします。

数値で比べると（問1の値、mgk=0.049\frac{mg}{k} = 0.049、2kdmg=40.82\frac{2kd}{mg} = 40.82）、正しい形では 0.247 m0.247\ \text{m}、11 を使った形では 0.251 m0.251\ \text{m} になります。

問3 · 摩擦を入れる

条件： 同じ 2.0 kg2.0\ \text{kg} の台車、30∘30^\circ の斜面、d=1.00 md = 1.00\ \text{m}、k=400 N/mk = 400\ \text{N/m} で、今度はすべりのあいだずっと動摩擦 μk=0.20\mu_k = 0.20 がはたらきます。実効的な係数と、新しい最大の縮みを求めてください。

sin⁡θ−μkcos⁡θ\sin\theta - \mu_k\cos\theta はいくらですか？

最大の縮み xx はいくらですか？

✅ 正解です！ R=0.500−0.20(0.866)=0.327R = 0.500 - 0.20(0.866) = 0.327 です。同じ公式で sin⁡θ\sin\theta を RR に置き換えると、x=0.049(0.327+0.107+13.34)=0.196 mx = 0.049\left(0.327 + \sqrt{0.107 + 13.34}\right) = 0.196\ \text{m} となります。
❌ 垂直抗力には cos⁡θ\cos\theta がつきます。 N=mgcos⁡θN = mg\cos\theta なので fk=μkmgcos⁡θf_k = \mu_k mg\cos\theta となり、引く項は μk\mu_k ではなく μkcos⁡θ=0.173\mu_k\cos\theta = 0.173 です。
❌ 符号を確かめてください。 摩擦は運動を妨げるので、その仕事は負で、台車を押し下げる係数を小さくします：sin⁡θ−μkcos⁡θ\sin\theta - \mu_k\cos\theta。
❌ それは μktan⁡θ\mu_k\tan\theta を使った値です。 摩擦の仕事は −μkmgcos⁡θ (d+x)-\mu_k mg\cos\theta\,(d+x) で、重力の仕事には sin⁡θ\sin\theta がつきます。どちらも mgmg で割ると、sin⁡θ−μkcos⁡θ\sin\theta - \mu_k\cos\theta が残ります。
❌ 摩擦がはたらく距離は dd ではなく d+xd + x です。 ばねが縮むあいだも台車はすべり続けるので、未知数そのものが道のりを決めます。だから xx が WncW_{nc} の中に現れるのです。
❌ 置き換えは、全部に行うか、どこにも行わないかのどちらかです。 xx の項と dd の項は同じ因子にまとまるので、2kdmg\frac{2kd}{mg} の項の中の sin⁡θ\sin\theta も RR に置き換えなければなりません。
❌ それは摩擦のないときの答えです。 摩擦があると台車はより小さな運動エネルギーでばねに達するので、ばねに蓄えられるエネルギーは少なく、台車はより早く止まります。
解答を見る

ステップ1 — 摩擦力。 斜面に垂直な方向には台車は加速しないので、N=mgcos⁡θ=16.97 NN = mg\cos\theta = 16.97\ \text{N} で、

fk=μkmgcos⁡θ=0.20(16.97)=3.39 N,Wnc=−μkmgcos⁡θ (d+x)f_k = \mu_k mg\cos\theta = 0.20(16.97) = 3.39\ \text{N}, \qquad W_{nc} = -\mu_k mg\cos\theta\,(d + x)

ステップ2 — まとめる。 Wnc=Ef−EiW_{nc} = E_f - E_i とおき、すべてを片側に移します：

0=12kx2−xmg(sin⁡θ−μkcos⁡θ)−dmg(sin⁡θ−μkcos⁡θ)0 = \tfrac{1}{2}kx^2 - xmg(\sin\theta - \mu_k\cos\theta) - dmg(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)

これは、問1の式の sin⁡θ\sin\theta を R=sin⁡θ−μkcos⁡θ=0.500−0.173=0.327R = \sin\theta - \mu_k\cos\theta = 0.500 - 0.173 = \mathbf{0.327} に置き換えたものです。

