古典力学 · 第19回 · 動画2 · インタラクティブ教材

相対速度は反転する：衝突の分類と一次元の弾性衝突

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$e = \dfrac{v_B}{v_A}$	反発係数（はね返り係数）	衝突後と衝突前の相対的な速さ。どちらも座標系によらないので、どの慣性系の観測者も同じ $e$ を測る
$\Delta K = \tfrac{1}{2}\mu v_A^2\left(e^2 - 1\right)$	運動エネルギーの変化	換算質量 $\dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2}$ と、近づく速さ $v_A$
$\vec{v}^{\,\text{rel}}_i = -\vec{v}^{\,\text{rel}}_f$	相対速度の反転（一次元の弾性衝突）	正面からの弾性衝突であることだけ。質量は現れない
$v_{1x,f} = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1x,i} + \dfrac{2m_2}{m_1 + m_2}\,v_{2x,i}$	弾性衝突の最終速度	二つの質量と、二つの初めの $x$ 成分。ラベル $1 \leftrightarrow 2$ を入れ替えると $v_{2x,f}$ が得られる

ポイント： エネルギーの式を二乗の差として因数分解すると、両辺がそれぞれ運動量の式 $m_1\!\left(v_{1x,i} - v_{1x,f}\right) = m_2\!\left(v_{2x,f} - v_{2x,i}\right)$ の対応する辺を含むようになります。一方の式を他方で割るとその因数が打ち消し合い、それとともに二つの質量も消えて、 $v_{1x,i} + v_{1x,f} = v_{2x,i} + v_{2x,f}$ が残ります。これが相対速度の反転です。四つの種類が分類しているのは $\Delta K$ だけで、運動量はどの種類でも保存されます。

II可視化1 — 一つの比ですべての衝突を分類する

衝突後と衝突前の相対的な速さの比が $\Delta K$ の符号を決めます。それ以外のものは関係しません。

反発係数 e 1.00 時刻 t = −1.40 s

超弾性衝突は何も生み出しません。留め金、縮んだばね、火薬などが、系の内部にすでに蓄えられていたエネルギーを放出するのです。

III可視化2 — 相対速度は向きを変える

正面からの弾性衝突では、二つの初速度がどんな値でも、近づく速さと同じ速さで離れていきます。

質量

同じ二つの保存則の式は、 $v_{1x,f} = v_{1x,i}$ 、 $v_{2x,f} = v_{2x,i}$ という解、つまりまったく衝突しない解も許します。 $m_1\!\left(v_{1x,i} - v_{1x,f}\right)$ で割る操作が、この解を黙って捨てているのです。

IV可視化3 — 質量比が決めるもの

質量比を変えると二つの最終速度はどちらも動きますが、その差は決して変わりません。

質量比 m₁/m₂ 100

二つの一次の補正項は同じ大きさです。 $m_1/m_2 = 100$ のとき、ついやりたくなる近道 $v_{1x,f} \approx v_{1x,i} + \tfrac{2m_2}{m_1}v_{2x,i}$ では $9.90\ \text{m/s}$ となり、変化はわずか $-0.10\ \text{m/s}$ で、本当の値 $-0.30\ \text{m/s}$ の3分の1にすぎません。

V確認クイズ

問1 · 衝突を分類する

条件： 二台の台車が相対的な速さ $v_A = 8.0\ \text{m/s}$ で近づき、相対的な速さ $v_B = 6.0\ \text{m/s}$ で離れていきます。換算質量は $\mu = 1.2\ \text{kg}$ です。 $\Delta K$ を求めてください。

✅ 正解です！

e = 6.0/8.0 = 0.75 < 1

なので非弾性衝突で、

e^2 - 1 = -0.4375

により

\Delta K

は負になります。

❌ 惜しい！ それは

e = 0

、つまり台車どうしがくっついたまま動いていく完全非弾性衝突の場合の値です。ここでは

6.0\ \text{m/s}

で離れていきます。

❌ 惜しい！

\Delta K

は

\tfrac{1}{2}\mu(v_A - v_B)^2

ではありません。二つの相対的な速さは、

\tfrac{1}{2}\mu\left(v_B^2 - v_A^2\right)

のように別々に二乗されて入ります。

❌ 符号を確かめてください。 大きさは合っていますが、

e < 1

なら必ず

e^2 - 1 < 0

です。非弾性衝突では運動エネルギーが失われます。

解答を見る

ステップ1 — 反発係数：

e = \frac{v_B}{v_A} = \frac{6.0}{8.0} = 0.75

$0 < e < 1$ なので、これは非弾性衝突です。

ステップ2 — エネルギーの変化：

\Delta K = \tfrac{1}{2}\mu v_A^2\left(e^2 - 1\right) = \tfrac{1}{2}(1.2)(8.0)^2\left(0.5625 - 1\right) = 38.4\,(-0.4375) = -16.8\ \text{J}

