古典力学 · 第19回 · 動画5 · インタラクティブ教材

角度を一つ決めればすべて決まる：二次元の弾性衝突を解く

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$0 = (1+\alpha)v_{1,f}^2 - 2\alpha v_{1,i}v_{1,f}\cos\theta_{1,f} - (1-\alpha)v_{1,i}^2$	散乱後の速さについての二次方程式（ $\alpha \equiv m_1/m_2$ ）	運動量の両成分と、弾性衝突でのエネルギー保存（2乗して足し、 $\theta_{2,f}$ を消去）
$v_{1,f} = \dfrac{\alpha v_{1,i}\cos\theta_{1,f} \pm v_{1,i}\sqrt{\alpha^2\cos^2\theta_{1,f} + 1 - \alpha^2}}{1+\alpha}$	散乱後の速さ	$v_{1,i}$ 、 $\theta_{1,f}$ 、 $\alpha$ 。 $\alpha \le 1$ のときは $+$ の解だけ
$\tan\theta_{2,f} = \dfrac{v_{1,f}\sin\theta_{1,f}}{v_{1,i} - v_{1,f}\cos\theta_{1,f}}$	反跳角	二次方程式から得た $v_{1,f}$ 。この関係には質量が現れない
$v_{2,f} = \dfrac{\alpha v_{1,f}\sin\theta_{1,f}}{\sin\theta_{2,f}}$	反跳の速さ	$\theta_{2,f}$ 。ここで質量比が戻ってくる

ポイント： 運動量の2つの成分と1つのエネルギーの式は、4つの未知数に対して3つの方程式です。そのため二次元の弾性衝突には自由なパラメータが1つ残ります。保存則には、正面衝突と斜衝突の区別がつかないのです。 $\theta_{1,f}$ を与えれば、その先はすべて決まります。 $m_1 = m_2$ なら二次方程式は $v_{1,f} = v_{1,i}\cos\theta_{1,f}$ に簡単になり、2つの物体はいつも $90\degree$ の角をなして離れていきます。

II可視化1 — 角度を一つ選べば、3つの答えが決まる

保存則は散乱角を選んでくれません。自分で選べば、残りはすべて保存則が決めます。

散乱角 θ1f 30°

III可視化2 — どちらの解か、どこまで散乱できるか

二次方程式のどちらの解が物理的に意味をもつか、そもそも解が存在するかどうかは、質量比で決まります。

質量比 α = m1/m2 1.00 散乱角 θ1f 30°

$\theta_{1,f}$ の上限は実験室系だけのものです。重心系から見れば、入射粒子がどれほど重くても、散乱角はどの値もとりえます。次の動画からはそこを扱います。

IV可視化3 — 等しい質量の例を一歩ずつ

質量が等しいと二次方程式は cos の式に簡単になり、2つの物体は直角に分かれて飛び去ります。

ステップ 1

直角になるのは弾性衝突のときだけです。変形で運動エネルギーが少しでも失われれば $\vec{v}_{1,f}\cdot\vec{v}_{2,f} > 0$ となり、角度の和は $90\degree$ より小さくなります。

V確認クイズ

問1 · 等しい質量、角度は既知

条件： 速さ $v_{1,i} = 4.0\ \text{m/s}$ で進む質量 $m$ の物体が、静止している同じ質量のもう一つの物体と弾性衝突し、 $\theta_{1,f} = 60\degree$ の向きに出ていきます。衝突後の速さ $v_{1,f}$ と反跳角 $\theta_{2,f}$ を求めてください。

$v_{1,f}$ はいくらですか？

$\theta_{2,f}$ はいくらですか？

✅ 正解です！

\alpha = 1

なので二次方程式から

v_{1,f} = v_{1,i}\cos\theta_{1,f} = 2.0\ \text{m/s}

となり、質量が等しいときの直角の関係から

\theta_{2,f} = 90\degree - 60\degree = 30\degree

です。

❌ それは標的の速さです。

v_{1,i}\sin 60\degree = 3.46\ \text{m/s}

は

v_{2,f}

です。入射した物体に残るのは cos のほうで、

v_{1,f} = v_{1,i}\cos\theta_{1,f}

です。

❌ 速さがそのまま残ることはありません。

v_{1,f} = v_{1,i}

なら入射した物体が運動エネルギーをすべて保ち、確かに動き出したはずの標的には何も残りません。

❌ cos を確かめてください。 質量が等しいと、二次方程式は

v_{1,f} = v_{1,i}\cos\theta_{1,f} = (4.0\ \text{m/s})\cos 60\degree

に簡単になります。

❌ 角度の和を確かめてください。 質量が等しければ、散乱角がいくつであっても

\theta_{1,f} + \theta_{2,f} = 90\degree

です。

解答を見る

ステップ1 — 質量が等しいときの二次方程式。 $\alpha = m_1/m_2 = 1$ ではルートの中の項 $(1-\alpha^2)v_{1,i}^2$ が消えるので、ルートは前の項に等しくなり、2つの解は次のようになります。

v_{1,f} = \frac{v_{1,i}\cos\theta_{1,f} \pm v_{1,i}\cos\theta_{1,f}}{2} = v_{1,i}\cos\theta_{1,f} \quad\text{または}\quad 0

