古典力学 · 第19回 · 動画1 · インタラクティブ教材

重心系に乗って見る衝突：どの観測者にも共通な二つの量

I重要な公式

公式名称説明
v⃗1,2=v⃗1−v⃗2=v⃗1,2′\vec{v}_{1,2} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 = \vec{v}_{1,2}'相対速度座標系の相対速度は差をとると打ち消し合う
μ=m1m2m1+m2,1μ=1m1+1m2\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}, \qquad \dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2}換算質量どちらの質量よりも小さい
v⃗1′=μm1v⃗1,2,v⃗2′=−μm2v⃗1,2\vec{v}_1' = \dfrac{\mu}{m_1}\vec{v}_{1,2}, \qquad \vec{v}_2' = -\dfrac{\mu}{m_2}\vec{v}_{1,2}重心系での速度運動量 ±μv⃗1,2\pm\mu\vec{v}_{1,2} の和は 0
K=12μv1,22+12(m1+m2)vcm2K = \tfrac{1}{2}\mu v_{1,2}^{2} + \tfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v_{\mathrm{cm}}^{2}運動エネルギーの分解内部の運動と全体の運動の和

ポイント： 外力がはたらかなければ vcmv_{\mathrm{cm}} は変わらないので、第2項は衝突の前後で同じ値になり、差をとると消えます。ΔK=12μ Δ ⁣(v1,22)\Delta K = \tfrac{1}{2}\mu\,\Delta\!\left(v_{1,2}^{2}\right) は、互いに等速直線運動をするどの慣性系の観測者にとっても同じ一つの数です。

II座標系の相対速度は差をとると打ち消し合う

観測者が動きだすと速度はどれも変わります。では、その差は変わるでしょうか。

💡 チャレンジ：v2′=0v_2' = 0 となる座標系の相対速度を選んでみましょう。粒子2に乗って見ても、相対速度は同じ値を示します。

III重心系の中で見る

質量中心（重心）と一緒に動く座標系では、それぞれの速度が v⃗1,2\vec{v}_{1,2} の決まった倍数になります。

IV運動エネルギーは二つに分かれ、変化するのは片方だけ

全運動エネルギーは観測者によって変わりますが、衝突による変化はそうとは限りません。

ΔK\Delta K の符号と大きさで衝突を弾性衝突・非弾性衝突・完全非弾性衝突に分類するのは、次の動画のテーマです。

V確認クイズ

問1 · 動くカメラから見た相対速度

条件： 実験室系 SS で、台車1は v1=+6 m/sv_1 = +6\ \mathrm{m/s}、台車2は v2=−2 m/sv_2 = -2\ \mathrm{m/s} で動いています。V=+4 m/sV = +4\ \mathrm{m/s} で横を通り過ぎる台車にカメラが載っていて、これが基準系 S′S' を定めます。台車のカメラが測る相対速度 v1,2′v_{1,2}' を求めてください。

✅ 正解です！ どちらの速度も 4 m/s4\ \mathrm{m/s} ずつ小さくなるので、両者の差は変わりません。v1,2′=v1,2=8 m/sv_{1,2}' = v_{1,2} = 8\ \mathrm{m/s} です。
❌ それは v1′v_1' で、v1,2′v_{1,2}' ではありません。 相対速度は、同じ基準系で測った二つの速度の差です。
❌ 座標系の相対速度は引き算で消えます。 v1v_1 にも v2v_2 にもまったく同じように足されるので、プラスとマイナスで一回ずつ現れて打ち消し合います。
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それぞれの速度を S′S' での値に変換します：

v1′=v1−V=6−4=+2 m/s,v2′=v2−V=−2−4=−6 m/sv_1' = v_1 - V = 6 - 4 = +2\ \mathrm{m/s}, \qquad v_2' = v_2 - V = -2 - 4 = -6\ \mathrm{m/s}

次に差をとります：

v1,2′=v1′−v2′=2−(−6)=+8 m/sv_{1,2}' = v_1' - v_2' = 2 - (-6) = +8\ \mathrm{m/s}

実験室系では v1,2=6−(−2)=+8 m/sv_{1,2} = 6 - (-2) = +8\ \mathrm{m/s} で、まったく同じです。式で書くと、

v1,2′=(v1−V)−(v2−V)=v1−v2=v1,2v_{1,2}' = (v_1 - V) - (v_2 - V) = v_1 - v_2 = v_{1,2}

二つの粒子の相対速度は、互いに等速直線運動をするどの慣性系でも同じです。

問2 · 換算質量（逆数に注意）

条件： m1=3 kgm_1 = 3\ \mathrm{kg}、m2=6 kgm_2 = 6\ \mathrm{kg} です。換算質量 μ\mu を求めてください。

✅ 正解です！ μ=18/9=2 kg\mu = 18/9 = 2\ \mathrm{kg} です。μ\mu はいつもそうであるように、どちらの質量よりも小さくなります。
❌ 一歩手前で止まっています。 1m1+1m2=0.5 kg−1\tfrac{1}{m_1} + \tfrac{1}{m_2} = 0.5\ \mathrm{kg^{-1}} は 1/μ1/\mu で、μ\mu ではありません。逆数をとりましょう。
❌ 惜しい！ μ\mu は積を和で割ったもので、3 kg3\ \mathrm{kg} より小さくなるはずです。
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積を和で割る形を使うと：

