古典力学 · 第19回 · 動画6 · インタラクティブ教材

自分自身との内積：一行で示す直角と重心系での散乱角

I重要な公式

公式	名称	必要な条件
$\vec{v}_{1,i} = \vec{v}_{1,f} + \vec{v}_{2,f}$	ベクトルとしての運動量	質量が等しい：どの項からも $m_1$ を割り去れる
$v_{1,i}^2 = v_{1,f}^2 + 2\,\vec{v}_{1,f}\cdot\vec{v}_{2,f} + v_{2,f}^2$	同じ式と自分自身との内積	$\vec{v}\cdot\vec{v} = v^2$ 、そして内積は分配法則を満たす
$\vec{v}_{1,f}\cdot\vec{v}_{2,f} = 0 \;\Longrightarrow\; \theta_{1,f} + \theta_{2,f} = 90\degree$	直角の規則	質量が等しい、弾性衝突、標的が静止、どちらの速さも 0 でない
$\vec{v}_{cm} = \dfrac{m_1\vec{v}_{1,i}}{m_1 + m_2}$	重心系への座標系の相対速度	標的2は静止。一定なので、衝突の前も後も $m_1\vec{v}^{\,\prime}_{1} + m_2\vec{v}^{\,\prime}_{2} = 0$

ポイント： 質量が等しい弾性衝突からは $v_{1,i}^2 = v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2$ が得られます。これを運動量の式の2乗から引くと交差項だけが残るので、 $\vec{v}_{1,f}\cdot\vec{v}_{2,f} = 0$ です。三角比も、特定の角度も使わずに、どの散乱角でも直角になります。

II可視化1 — 一つの内積、一つの直角

質量が等しいとき、運動量だけなら $\vec{v}_{1,f}$ の終点はどこにでも置けますが、エネルギーがそれを一つの円の上に固定します。

θ₁f（度） 40 v₁f (m/s) 2.30

💡 この規則は、二つの特別な場合、つまり $v_{1,f} = 0$ となる正面衝突と、 $v_{2,f} = 0$ となる当たらなかった場合を除きます。ゼロベクトルには、垂直になるべき向きがないからです。

III可視化2 — 速さは運動量で決まり、エネルギーは判定に使う

$m_2 = m_1/3$ で標的が動いている場合、運動量の二つの成分で速さが決まるので、エネルギーの式は弾性衝突かどうかの判定に使えます。

ステップ 1

ステップ1 — 運動量の二つの成分

m_1 v_{1,i} - \tfrac{m_1}{3}\, v_{2,i} \;=\; \tfrac{m_1}{3}\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\, v_{2,f} \qquad (1)

m_1 v_{1,f} \;=\; \tfrac{m_1}{3}\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\, v_{2,f} \qquad (2)

衝突前に縦に動いているものはないので、

(2)

では粒子1の下向きの運動量が粒子2の上向きの成分と打ち消し合わなければなりません。方程式が一つで、未知数も一つです。

ステップ2 — $(2)$ を $v_{2,f}$ について解く

v_{2,f} = \frac{6}{\sqrt{2}}\, v_{1,f} = 3\sqrt{2}\, v_{1,f} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\, v_{1,i} \approx 2.121\, v_{1,i}

粒子2は、粒子1が入ってきたときよりも速く出ていきます。軽いほうの物体なのに、上向きの運動量をすべて運び去らなければならないからです。

ステップ3 — $(1)$ に代入する

\tfrac{m_1}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\, v_{1,i} = \tfrac{1}{2}\, m_1 v_{1,i}

m_1 v_{1,i} - \tfrac{m_1}{3}\, v_{2,i} = \tfrac{1}{2}\, m_1 v_{1,i} \quad\Longrightarrow\quad v_{2,i} = \tfrac{3}{2}\, v_{1,i}

ステップ4 — 衝突前の運動エネルギー

K_i = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1,i}^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{m_1}{3}\left(\tfrac{3}{2} v_{1,i}\right)^{\!2} = \tfrac{4}{8} m_1 v_{1,i}^2 + \tfrac{3}{8} m_1 v_{1,i}^2 = \tfrac{7}{8} m_1 v_{1,i}^2