0 のほうの解は、入射した物体がぴたりと止まる正面衝突です。散乱角が $60\degree$ なので、この解は除かれます。

v_{1,f} = (4.0\ \text{m/s})\cos 60\degree = 2.0\ \text{m/s}

ステップ2 — tan の関係から反跳角を求める。

\tan\theta_{2,f} = \frac{v_{1,f}\sin\theta_{1,f}}{v_{1,i} - v_{1,f}\cos\theta_{1,f}} = \frac{(2.0)(0.866)}{4.0 - (2.0)(0.500)} = \frac{1.732}{3.0} = 0.577

\theta_{2,f} = \tan^{-1}(0.577) = 30\degree

ステップ3 — エネルギーで確かめる。 反跳の速さは $v_{2,f} = v_{1,i}\sin\theta_{1,f} = 3.46\ \text{m/s}$ で、

v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2 = 4.0 + 12.0 = 16.0 = v_{1,i}^2 \ \checkmark

質量が等しいときに成り立つはずのとおり、角度の和は $90\degree$ になります。

問2 · 直角は法則ではない

条件： 質量 $m_1 = m$ の陽子が、静止している質量 $m_2 = 4m$ のヘリウムの原子核と弾性衝突し、 $\theta_{1,f} = 30\degree$ の向きに散乱されます。ヘリウムの原子核の反跳角 $\theta_{2,f}$ を求めてください。

✅ 正解です！

\alpha = \tfrac{1}{4}

では、軽い陽子は速さをほとんどすべて保ち（

v_{1,f} = 0.967\,v_{1,i}

）、重い原子核は

71.4\degree

の向きにはじき出されます。角度の和は

90\degree

ではなく

101.4\degree

です。

❌ それは質量が等しい場合の答えです。

\theta_{1,f} + \theta_{2,f} = 90\degree

が成り立つのは

m_1 = m_2

のときだけです。ここでは

\alpha = \tfrac{1}{4}

で、入射粒子が軽いと和はいつも

90\degree

より大きくなります。

❌ 比が逆になっています。 最大散乱角が存在するのは

\alpha > 1

のときだけです。ここでは

\alpha = m_1/m_2 = \tfrac{1}{4}

で入射粒子のほうが軽く、

180\degree

までのどの角度もとりえます。

❌ 惜しい！ 手順どおりに進めましょう。二次方程式から

v_{1,f}

、続いて tan の関係から

\theta_{2,f}

が求まります。ここでは

90\degree

の近道は使えません。

解答を見る

ステップ1 — 二次方程式。 $\alpha = m_1/m_2 = 0.25$ 、 $\theta_{1,f} = 30\degree$ として、 $v_{1,i}$ を単位に計算します：

\alpha^2\cos^2\theta_{1,f} + 1 - \alpha^2 = (0.0625)(0.750) + 0.9375 = 0.9844

\frac{v_{1,f}}{v_{1,i}} = \frac{(0.25)(0.866) + \sqrt{0.9844}}{1.25} = \frac{0.2165 + 0.9922}{1.25} = 0.9669

$\alpha < 1$ なので、物理的に意味のある解は $+$ の解だけです。 $-$ の解は負の速さを与えます。

ステップ2 — tan の関係。

\tan\theta_{2,f} = \frac{(0.9669)(0.500)}{1 - (0.9669)(0.866)} = \frac{0.4835}{0.1626} = 2.973

\theta_{2,f} = \tan^{-1}(2.973) = 71.4\degree

ステップ3 — エネルギーで確かめる。 反跳の速さは sin の式から求まります。

v_{2,f} = \frac{\alpha v_{1,f}\sin\theta_{1,f}}{\sin\theta_{2,f}} = \frac{(0.25)(0.9669)(0.500)}{0.9478}\,v_{1,i} = 0.1275\,v_{1,i}

v_{1,f}^2 + \frac{v_{2,f}^2}{\alpha} = 0.9350 + \frac{0.01626}{0.25} = 0.9350 + 0.0650 = 1.000\,v_{1,i}^2 \ \checkmark

重い標的で跳ね返る軽い入射粒子はほとんど減速せず、角度の和 $30\degree + 71.4\degree = 101.4\degree$ は直角を超えます。ちょうど $90\degree$ になるのは $m_1 = m_2$ のときだけです。

問3 · 重い入射粒子はどこまで曲げられるか

条件： 質量 $m_1 = 3m_2$ の物体が、静止している質量 $m_2$ の物体と弾性衝突します。入射した物体がとりうる最大の散乱角 $\theta_{1,f}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 判別式は

