古典力学 · 第19回 · 動画3 · インタラクティブ教材

重心系で見ると、弾性衝突は速度が反転するだけ

I重要な公式

公式	名称	わかること
$v_{x,\text{cm}} = \dfrac{m_1 v_{1x,i} + m_2 v_{2x,i}}{m_1 + m_2}$	質量中心（重心）の速度	全運動量を全質量で割ったもの。衝突によって変わらない
$v'_{1x,f} = -v'_{1x,i}, \qquad v'_{2x,f} = -v'_{2x,i}$	重心系での弾性衝突	速さはそのままで、どちらも向きが反転する（プライムは $v' = v - v_{x,\text{cm}}$ を表す）
$v_{1x,f} = v_{1x,i}\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} + v_{2x,i}\dfrac{2 m_2}{m_1 + m_2}$	弾性衝突の実験室系での結果	反転させてから $v_{x,\text{cm}}$ を足し戻したもの。もう一台は $1 \leftrightarrow 2$ を入れ替える
$\dfrac{\Delta K}{K_{\text{initial}}} = -\dfrac{m_2}{m_1 + m_2}$	完全非弾性衝突（標的は静止）	静止していた質量の割合が、失われるエネルギーの割合になる

ポイント： どんな一次元の衝突も、三つの手順で片づきます。 $v_{x,\text{cm}}$ を引き、全運動量が 0 の座標系で衝突させ、 $v_{x,\text{cm}}$ を足し戻すのです。弾性衝突なら二つの速度がどちらも反転します。くっつく衝突では相対速度が 0 になり、ちょうど $\tfrac{1}{2}\mu\,(v^{\text{rel}}_i)^2$ が失われます（ $\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ ）。一方、質量中心の運動エネルギー $\tfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v_{x,\text{cm}}^2$ はそっくり残ります。

II可視化1 — 衝突を表すただ一つの解

全運動量を 0 に固定すると、運動エネルギーを変えない最終速度の組は二つしかありません。

質量比 m₂/m₁ 2.00 試しの比 s −0.55

III可視化2 — 引いて、反転して、足し戻す

一本の速度軸の上で三つの手順を踏みます。運動量が 0 の座標系へずらし、0 をはさんで反転し、ずらし戻します。

ステップ実験室系質量比 m₂/m₁ 2.00 台車2

ステップ1 — 実験室系で

v_{x,\text{cm}} = \frac{m_1 v_{1x,i} + m_2 v_{2x,i}}{m_1 + m_2}

レールに沿った外力ははたらかないので、この一つの数はいつまでも変わりません。

ステップ2 — $v_{x,\text{cm}}$ を引く

v'_{1x,i} = v_{1x,i} - v_{x,\text{cm}} = (v_{1x,i} - v_{2x,i})\,\frac{m_2}{m_1 + m_2}

v'_{2x,i} = v_{2x,i} - v_{x,\text{cm}} = (v_{2x,i} - v_{1x,i})\,\frac{m_1}{m_1 + m_2}

m_1 v'_{1x,i} + m_2 v'_{2x,i} = 0

ステップ3 — 反転する

運動量が 0 なので、衝突の前も後も必ず

v'_{2x} = -\dfrac{m_1}{m_2} v'_{1x}

となり、弾性衝突の条件は次の式に帰着します

\big(v'_{1x,f}\big)^2 = \big(v'_{1x,i}\big)^2

+

の解はすれ違い、

-

の解が衝突です：

v'_{1x,f} = -v'_{1x,i}, \qquad v'_{2x,f} = -v'_{2x,i}

ステップ4 — $v_{x,\text{cm}}$ を足し戻す

v_{1x,f} = -v'_{1x,i} + v_{x,\text{cm}} = v_{1x,i}\,\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} + v_{2x,i}\,\frac{2 m_2}{m_1 + m_2}

v_{2x,f} = -v'_{2x,i} + v_{x,\text{cm}} = v_{2x,i}\,\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} + v_{1x,i}\,\frac{2 m_1}{m_1 + m_2}