同値な形で確認すると、 $\Delta K = \tfrac{1}{2}\mu\left(v_B^2 - v_A^2\right) = 0.6\,(36 - 64) = -16.8\ \text{J}$ ✓

問2 · 留め金が外れる

条件： 二台の台車の間に、縮めたばねが留め金で固定されています。台車どうしが衝突し、接触している間に留め金が外れます。二台は $v_A = 3.0\ \text{m/s}$ で近づき、 $v_B = 4.5\ \text{m/s}$ で離れていきます。レールに沿った外力ははたらきません。正しい記述はどれでしょうか。

✅ 正解です！

e = 4.5/3.0 = 1.5

から

e^2 - 1 = 1.25 > 0

です。ばねに蓄えられていた弾性エネルギーが運動エネルギーに変わったのであり、外力がはたらかないので運動量は変わりません。

❌ 惜しい！

e = 1.5

は正しいのですが、何も生み出されてはいません。エネルギーは縮んだばねにすでに蓄えられていました。エネルギー保存則は成り立っていて、増えたのは運動エネルギーの分だけです。

❌ 惜しい！ 運動量保存は、エネルギーの収支からではなく、外力がはたらかないことから導かれます。弾性衝突・非弾性衝突・完全非弾性衝突・超弾性衝突の四つの種類すべてで成り立ちます。

❌ 比が逆さまです。

e = v_B/v_A

は衝突後を衝突前で割ったものです。

4.5/3.0 = 1.5

であって、

3.0/4.5

ではありません。

解答を見る

ステップ1 — $e$ で分類する：

e = \frac{v_B}{v_A} = \frac{4.5}{3.0} = 1.5 > 1 \quad\Rightarrow\quad \text{超弾性衝突}

ステップ2 — エネルギーの変化の符号：

\Delta K = \tfrac{1}{2}\mu v_A^2\left(e^2 - 1\right) = \tfrac{1}{2}\mu (3.0)^2 (2.25 - 1) = +\tfrac{1}{2}\mu v_A^2 (1.25) > 0

ステップ3 — 二つの注意：

増えた運動エネルギーは、ばねに蓄えられていた弾性エネルギー（弾性力による位置エネルギー）から来ています。超弾性衝突は内部のエネルギーを放出するのであって、エネルギーを生み出すことは決してありません。
外力がはたらかない限り、運動量は四つすべての種類で保存されます。 $e$ によって決まる種類の名前が表しているのは $\Delta K$ のことだけです。

問3 · 二つの最終速度

条件： $m_1 = 3.0\ \text{kg}$ 、 $v_{1x,i} = +6.0\ \text{m/s}$ の物体が、 $m_2 = 1.0\ \text{kg}$ 、 $v_{2x,i} = -2.0\ \text{m/s}$ の物体と正面から弾性衝突します。衝突後の二つの $x$ 成分を求めてください。

$v_{1x,f}$ はいくらですか？

$v_{2x,f}$ はいくらですか？

✅ 正解です！ 運動量：

18 - 2 = 6 + 10

✓。エネルギー：

54 + 2 = 6 + 50

✓。そして相対速度は

+8.0

から

-8.0\ \text{m/s}

に反転しています ✓。

❌ $v_{1x,f}$ を確かめてください。 ここでは二つの係数がどちらも

\tfrac{1}{2}

です。

\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \dfrac{2}{4}

、

\dfrac{2m_2}{m_1 + m_2} = \dfrac{2}{4}

。両方の項を残し、

v_{2x,i}

の符号も保ちましょう。

❌ $v_{2x,f}$ を確かめてください。 ラベルを入れ替えると

\dfrac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} = -\tfrac{1}{2}

、

\dfrac{2m_1}{m_1 + m_2} = \tfrac{3}{2}

です。速度がそっくり入れ替わるのは

m_1 = m_2

のときだけです。

解答を見る

$m_1 + m_2 = 4.0\ \text{kg}$ なので：

v_{1x,f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1x,i} + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}\,v_{2x,i} = \tfrac{1}{2}(6.0) + \tfrac{1}{2}(-2.0) = 3.0 - 1.0 = +2.0\ \text{m/s}

v_{2x,f} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,v_{2x,i} + \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1x,i} = -\tfrac{1}{2}(-2.0) + \tfrac{3}{2}(6.0) = 1.0 + 9.0 = +10.0\ \text{m/s}

