古典力学 · 第19回 · 動画7 · インタラクティブ教材

重心系の散乱角を実験室系へ：速度を一つ足すだけの三角形

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$\vec v_{1,f} = \vec v\,'_{1,f} + \vec v_{cm}$	座標系の相対速度を足し戻す	回転した重心系での速度と $\vec v_{cm}$
$\tan\theta_{1,f} = \dfrac{\sin\Theta_{cm}}{\cos\Theta_{cm} + m_1/m_2}$	実験室系での散乱角	$\Theta_{cm}$ と質量比
$v_{1,f} = \dfrac{\sqrt{m_2^2 + 2m_1m_2\cos\Theta_{cm} + m_1^2}}{m_1 + m_2}\,v_{1,i}$	実験室系での終わりの速さ	$\Theta_{cm}$ 、質量、 $v_{1,i}$
$\dfrac{\Delta K_1}{K_{1,i}} = \dfrac{2m_1m_2\left(\cos\Theta_{cm} - 1\right)}{(m_1 + m_2)^2}$	失われる $K_1$ の割合	$\Theta_{cm}$ と質量

ポイント： 全運動量がゼロで、エネルギーが保存されることから、 $v'_{1,f} = v'_{1,i} = \frac{m_2}{m_1+m_2}v_{1,i}$ と $v'_{2,f} = v'_{2,i} = v_{cm}$ が決まります。ですから弾性衝突は、相対速度を $\Theta_{cm}$ だけ回転させる純粋な回転で、1次元での反転は $\Theta_{cm} = 180\degree$ の場合にあたります。同じ三角形を逆向きにたどれば、検出器の測定値から重心系での散乱角が得られます。 $\tan\Theta_{cm} = \frac{v_{1,f}\sin\theta_{1,f}}{v_{1,f}\cos\theta_{1,f} - v_{cm}}$ です。

II可視化1 — 座標系の相対速度を足し戻す三角形

衝突は $\vec v\,'_{1,f}$ を回転させるだけです。 $\vec v_{cm}$ を足し戻すと、矢印が前へ倒れて実験室系での角度になります。

質量の組（入射の速さ 4） Θcm 60°

III可視化2 — 三角形から公式へ

二つの成分をとって一回割り算をすると、未知の $v_{1,f}$ が消えて質量比だけが残ります。

ステップ 1

ステップ1 — 成分をとる

v_{1,f}\cos\theta_{1,f} = v'_{1,f}\cos\Theta_{cm} + v_{cm}

v_{1,f}\sin\theta_{1,f} = v'_{1,f}\sin\Theta_{cm}

座標系の相対速度には垂直な成分がありません。

ステップ2 — 二つ目の式を一つ目の式で割る

\tan\theta_{1,f} = \frac{v'_{1,f}\sin\Theta_{cm}}{v'_{1,f}\cos\Theta_{cm} + v_{cm}}

未知の

v_{1,f}

が消えます。

ステップ3 — 重心系での速さを代入する

v'_{1,f} = \frac{m_2 v_{1,i}}{m_1 + m_2}, \qquad v_{cm} = \frac{m_1 v_{1,i}}{m_1 + m_2}

\tan\theta_{1,f} = \frac{m_2\sin\Theta_{cm}}{m_1 + m_2\cos\Theta_{cm}}

ステップ4 — 分子と分母を $m_2$ で割る

\tan\theta_{1,f} = \frac{\sin\Theta_{cm}}{\cos\Theta_{cm} + m_1/m_2}\ \checkmark

m_1 = m_2

なら

\theta_{1,f} = \tfrac{1}{2}\Theta_{cm}

、

\ m_2 \gg m_1

なら

\theta_{1,f} \to \Theta_{cm}

です。

ステップ5 — 印刷された式は検算に合わない

\frac{m_2\sin\Theta_{cm}}{\cos\Theta_{cm} - m_1/m_2} = \frac{3\sin 60\degree}{\cos 60\degree - \tfrac{1}{3}} = 15.59