\sin\theta_{1,f} = 1/\alpha = \tfrac{1}{3}

でゼロになり、

\theta_{1,f}^{\max} = 19.47\degree

が得られます。これを超えるとルートは虚数になり、その角度だけ曲げる弾性衝突は存在しません。

❌ 質量の組み合わせ方が違います。 それは

\sin^{-1}\!\big(m_2/(m_1+m_2)\big) = \sin^{-1}(0.25) = 14.5\degree

です。判別式の条件は

\sin\theta_{1,f} \le m_2/m_1 = 1/\alpha

です。

❌ それは $\cos^{-1}(1/3)$ です。

\alpha^2\cos^2\theta_{1,f} + 1 - \alpha^2 \ge 0

を解くと

\sin^2\theta_{1,f} \le 1/\alpha^2

となります。条件が制限するのは cos ではなく sin です。

❌ それが成り立つのは $\alpha \le 1$ のときだけです。

\alpha > 1

ではルートの中の

(1-\alpha^2)v_{1,i}^2

が負になり、やがて

\cos^2\theta_{1,f}

の項を上回って、解そのものがなくなります。

解答を見る

ステップ1 — 実数解を要求する。 散乱後の速さが実数になるのは、平方根の中が負でないときだけです：

\alpha^2 v_{1,i}^2\cos^2\theta_{1,f} + (1-\alpha^2)v_{1,i}^2 \ge 0 \;\Longrightarrow\; \cos^2\theta_{1,f} \ge 1 - \frac{1}{\alpha^2}

ステップ2 — sin の条件に直す。 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を使うと

\sin^2\theta_{1,f} \le \frac{1}{\alpha^2} \;\Longrightarrow\; \sin\theta_{1,f} \le \frac{1}{\alpha} = \frac{m_2}{m_1}

ステップ3 — 値を求める。 $\alpha = 3$ では

\theta_{1,f}^{\max} = \sin^{-1}\!\left(\frac{1}{3}\right) = 19.47\degree

$\alpha < 1$ では右辺が $1$ を超えるので、この条件は何も制限しません。軽い入射粒子は、もと来た道をそのまま引き返す向きまで、どんな角度にも曲げられます。 $\alpha = 1$ でも判別式は負になりませんが、今度は $v_{1,f} = v_{1,i}\cos\theta_{1,f}$ のほうがゼロになります。質量が等しいと $90\degree$ が限界です。重い入射粒子はそこまでも届きません。 $\theta_{1,f}^{\max}$ で2つの解が一致し、それを超えると弾性衝突は起こりえません。

問4 · 選んだ角度でのエネルギーの分け方

条件： 等しい質量の2つの物体が弾性衝突し、入射した物体は $\theta_{1,f} = 40\degree$ の向きに散乱されます。入射した運動エネルギーのうち、標的が持ち去る割合を求めてください。

✅ 正解です！ 質量が等しければ

v_{2,f} = v_{1,i}\sin\theta_{1,f}

なので、標的の取り分は

\sin^2 40\degree = 0.41

です。入射した物体の取り分

\cos^2 40\degree = 0.59

と合わせて、帳簿が閉じます。

❌ それは入射した物体の取り分です。

\cos^2 40\degree = 0.59

は物体1が保つエネルギーです。標的が受け取るのは残りの

\sin^2 40\degree

です。

❌ それはエネルギーの比ではなく、速さの比です。

\sin 40\degree = 0.64

は

v_{2,f}/v_{1,i}

に等しく、運動エネルギーは速さの2乗に比例します。

❌ 惜しい！ まず

v_{2,f}

を求めましょう。質量が等しいと、手順は

v_{2,f} = v_{1,i}\sin\theta_{1,f}

に簡単になります。それから比を2乗します。

解答を見る

ステップ1 — 衝突後の2つの速さ。 質量が等しいと $v_{1,f} = v_{1,i}\cos\theta_{1,f}$ 、 $\theta_{2,f} = 90\degree - \theta_{1,f}$ なので、sin の式は次のようになります。

v_{2,f} = \frac{\alpha v_{1,f}\sin\theta_{1,f}}{\sin\theta_{2,f}} = \frac{v_{1,i}\cos\theta_{1,f}\sin\theta_{1,f}}{\cos\theta_{1,f}} = v_{1,i}\sin\theta_{1,f}

ステップ2 — エネルギーの割合。 質量が等しいので、質量の因子は打ち消し合います：

\frac{K_{2,f}}{K_i} = \frac{\tfrac{1}{2}mv_{2,f}^2}{\tfrac{1}{2}mv_{1,i}^2} = \sin^2\theta_{1,f} = \sin^2 40\degree = (0.643)^2 = 0.41

ステップ3 — 帳簿を確かめる。 入射した物体には $\cos^2 40\degree = 0.59$ が残り、

\cos^2\theta_{1,f} + \sin^2\theta_{1,f} = 1 \ \checkmark

運動量の式から $\theta_{2,f}$ を消した同じ恒等式が、ここではエネルギーの帳簿として現れます。かすめるような衝突（ $\theta_{1,f}$ が小さい）ではほとんど何も渡されず、 $90\degree$ 曲がるなら、すべてが渡されることになります。

正解数：0 / 4