未知の速さは二つとも運動量だけで決まったので、エネルギーの式はまだ使っていません。判定に使うことができます。

ステップ5 — 衝突後の運動エネルギーと判定

K_f = \tfrac{1}{2} m_1\left(\tfrac{v_{1,i}}{2}\right)^{\!2} + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{m_1}{3}\left(\tfrac{3\sqrt{2}}{2} v_{1,i}\right)^{\!2} = \tfrac{1}{8} m_1 v_{1,i}^2 + \tfrac{3}{4} m_1 v_{1,i}^2 = \tfrac{7}{8} m_1 v_{1,i}^2

K_f = K_i

なので、この衝突は弾性衝突です。それでも衝突後の向きは

135\degree

離れています。直角の規則には、質量が等しく標的が静止していることが必要ですが、この衝突はそのどちらも満たしていません。

IV可視化3 — 重心系から見た衝突

どの速度からも一定の $\vec{v}_{cm}$ を引くと、二つの粒子は正反対の向きから入ってきて、正反対の向きに出ていきます。

座標系実験室系 Θcm（度） 52

💡 実験室系の組 $(v_{1,f}, \theta_{1,f})$ と、ただ一つの角 $\Theta_{cm}$ は、同じ情報をもっています。一方を他方に換算するのは、次の動画の仕事です。

V確認クイズ

問1 · 標的が出ていく速さ

条件： $v_{1,i} = 4.00\ \text{m/s}$ で動く質量 $m$ の粒子が、静止している同じ粒子に衝突します。衝突は弾性的な斜衝突で、粒子1は $v_{1,f} = 3.00\ \text{m/s}$ で出ていきます。 $v_{2,f}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 質量が等しい弾性衝突なので

v_{1,i}^2 = v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2

が成り立ち、

v_{2,f} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2.65\ \text{m/s}

です。そして衝突後の二つの速度は

90\degree

離れています。

❌ 速さは引き算できません。

\vec{v}_{1,i} = \vec{v}_{1,f} + \vec{v}_{2,f}

はベクトルの式です。三つのベクトルは一直線ではなく三角形をつくるので、

4.00 - 3.00

は

v_{2,f}

ではありません。

❌ 斜辺を取り違えています。 直角三角形の斜辺は

v_{1,i}

です。

v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2 = v_{1,i}^2

なので、足し算ではなく

16

から

9

を引きます。

❌ それは $v_{2,f}^2$ です。

16 - 9 = 7

は速さの2乗で、単位は

\text{m}^2/\text{s}^2

です。平方根をとりましょう。

❌ 惜しい！ 質量の等しい弾性衝突の関係

v_{1,i}^2 = v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2

を使いましょう。

解答を見る

運動量はベクトルとして保存され、 $m_2 = m_1$ なので共通の質量を割り去れます。

\vec{v}_{1,i} = \vec{v}_{1,f} + \vec{v}_{2,f}

$\vec{v}\cdot\vec{v} = v^2$ を使って、両辺それぞれについて自分自身との内積をとります。

v_{1,i}^2 = v_{1,f}^2 + 2\,\vec{v}_{1,f}\cdot\vec{v}_{2,f} + v_{2,f}^2

質量の等しい弾性衝突では、エネルギーの式のどの項からも $\tfrac{1}{2}m$ が消えます。

v_{1,i}^2 = v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2

二つの式を比べると交差項が消えて $\vec{v}_{1,f}\cdot\vec{v}_{2,f} = 0$ となり、三つの速さのあいだに三平方の定理の関係が残ります。

v_{2,f} = \sqrt{v_{1,i}^2 - v_{1,f}^2} = \sqrt{16.0 - 9.0} = \sqrt{7} \approx 2.65\ \text{m/s}

確認として、 $\cos\theta_{1,f} = v_{1,f}/v_{1,i} = 0.75$ なので $\theta_{1,f} \approx 41.4\degree$ 、 $\theta_{2,f} \approx 48.6\degree$ となり、和は $90\degree$ です。

問2 · なぜ $90\degree$ ではなく $135\degree$ なのか

条件： $m_2 = m_1/3$ で標的が動いている衝突です。 $K_f = K_i = \tfrac{7}{8} m_1 v_{1,i}^2$ なのに、衝突後の速度は $135\degree$ 離れています。直角の証明に必要な条件のうち、この衝突に欠けているものを求めてください。