三つの確認：

運動量： $3.0(6.0) + 1.0(-2.0) = 16$ 、 $3.0(2.0) + 1.0(10.0) = 16$ ✓
運動エネルギー： $54 + 2 = 56\ \text{J}$ 、 $6 + 50 = 56\ \text{J}$ ✓
相対速度の反転： $v_{1x,i} - v_{2x,i} = 8.0$ 、 $v_{1x,f} - v_{2x,f} = -8.0$ ✓

問4 · ラケットとピンポン球

条件： 質量 $m_1 = 200\ \text{g}$ のラケットが $v_{1x,i} = +6.0\ \text{m/s}$ で動き、質量 $m_2 = 2.0\ \text{g}$ の球が $v_{2x,i} = -4.0\ \text{m/s}$ で動いていて、両者が正面から弾性衝突します。 $m_1 \gg m_2$ の極限を、 $m_2/m_1 = 0.010$ について一次まで使ってください。

球の最終速度 $v_{2x,f}$ は？

ラケットの速度の変化 $\Delta v_{1x} = v_{1x,f} - v_{1x,i}$ は？

✅ 正解です！ 球は近づいたときの速さ

10\ \text{m/s}

でラケットから離れるので、

v_{2x,f} \to v_{1x,i} + 10 = 16\ \text{m/s}

です。その代わりにラケットの速度は

\Delta v_{1x} = \tfrac{2m_2}{m_1}\left(v_{2x,i} - v_{1x,i}\right) = 0.020(-10) = -0.20\ \text{m/s}

だけ変わります。

❌ 惜しい！ 球の速度がそのまま反転するのは、ラケットが静止している場合だけです。ここではラケットが前進していて、反転するのは相対速度です。

❌ 惜しい！ ラケットと同じ速さで離れるのは、二つが一緒に動いていく完全非弾性衝突（

e = 0

）の結果です。弾性的にはね返れば、球はラケットより速く飛んでいきます。

❌ 惜しい！それは近づく速さです。

v_{1x,i} - v_{2x,i} = 10\ \text{m/s}

はラケットに対する球の速さです。ラケット自身の

+6.0\ \text{m/s}

を足すと、実験室系での球の速度になります。

❌ ラケットを確かめてください。 二つの一次の項

\tfrac{2m_2}{m_1}v_{2x,i}

と

-\tfrac{2m_2}{m_1}v_{1x,i}

は

m_2/m_1

について同じオーダーです。片方だけを残すのは誤りです。

解答を見る

$m_1 \gg m_2$ の極限での球。 $v_{2x,f}$ の係数は $\dfrac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \to -1$ 、 $\dfrac{2m_1}{m_1 + m_2} \to 2$ となるので、

v_{2x,f} \to -v_{2x,i} + 2v_{1x,i} = v_{1x,i} + \left(v_{1x,i} - v_{2x,i}\right) = 6.0 + 10.0 = +16\ \text{m/s}

言いかえると $v_{2x,f} - v_{1x,i} = v^{\text{rel}}_{x,i}$ です。球は、ラケットに近づいたときとちょうど同じ速さでラケットから離れていきます。

一次までのラケット。 $v_{1x,f}$ の二つの係数を $m_2/m_1$ について展開すると $\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \approx 1 - \dfrac{2m_2}{m_1}$ 、 $\dfrac{2m_2}{m_1 + m_2} \approx \dfrac{2m_2}{m_1}$ となるので、

v_{1x,f} \approx v_{1x,i} + \frac{2m_2}{m_1}\left(v_{2x,i} - v_{1x,i}\right) = 6.0 + 0.020\,(-10.0) = 5.80\ \text{m/s}

\Delta v_{1x} \approx -0.20\ \text{m/s}

厳密な式と比べると（ $m_1 + m_2 = 0.202\ \text{kg}$ ）：

v_{1x,f} = \frac{0.198}{0.202}(6.0) + \frac{0.004}{0.202}(-4.0) = 5.802\ \text{m/s}, \qquad v_{2x,f} = \frac{-0.198}{0.202}(-4.0) + \frac{0.400}{0.202}(6.0) = 15.802\ \text{m/s}

両者の差は $5.802 - 15.802 = -10.0\ \text{m/s}$ で、初めの $+10.0\ \text{m/s}$ をちょうど反転したものです ✓

ついやりたくなる近道。 $\tfrac{2m_2}{m_1}v_{2x,i} = 0.020(-4.0) = -0.08\ \text{m/s}$ だけを残すと $-\tfrac{2m_2}{m_1}v_{1x,i}$ の項が抜け落ち、ラケットの変化を半分以上も小さく見積もってしまいます。

正解数：0 / 4