連立方程式を一度も解かずに、実験室系の公式が得られました。

IV可視化3 — くっつくと何が失われるか

台車どうしがくっつくと、相対運動の運動エネルギーは失われ、質量中心の運動エネルギーは残ります。

質量比 m₂/m₁ 1.00

💡 同じ二台を弾性的にはね返らせると、収支は何も失われずに閉じます。重心系での反転が相対運動の運動エネルギーを1ジュール残らず返すので、質量比がどんな値でも $\Delta K = 0$ です。

V確認クイズ

問1 · 静止した標的との弾性衝突

条件： 質量 $m_1$ の台車1が $+x$ 向きに速さ $v_{1,i}$ で進み、静止している質量 $m_2 = 3m_1$ の台車2にぶつかります。衝突は弾性衝突です。 $v_{1x,f}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 質量の係数は

\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{-2m_1}{4m_1} = -\tfrac{1}{2}

です。台車1は、ぶつかる前の半分の速さではね返ります。

❌ それは重心系でのふるまいです。 台車がぶつかる前と同じ速さで離れるのは、運動量が 0 の座標系だけです。実験室系では、さらに

v_{x,\text{cm}} = \tfrac{1}{4}v_{1,i}

を足し戻す必要があり、

-\tfrac{3}{4}v_{1,i}

は

-\tfrac{1}{2}v_{1,i}

になります。

❌ 符号を確かめてください。

m_1 - m_2 = m_1 - 3m_1 = -2m_1

は負なので、軽いほうの台車は来た向きへ戻っていきます。

❌ それは $m_2 = 2m_1$ のときの値です。

m_2 = 3m_1

では係数は

\frac{-2m_1}{4m_1}

で、

\frac{-m_1}{3m_1}

ではありません。

❌ 惜しい！

v_{1x,f} = v_{1x,i}\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} + v_{2x,i}\frac{2m_2}{m_1+m_2}

で

v_{2x,i} = 0

としましょう。

解答を見る

実験室系の公式。 $v_{2x,i} = 0$ なので、第2項は消えます：

v_{1x,f} = v_{1,i}\,\frac{m_1 - 3m_1}{m_1 + 3m_1} = v_{1,i}\,\frac{-2m_1}{4m_1} = -\tfrac{1}{2}v_{1,i}

質量中心を経由しても同じ答えになります。

v_{x,\text{cm}} = \frac{m_1 v_{1,i}}{4m_1} = \tfrac{1}{4}v_{1,i}, \qquad v'_{1x,i} = v_{1,i} - \tfrac{1}{4}v_{1,i} = \tfrac{3}{4}v_{1,i}

反転させてから、 $v_{x,\text{cm}}$ を足し戻します：

v_{1x,f} = -\tfrac{3}{4}v_{1,i} + \tfrac{1}{4}v_{1,i} = -\tfrac{1}{2}v_{1,i}

確認。台車2は $v_{2x,f} = \frac{2m_1}{4m_1}v_{1,i} = \tfrac{1}{2}v_{1,i}$ で離れるので、運動量は $m_1(-\tfrac{1}{2}v_{1,i}) + 3m_1(\tfrac{1}{2}v_{1,i}) = m_1 v_{1,i}$ ✓、運動エネルギーは $\tfrac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2(\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4}) = \tfrac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2$ ✓ です。

問2 · 重心系へ移る

条件： $m_1 = 1.0$ kg、 $v_{1x,i} = +4.0$ m/s の台車が、 $m_2 = 3.0$ kg、 $v_{2x,i} = -2.0$ m/s の台車と出会います。 $v_{x,\text{cm}}$ を求め、次に $v'_{1x,i}$ を求めてください。