✅ 正解です！ 証明には二つの条件がどちらも必要です。運動量の式とエネルギーの式の両方から

m_1

が消えるための質量の等しさと、二つ目の式を与える弾性衝突です。ここでは弾性衝突の条件は満たされていますが、質量の条件が満たされていないので、交差項が消える必要はありません。

❌ 弾性衝突です。 計算では、ちょうど

K_f = K_i = \tfrac{7}{8} m_1 v_{1,i}^2

となりました。ですからエネルギー保存はここでも使えます。ただ、それだけでは足りないのです。

❌ ここでも運動量は必ず保存されます。 外力ははたらかないので、どちらの成分も保存されます。まさにそれを使って

v_{2,f}

と

v_{2,i}

を求めたのです。成り立たないのは、簡単にした形

\vec{v}_{1,i} = \vec{v}_{1,f} + \vec{v}_{2,f}

のほうです。

❌ 質量が等しいことには、本当の役割があります。 そのおかげで両方の式から

m_1

が消え、2乗した二つの関係式が同じ項をもつのです。この条件を外すと交差項

2\,\vec{v}_{1,f}\cdot\vec{v}_{2,f}

が残ります。ここでの

135\degree

がその例です。

❌ 惜しい！ 導出で実際に使った二つの事実を挙げ、そのうちどちらをこの衝突がまだ満たしているかを確かめましょう。

解答を見る

直角の議論で使ったのは、ちょうど二つの条件です。一つ目は、質量が等しく標的が静止している場合の運動量です。

m_1\vec{v}_{1,i} = m_1\vec{v}_{1,f} + m_1\vec{v}_{2,f} \quad\Longrightarrow\quad \vec{v}_{1,i} = \vec{v}_{1,f} + \vec{v}_{2,f}

二つ目は、同じく質量が等しい場合の弾性衝突です。

\tfrac{1}{2}m v_{1,i}^2 = \tfrac{1}{2}m v_{1,f}^2 + \tfrac{1}{2}m v_{2,f}^2 \quad\Longrightarrow\quad v_{1,i}^2 = v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2

一つ目を2乗して二つ目を引くと、 $2\,\vec{v}_{1,f}\cdot\vec{v}_{2,f} = 0$ が残ります。

この衝突では、二つ目の条件は成り立っています（ $K_f = K_i$ は直接の計算で確かめました）。しかし一つ目は成り立ちません。 $m_2 = m_1/3$ なので質量が消えず、 $\vec{v}_{2,i} \neq \vec{0}$ なので入ってくる運動量は $m_1\vec{v}_{1,i}$ だけではないからです。そのためベクトルの式は三つの速度がつくる三角形にはならず、交差項が消える必要もなく、衝突後の向きは $135\degree$ 離れることになります。

問3 · 二つの成分と二つの未知の速さ

条件： $m_1$ は $+x$ の向きに $v_{1,i}$ で、 $m_2 = m_1/3$ は $-x$ の向きに未知の速さ $v_{2,i}$ で進んでいます。衝突後、粒子1はまっすぐ下に $v_{1,f} = v_{1,i}/2$ で、粒子2は $+x$ 軸から上へ $45\degree$ の向きに $v_{2,f}$ で進みます。二つの未知の速さを求めてください。

$v_{2,f}$ はいくらですか？

$v_{2,i}$ はいくらですか？

✅ 正解です！

y

の式には

v_{2,f}

しか含まれないので、こちらを先に解きました。

v_{2,f}

が分かれば、

x

の式から

v_{2,i} = \tfrac{3}{2} v_{1,i}

が得られます。二つの速さは運動量だけで決まりました。

❌ 質量の因子が抜けています。 粒子2の質量は

m_1/3

しかないので、粒子1の下向きの運動量とつり合うには3倍の速さが必要です。正しくは

v_{2,f} = 3\sqrt{2}\,v_{1,f}

で、因子を落としたときの

\sqrt{2}\,v_{1,f} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\,v_{1,i}

ではありません。

❌ それは $3\sqrt{2}\,v_{1,f}$ で、 $v_{1,f}$ を $v_{1,i}$ と取り違えています。 問題文には

v_{1,f} = v_{1,i}/2

とあるので、

v_{2,f} = 3\sqrt{2}\cdot\tfrac{v_{1,i}}{2} = \tfrac{3\sqrt{2}}{2} v_{1,i}

です。

❌ 粒子1とつり合うのは $\vec{v}_{2,f}$ の $y$ 成分だけです。 粒子2は

45\degree

の向きに出ていくので、縦の分は速さ全体ではなく

v_{2,f}\sin 45\degree = \tfrac{\sqrt{2}}{2} v_{2,f}

です。

❌ $y$ の式を確かめましょう。

m_1 v_{1,f} = \tfrac{m_1}{3}\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\, v_{2,f}