μ=m1m2m1+m2=3⋅63+6=189=2 kg\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2\ \mathrm{kg}

逆数の形を使っても：

1μ=13+16=26+16=12 kg−1⟹μ=2 kg\frac{1}{\mu} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\ \mathrm{kg^{-1}} \quad \Longrightarrow \quad \mu = 2\ \mathrm{kg}

確認：μ\mu はいつも小さいほうの質量より小さく、実際 2 kg2\ \mathrm{kg} は 3 kg3\ \mathrm{kg} より小さくなっています ✓。和の 9 kg9\ \mathrm{kg} も平均の 4.5 kg4.5\ \mathrm{kg} も、この確認を通りません。

問3 · 質量中心と一緒に動く

条件： レールに沿って、m1=2 kgm_1 = 2\ \mathrm{kg} が v1=+5 m/sv_1 = +5\ \mathrm{m/s} で、m2=6 kgm_2 = 6\ \mathrm{kg} が v2=−3 m/sv_2 = -3\ \mathrm{m/s} で動いています。重心系での粒子1の速度と、その座標系でのそれぞれの粒子の運動量の大きさを求めてください。

v1′v_1' はいくらですか？

重心系でのそれぞれの粒子の運動量の大きさはいくらですか？

✅ 正解です！ v1′=μm1v1,2=+6 m/sv_1' = \tfrac{\mu}{m_1}v_{1,2} = +6\ \mathrm{m/s} で、運動量はどちらも大きさが μv1,2=12 kg⋅m/s\mu v_{1,2} = 12\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m/s}、向きは互いに反対です。
❌ vcmv_{\mathrm{cm}} は単純な平均ではなく、質量で重みづけした平均です。 重いほうの台車が v2v_2 の側へ引き寄せるので、vcm=−1 m/sv_{\mathrm{cm}} = -1\ \mathrm{m/s} であって +1 m/s+1\ \mathrm{m/s} ではありません。
❌ v1′v_1' を確かめてください。 v1v_1 から質量中心の速度を引くか、v1′=(μ/m1) v1,2v_1' = (\mu/m_1)\,v_{1,2} を使いましょう。
❌ 0 になるのは合計で、一つひとつではありません。 二つの運動量は大きさが等しく向きが反対なので打ち消し合いますが、どちらも 0 ではありません。
❌ 運動量を確かめてください。 重心系での速度を使って p1′=m1v1′p_1' = m_1 v_1' を求め、μv1,2\mu v_{1,2} と比べましょう。
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ステップ1 — 相対速度と換算質量：

v1,2=v1−v2=5−(−3)=+8 m/s,μ=2⋅62+6=128=1.5 kgv_{1,2} = v_1 - v_2 = 5 - (-3) = +8\ \mathrm{m/s}, \qquad \mu = \frac{2 \cdot 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5\ \mathrm{kg}

ステップ2 — 質量中心の速度：

vcm=m1v1+m2v2m1+m2=2(5)+6(−3)8=10−188=−1 m/sv_{\mathrm{cm}} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(5) + 6(-3)}{8} = \frac{10 - 18}{8} = -1\ \mathrm{m/s}

ステップ3 — 重心系での速度：

v1′=v1−vcm=5−(−1)=+6 m/s=μm1v1,2=1.52(8)=+6 m/s ✓v_1' = v_1 - v_{\mathrm{cm}} = 5 - (-1) = +6\ \mathrm{m/s} = \frac{\mu}{m_1}v_{1,2} = \frac{1.5}{2}(8) = +6\ \mathrm{m/s}\ \checkmark v2′=v2−vcm=−3+1=−2 m/s=−μm2v1,2=−1.56(8)=−2 m/s ✓v_2' = v_2 - v_{\mathrm{cm}} = -3 + 1 = -2\ \mathrm{m/s} = -\frac{\mu}{m_2}v_{1,2} = -\frac{1.5}{6}(8) = -2\ \mathrm{m/s}\ \checkmark

ステップ4 — 運動量：

p1′=m1v1′=2(6)=+12,p2′=m2v2′=6(−2)=−12  (kg⋅m/s)p_1' = m_1 v_1' = 2(6) = +12, \qquad p_2' = m_2 v_2' = 6(-2) = -12 \ \ (\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m/s})

大きさはどちらも μv1,2=1.5(8)=12\mu v_{1,2} = 1.5(8) = 12 に等しく、p1′+p2′=0p_1' + p_2' = 0 です。質量中心は自分の座標系では静止しているからです。速さが質量に反比例していることにも注目しましょう。6/2=3=m2/m16/2 = 3 = m_2/m_1 です。