$v_{x,\text{cm}}$ はいくらですか？

$v'_{1x,i}$ はいくらですか？

✅ 正解です！ 質量中心は

0.50

m/s で後ろ向きに動き、台車1はそこへ

4.5

m/s で近づきます。台車2は

v'_{2x,i} = -1.5

m/s なので、

m_1 v'_{1x,i} + m_2 v'_{2x,i} = 4.5 - 4.5 = 0

です。

❌ それは単純な平均です。 速度は質量で重みづけされます。

3.0

kg の台車は

1.0

kg の台車の3倍の重みをもちます。

❌ 符号が抜けています。

v_{2x,i} = -2.0

m/s なので、分子は

4.0 - 6.0 = -2.0

で、

4.0 + 6.0

ではありません。

❌ 重みづけした和を確かめてください。

v_{x,\text{cm}}

は、全運動量

m_1v_{1x,i} + m_2v_{2x,i}

を全質量で割ったものです。

❌ それは相対速度です。

v_{1x,i} - v_{2x,i} = 6.0

m/s に、さらに台車2が全質量に占める割合

\frac{m_2}{m_1+m_2} = \tfrac{3}{4}

をかける必要があります。

❌ ずらす量を引かずに足しています。

v' = v - v_{x,\text{cm}} = 4.0 - (-0.50) = +4.5

m/s です。負の速度を引くので、プライムつきの速度は大きくなります。

❌ 惜しい！ プライムつきの速度はどれも、実験室系での速度から

v_{x,\text{cm}}

を引いたものです。

解答を見る

質量中心の速度。

v_{x,\text{cm}} = \frac{(1.0)(+4.0) + (3.0)(-2.0)}{1.0 + 3.0} = \frac{4.0 - 6.0}{4.0} = -0.50\ \text{m/s}

その座標系での台車1。

v'_{1x,i} = v_{1x,i} - v_{x,\text{cm}} = 4.0 - (-0.50) = +4.5\ \text{m/s}

簡潔な形を使っても同じ結果になります：

v'_{1x,i} = (v_{1x,i} - v_{2x,i})\frac{m_2}{m_1 + m_2} = (6.0)\left(\tfrac{3}{4}\right) = +4.5\ \text{m/s}

座標系の確認。 $v'_{2x,i} = -2.0 - (-0.50) = -1.5$ m/s で、

m_1 v'_{1x,i} + m_2 v'_{2x,i} = (1.0)(4.5) + (3.0)(-1.5) = 0 \ \checkmark

問3 · 両方が動いている正面衝突

条件： $m_1 = 3.0$ kg、 $v_{1x,i} = +2.0$ m/s の台車が、 $m_2 = 1.0$ kg、 $v_{2x,i} = -2.0$ m/s の台車と弾性衝突します。実験室系での二つの最終速度を求めてください。

$v_{1x,f}$ はいくらですか？

$v_{2x,f}$ はいくらですか？

✅ 正解です！ 重い台車はぴたりと止まり、軽い台車が

+4.0

m/s で離れていきます。運動エネルギー

8.0

J も運動量

4.0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

も、すべて軽い台車が運びます。

❌ 速度がそのまま反転するのは重心系だけです。 ここでは

v_{x,\text{cm}} = +1.0

m/s は 0 ではないので、実験室系での速度は、反転したプライムつきの値を

+1.0

m/s ずらしたものです。

❌ それは $v'_{1x,f}$ で、まだ重心系での値です。 台車1は

v'_{1x,i} = +1.0

m/s で近づき、

-1.0

m/s で離れます。

v_{x,\text{cm}} = +1.0

m/s を足し戻すと

v_{1x,f} = 0

です。

❌ 惜しい！ 重心系で考えましょう。

v_{x,\text{cm}}

を引き、反転させ、足し戻します。

❌ 速度がそのまま反転するのは重心系だけです。 台車2のプライムつきの速度は

-3.0

m/s で、

-2.0

m/s ではありません。質量中心自身が

+1.0

m/s で動いているからです。

❌ それは $v'_{2x,f}$ で、まだ重心系での値です。

v_{x,\text{cm}} = +1.0

m/s を足し戻すと、実験室系での値になります。

❌ 惜しい！ 台車2は質量中心に

-3.0

m/s で近づくので、その座標系では

+3.0

m/s で離れていきます。

解答を見る

ステップ1 — 質量中心の速度。

v_{x,\text{cm}} = \frac{(3.0)(+2.0) + (1.0)(-2.0)}{4.0} = \frac{6.0 - 2.0}{4.0} = +1.0\ \text{m/s}

ステップ2 — それを引く。

v'_{1x,i} = 2.0 - 1.0 = +1.0\ \text{m/s}, \qquad v'_{2x,i} = -2.0 - 1.0 = -3.0\ \text{m/s}