で、

v_{1,f} = v_{1,i}/2

です。

❌ 因子3が一つ足りません。 残る項は

\tfrac{m_1}{3} v_{2,i} = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1,i}

です。両辺に3をかけると

v_{2,i} = \tfrac{3}{2} v_{1,i}

になります。

❌ 右辺は 0 ではありません。 衝突後も粒子2は

x

方向の運動量

\tfrac{m_1}{3} v_{2,f}\cos 45\degree = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1,i}

をもっているので、

v_{2,i}

の項に残るのは

m_1 v_{1,i}

の半分だけです。

❌ 符号の誤りです。 粒子2は

-x

の向きに入ってくるので、その運動量は

-\tfrac{m_1}{3} v_{2,i}

として入ります。式は

m_1 v_{1,i} - \tfrac{m_1}{3} v_{2,i} = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1,i}

で、右辺に残るのは

\tfrac{3}{2} m_1 v_{1,i}

ではなく

\tfrac{1}{2} m_1 v_{1,i}

です。

❌ $x$ の式を確かめましょう。

m_1 v_{1,i} - \tfrac{m_1}{3} v_{2,i} = \tfrac{m_1}{3}\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\, v_{2,f}

で、

v_{2,f}

は前半で求めた値です。

解答を見る

ステップ1 — $y$ 方向の運動量。 衝突前に縦に動いているものはないので、衝突後の二つの縦の運動量は打ち消し合わなければなりません。

m_1 v_{1,f} = \tfrac{m_1}{3}\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\, v_{2,f} \quad\Longrightarrow\quad v_{2,f} = \frac{6}{\sqrt{2}}\, v_{1,f} = 3\sqrt{2}\, v_{1,f}

$v_{1,f} = v_{1,i}/2$ より、

v_{2,f} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\, v_{1,i} \approx 2.121\, v_{1,i}

ステップ2 — $x$ 方向の運動量。 衝突後の粒子1には $x$ 成分がないので、

m_1 v_{1,i} - \tfrac{m_1}{3}\, v_{2,i} = \tfrac{m_1}{3}\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\, v_{2,f} = \tfrac{m_1}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\, v_{1,i} = \tfrac{1}{2}\, m_1 v_{1,i}

\tfrac{m_1}{3}\, v_{2,i} = \tfrac{1}{2}\, m_1 v_{1,i} \quad\Longrightarrow\quad v_{2,i} = \tfrac{3}{2}\, v_{1,i}

エネルギーによる確認。 二つの速さは運動量から求めたので、エネルギーは独立な判定に使えます。

K_i = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1,i}^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{m_1}{3}\left(\tfrac{3}{2} v_{1,i}\right)^{\!2} = \tfrac{4}{8} m_1 v_{1,i}^2 + \tfrac{3}{8} m_1 v_{1,i}^2 = \tfrac{7}{8} m_1 v_{1,i}^2

K_f = \tfrac{1}{8} m_1 v_{1,i}^2 + \tfrac{3}{4} m_1 v_{1,i}^2 = \tfrac{7}{8} m_1 v_{1,i}^2

$K_f = K_i$ なので、この衝突は弾性衝突です。これは計算の前提ではなく、計算の結論です。

問4 · 重心系へ移る

条件： 質量 $m_1$ の粒子が $+x$ の向きに速さ $v_{1,i}$ で近づき、静止している質量 $m_2 = 3m_1$ の標的に衝突します。 $+x$ の向きを正として、重心系での衝突前の二つの速度を求めてください。

$v^{\,\prime}_{1,i}$ はいくらですか？

$v^{\,\prime}_{2,i}$ はいくらですか？

✅ 正解です！ 確認には、この座標系の定義を使います。

m_1\left(\tfrac{3}{4} v_{1,i}\right) + 3m_1\left(-\tfrac{1}{4} v_{1,i}\right) = 0