問4 · 観測者が変わると ΔK\Delta K は変わるか

条件： 同じ台車（m1=2 kgm_1 = 2\ \mathrm{kg} が +5 m/s+5\ \mathrm{m/s}、m2=6 kgm_2 = 6\ \mathrm{kg} が −3 m/s-3\ \mathrm{m/s} で動き、したがって μ=1.5 kg\mu = 1.5\ \mathrm{kg}、v1,2=8 m/sv_{1,2} = 8\ \mathrm{m/s}）が衝突し、衝突後の相対的な速さは 4 m/s4\ \mathrm{m/s} になります。実験室系での ΔK\Delta K と、その ΔK\Delta K を +5 m/s+5\ \mathrm{m/s} で動く台車から測った値を求めてください。

実験室系での ΔK\Delta K はいくらですか？

台車から測った ΔK\Delta K はいくらですか？

✅ 正解です！ ΔK=12μ Δ(v1,22)=0.75(16−64)=−36 J\Delta K = \tfrac{1}{2}\mu\,\Delta(v_{1,2}^2) = 0.75(16 - 64) = -36\ \mathrm{J} です。そして台車から測っても、まったく同じ値になります。
❌ 係数 12\tfrac{1}{2} が抜けています。 μ Δ(v1,22)=−72 J\mu\,\Delta(v_{1,2}^2) = -72\ \mathrm{J} ですが、相対運動の運動エネルギーは 12μv1,22\tfrac{1}{2}\mu v_{1,2}^2 です。
❌ それは内部の運動エネルギー全体で、変化ではありません。 −48 J-48\ \mathrm{J} が正しいのは、相対的な速さが 0 まで下がった場合だけです。
❌ ΔK\Delta K を確かめてください。 ΔK=12μ((v1,2′)2−v1,22)\Delta K = \tfrac{1}{2}\mu\big((v_{1,2}')^2 - v_{1,2}^2\big) に μ=1.5 kg\mu = 1.5\ \mathrm{kg} を代入しましょう。
❌ 質量中心の項は ΔK\Delta K に入りません。 台車の座標系ではこの項は 144 J144\ \mathrm{J} ですが、衝突の前も後も 144 J144\ \mathrm{J} なので、差をとると打ち消し合います。
❌ 値は決まります。 ΔK\Delta K は μ\mu と v1,22v_{1,2}^2 の変化だけで決まり、v1,2v_{1,2} は互いに等速直線運動をするどの慣性系でも同じです。
❌ 座標系による違いを確かめてください。 KK そのものは観測者によって変わりますが、観測者によって変わる部分 12(m1+m2)vcm2\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_{\mathrm{cm}}^2 は衝突の間ずっと一定です。
解答を見る

実験室系。運動エネルギーを二つに分けます：

K=12μv1,22+12(m1+m2)vcm2K = \tfrac{1}{2}\mu v_{1,2}^2 + \tfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v_{\mathrm{cm}}^2

vcm=−1 m/sv_{\mathrm{cm}} = -1\ \mathrm{m/s} なので、第2項は衝突の前も後も 12(8)(1)=4 J\tfrac{1}{2}(8)(1) = 4\ \mathrm{J} です（外力がはたらかなければ全運動量、したがって vcmv_{\mathrm{cm}} は変わりません）。よって

Kbefore=12(1.5)(64)+4=48+4=52 J,Kafter=12(1.5)(16)+4=12+4=16 JK_{\text{before}} = \tfrac{1}{2}(1.5)(64) + 4 = 48 + 4 = 52\ \mathrm{J}, \qquad K_{\text{after}} = \tfrac{1}{2}(1.5)(16) + 4 = 12 + 4 = 16\ \mathrm{J} ΔK=16−52=−36 J\Delta K = 16 - 52 = -36\ \mathrm{J}

公式から直接求めても同じです：

ΔK=12μ Δ ⁣(v1,22)=0.75 (16−64)=−36 J\Delta K = \tfrac{1}{2}\mu\,\Delta\!\left(v_{1,2}^{2}\right) = 0.75\,(16 - 64) = -36\ \mathrm{J}

台車の座標系。速度はどれも 5 m/s5\ \mathrm{m/s} ずつ小さくなるので、vcm′=−1−5=−6 m/sv_{\mathrm{cm}}' = -1 - 5 = -6\ \mathrm{m/s} となり、質量中心の項は 12(8)(36)=144 J\tfrac{1}{2}(8)(36) = 144\ \mathrm{J} になります：

Kbefore=48+144=192 J,Kafter=12+144=156 JK_{\text{before}} = 48 + 144 = 192\ \mathrm{J}, \qquad K_{\text{after}} = 12 + 144 = 156\ \mathrm{J} ΔK=156−192=−36 J\Delta K = 156 - 192 = -36\ \mathrm{J}

どちらの合計も3倍以上になりましたが、144 J144\ \mathrm{J} は両方に含まれているので打ち消し合います。v1,2v_{1,2} が基準系によらないので、ΔK\Delta K も基準系によりません。そして第13章の仕事とエネルギーの関係から、この −36 J-36\ \mathrm{J} はちょうど相互作用の力がした仕事に等しくなります。

正解数：0 / 4