この座標系での運動量： $(3.0)(1.0) + (1.0)(-3.0) = 0$ ✓

ステップ3 — 反転する。 $v'_{1x,f} = -1.0$ m/s、 $v'_{2x,f} = +3.0$ m/s です。

ステップ4 — $v_{x,\text{cm}}$ を足し戻す。

v_{1x,f} = -1.0 + 1.0 = 0, \qquad v_{2x,f} = 3.0 + 1.0 = +4.0\ \text{m/s}

確認。衝突前の運動量 $= (3.0)(2.0) + (1.0)(-2.0) = 4.0$ 、衝突後 $= 0 + (1.0)(4.0) = 4.0$ ✓。衝突前の運動エネルギー $= \tfrac{1}{2}(3.0)(2.0)^2 + \tfrac{1}{2}(1.0)(2.0)^2 = 8.0$ J、衝突後 $= 0 + \tfrac{1}{2}(1.0)(4.0)^2 = 8.0$ J ✓。相対速度は $+4.0$ m/s から $-4.0$ m/s へと、あるべきとおりに反転しています。

問4 · 損失から逆にたどる

条件： 質量 $m_1$ 、速さ $v_{1,i}$ の台車1が静止している台車2にぶつかり、二台はくっつきます。この衝突で運動エネルギーの 80% が失われます。質量比と、一体になった二台の速さを求めてください。

$m_2/m_1$ はいくらですか？

一体になった二台の最終的な速さはいくらですか？

✅ 正解です！ 4倍重い標的は全質量の

\tfrac{4}{5}

を占め、エネルギーの

\tfrac{4}{5}

を失わせます。二台は

v_f = v_{x,\text{cm}} = \tfrac{1}{5}v_{1,i}

でゆっくり動いていきます。

❌ それは損失が 20% のときの比です。

m_2/(m_1+m_2)

は失われる割合で、

m_1/(m_1+m_2)

は残る割合です。

❌ $0.80$ は失われる割合で、質量比ではありません。

\frac{m_2}{m_1 + m_2} = 0.80

を

m_2

について解くと、

0.20\,m_2 = 0.80\,m_1

となります。

❌ 惜しい！

\frac{m_2}{m_1+m_2}

を

0.80

とおき、

m_2

を

m_1

で表しましょう。

❌ それは失われる割合を速さとして使ったものです。 二台は

v_f = \frac{m_1}{m_1+m_2}v_{1,i}

で動き、これは残る割合のほうです。

❌ ここで平方根は必要ありません。 標的が静止しているとき、

K_{\text{final}}/K_{\text{initial}} = \frac{m_1}{m_1+m_2}

と

v_f/v_{1,i} = \frac{m_1}{m_1+m_2}

は同じ数

0.20

です。

❌ 惜しい！ 二台の速さは運動量だけで決まります。

m_1 v_{1,i} = (m_1 + m_2)v_f

です。

解答を見る

ステップ1 — 損失の式を逆に解く。標的が静止しているとき、

\frac{|\Delta K|}{K_{\text{initial}}} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} = 0.80 \;\Longrightarrow\; 0.80\,m_1 = 0.20\,m_2 \;\Longrightarrow\; m_2 = 4m_1

ステップ2 — 運動量から速さを求める。

m_1 v_{1,i} = (m_1 + m_2)v_f \;\Longrightarrow\; v_f = \frac{m_1}{5m_1}v_{1,i} = 0.20\,v_{1,i}

エネルギーを直接確かめる。

K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2}(5m_1)(0.20\,v_{1,i})^2 = 0.20\left(\tfrac{1}{2}m_1v_{1,i}^2\right) = 0.20\,K_{\text{initial}}

したがって 80% が失われています ✓。失われたエネルギーはちょうど $\tfrac{1}{2}\mu v_{1,i}^2$ で、 $\mu = \frac{(m_1)(4m_1)}{5m_1} = 0.80\,m_1$ です。残った 20% は質量中心の運動エネルギー $\tfrac{1}{2}(5m_1)v_{x,\text{cm}}^2$ です。 $v_f = v_{x,\text{cm}}$ だからです。

正解数：0 / 4