です。二つの粒子は一本の直線上を正反対の向きから近づき、軽いほうが3倍速く動きます。

❌ それは $v_{cm}$ そのものです。

v_{cm} = \tfrac{m_1 v_{1,i}}{m_1 + 3m_1} = \tfrac{1}{4} v_{1,i}

は引くべき座標系の相対速度で、移したあとの速度ではありません。

v^{\,\prime}_{1,i} = v_{1,i} - \tfrac{1}{4} v_{1,i}

です。

❌ 分母は全質量です。

\tfrac{1}{3} v_{1,i}

は

\tfrac{m_1}{m_2} v_{1,i}

です。

v_{cm}

は

m_2 = 3m_1

ではなく

m_1 + m_2 = 4m_1

で割るので、座標系の相対速度は

\tfrac{1}{4} v_{1,i}

で、

v^{\,\prime}_{1,i} = v_{1,i} - v_{cm} = \tfrac{m_2}{m_1+m_2} v_{1,i} = \tfrac{3}{4} v_{1,i}

となります。

❌ 座標系の相対速度を引いていません。 新しい座標系でのどの速度も

\vec{v}^{\,\prime} = \vec{v} - \vec{v}_{cm}

なので、粒子1は

v_{1,i}

から

\tfrac{3}{4} v_{1,i}

に遅くなります。

❌ 座標系の相対速度を確かめましょう。

v_{cm} = \tfrac{m_1 v_{1,i}}{m_1 + m_2}

で、

v^{\,\prime}_{1,i} = v_{1,i} - v_{cm}

です。

❌ 標的が静止して見えるのは実験室系だけです。

v_{cm}

で動く観測者には、標的が

-v_{cm}

で後ろ向きに動いて見えます。もし静止したままなら、この座標系での全運動量は 0 になりえません。

❌ 二つの係数が入れ替わっています。 重いほうの粒子が遅く動きます。

m_1 v^{\,\prime}_{1,i} + m_2 v^{\,\prime}_{2,i} = 0

より速さは質量に反比例するので、質量

3m_1

の標的は

\tfrac{1}{4} v_{1,i}

、粒子1は

\tfrac{3}{4} v_{1,i}

になります。

❌ 速すぎます。 標的の実験室系での速度は 0 なので、移った座標系ではちょうど

0 - v_{cm} = -\tfrac{1}{4} v_{1,i}

です。

❌ 二つ目の速度の変換を確かめましょう。 粒子2は実験室系で静止しているので、

v^{\,\prime}_{2,i} = 0 - v_{cm}

です。

解答を見る

動いているのは粒子1だけなので、重心の速度は次のようになります。

v_{cm} = \frac{m_1 v_{1,i} + m_2 \cdot 0}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v_{1,i}}{4m_1} = \tfrac{1}{4}\, v_{1,i}

外力ははたらかないので $v_{cm}$ は一定で、衝突の前も、衝突中も、衝突後も、同じ一つの相対速度で済みます。新しい座標系でのそれぞれの速度は、実験室系での速度から $v_{cm}$ を引いたものです。

v^{\,\prime}_{1,i} = v_{1,i} - \tfrac{1}{4} v_{1,i} = \tfrac{3}{4}\, v_{1,i} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\, v_{1,i}

v^{\,\prime}_{2,i} = 0 - \tfrac{1}{4} v_{1,i} = -\tfrac{1}{4}\, v_{1,i} = -\frac{m_1}{m_1 + m_2}\, v_{1,i}

この座標系を定義する性質がすぐに確かめられます。

m_1 v^{\,\prime}_{1,i} + m_2 v^{\,\prime}_{2,i} = \tfrac{3}{4} m_1 v_{1,i} - 3m_1 \cdot \tfrac{1}{4} v_{1,i} = 0

全運動量がゼロなので、入ってくる二つの速度は一本の直線上で互いに逆向きになり、軽いほうの粒子が速く動きます。衝突後も全運動量は 0 のままなので、出ていく二つの速度も正反対の向きになります。そして二本の直線のなす一つの角 $\Theta_{cm}$ が、衝突全体を表します。

正解数：0 / 4