ステップ3 — 前の答えに代入する。 mgk=0.049\frac{mg}{k} = 0.049、2kdmg=40.82\frac{2kd}{mg} = 40.82 を使うと：

x=mgk(R+R2+2kdmgR)=0.049(0.327+0.107+13.34)=0.196 mx = \frac{mg}{k}\left(R + \sqrt{R^2 + \frac{2kd}{mg}R}\right) = 0.049\left(0.327 + \sqrt{0.107 + 13.34}\right) = \mathbf{0.196\ \text{m}}

検算： 12kx2=7.66 J\tfrac{1}{2}kx^2 = 7.66\ \text{J} です。一方、重力が解放するのは mgsin⁡θ(d+x)=11.72 Jmg\sin\theta(d+x) = 11.72\ \text{J}、摩擦が奪うのは μkmgcos⁡θ(d+x)=4.06 J\mu_k mg\cos\theta(d+x) = 4.06\ \text{J} で、7.66+4.06=11.727.66 + 4.06 = 11.72 ✓

問4 · エネルギーの損失

条件： 問3の摩擦がある場合：μk=0.20\mu_k = 0.20、mgcos⁡θ=16.97 Nmg\cos\theta = 16.97\ \text{N}、d=1.00 md = 1.00\ \text{m}、そのときの縮み x=0.196 mx = 0.196\ \text{m}。熱エネルギーに変わった力学的エネルギーを求めてください。

✅ 正解です！ Elost=μkmgcos⁡θ (d+x)=0.20(16.97)(1.196)=4.06 JE_{\text{lost}} = \mu_k mg\cos\theta\,(d+x) = 0.20(16.97)(1.196) = 4.06\ \text{J} で、これはちょうど Ei−Ef=9.80−5.74E_i - E_f = 9.80 - 5.74 に等しくなります。
❌ 道のりは d+xd + x です。 摩擦は、ばねが縮んでいく 0.196 m0.196\ \text{m} も含めて、すべりのあいだずっとはたらきます。
❌ それは摩擦のないときの縮みを使った値です。 d+xd + x は実際に進んだ距離 1.00+0.196=1.196 m1.00 + 0.196 = 1.196\ \text{m} でなければならず、1.247 m1.247\ \text{m} ではありません。摩擦はすべる距離を短くするので、自分がはたらく道のりも短くするのです。
❌ 摩擦力は垂直抗力で決まります。 N=mgcos⁡θN = mg\cos\theta なので fk=μkmgcos⁡θf_k = \mu_k mg\cos\theta です。sin⁡θ\sin\theta がつくのは斜面に沿った重力の成分で、摩擦ではありません。
解答を見る

失われたエネルギーは、台車が実際にすべった距離で計算した、非保存力がする仕事の大きさです：

Elost=∣Wnc∣=μkmgcos⁡θ (d+x)=0.20(19.6)(0.866)(1.00+0.196)=4.06 JE_{\text{lost}} = |W_{nc}| = \mu_k mg\cos\theta\,(d + x) = 0.20(19.6)(0.866)(1.00 + 0.196) = \mathbf{4.06\ \text{J}}

エネルギーの収支で確かめる。 初めのエネルギーは Ei=mgdsin⁡θ=9.80 JE_i = mgd\sin\theta = 9.80\ \text{J} です。最大の縮みのとき、

Ef=12kx2−xmgsin⁡θ=7.66−1.92=5.74 JE_f = \tfrac{1}{2}kx^2 - xmg\sin\theta = 7.66 - 1.92 = 5.74\ \text{J} Ei−Ef=9.80−5.74=4.06 J ✓E_i - E_f = 9.80 - 5.74 = 4.06\ \text{J}\ \checkmark

このエネルギーは、いまは台車の内部の熱エネルギーになっています。車輪のついた台車なら、おもに車輪の軸受です。代わりに小問 (a) の縮みを使うと 4.23 J4.23\ \text{J} となり、すべる距離も損失も大きく見積もりすぎてしまいます。

正解数：0 / 4