\Rightarrow\ \theta = 86.3\degree > \Theta_{cm}

前向きの速度を足しても、角度が大きくなることはありません。

💡 教科書の誤植： 教科書にはこの変換が $\tan\theta_{1,i} = \frac{m_2\sin\Theta_{cm}}{\cos\Theta_{cm} - m_1/m_2}$ と印刷されています。終わりの角度なのに $i$ がつき、座標系の相対速度を足さずに引き、質量比で割ったあとなのに分子に余分な $m_2$ が残っています。正しい形は上の三角形から得られます。

IV可視化3 — 標的に渡されるエネルギー

一回の弾性衝突で、静止した標的に $K_1$ のうちどれだけを渡せるでしょうか？

質量の組予想：失われる K₁ の割合の最大値 0.50

V確認クイズ

問1 · 重心系での速さ

条件： $v_{1,i} = 4$ m/s で動く $m_1 = 1$ kg の粒子が、静止している $m_2 = 3$ kg の粒子と弾性衝突して散乱されます。衝突後の重心系での粒子1の速さ $v'_{1,f}$ と、重心の速さ $v_{cm}$ を求めてください。

✅ 正解です！ どちらも

v_{1,i}

と質量だけで決まり、

\Theta_{cm}

はまったく入ってきません。さらに

v_{cm} = v'_{2,f}

です。粒子2は、重心系そのものの速さで重心系から出ていきます。

❌ 質量が入れ替わっています。 粒子1の重心系での速さには、相手の質量が入ります。

v'_{1,f} = \frac{m_2}{m_1+m_2}v_{1,i}

で、一方

v_{cm} = \frac{m_1}{m_1+m_2}v_{1,i}

です。

❌ それは実験室系での速さです。 重心系に移るには

v_{cm}

を引きます。

v'_{1,i} = v_{1,i} - v_{cm} = 4 - 1 = 3

m/s で、衝突してもこの速さは変わりません。

❌ 惜しい！

m_1 + m_2 = 4

kg として、

v_{cm} = \frac{m_1 v_{1,i}}{m_1+m_2}

と

v'_{1,f} = v'_{1,i} = \frac{m_2 v_{1,i}}{m_1+m_2}

を使いましょう。

解答を見る

この座標系の速さは

v_{cm} = \frac{m_1 v_{1,i}}{m_1 + m_2} = \frac{(1)(4)}{4} = 1\ \text{m/s}

なので、粒子1はこの座標系に $v'_{1,i} = v_{1,i} - v_{cm} = 3$ m/s で入ってきます。これは次の式とも一致します。

v'_{1,i} = \frac{m_2\,v_{1,i}}{m_1 + m_2} = \frac{(3)(4)}{4} = 3\ \text{m/s}

全運動量がゼロで運動エネルギーが保存されることから $v'_{1,f} = v'_{1,i}$ となるので、

v'_{1,f} = 3\ \text{m/s}, \qquad v_{cm} = 1\ \text{m/s}

衝突が変えるのは向きだけです。

問2 · 実験室系での角度（符号の落とし穴）

条件： 同じ組（ $m_1 = 1$ kg、静止した $m_2 = 3$ kg、 $v_{1,i} = 4$ m/s）が $\Theta_{cm} = 60\degree$ だけ散乱されます。実験室系での散乱角 $\theta_{1,f}$ を求めてください。

✅ 正解です！

\tan\theta_{1,f} = \frac{\sin 60\degree}{\cos 60\degree + 1/3} = 1.039

です。前向きの座標系の相対速度が、矢印を

60\degree

から

46.1\degree

まで前へ倒しました。

❌ それは質量が等しい場合の答えです。

\theta_{1,f} = \tfrac{1}{2}\Theta_{cm}

が成り立つのは

m_1 = m_2

のときだけです。そのとき

\frac{\sin\Theta}{\cos\Theta + 1} = \tan\frac{\Theta}{2}

となるからです。ここでは

m_1/m_2 = 1/3

です。

❌ それは標的が非常に重い極限です。

\theta_{1,f} \to \Theta_{cm}

となるのは、

v_{cm}

が無視できる

m_1/m_2 \to 0

のときだけです。

m_1/m_2 = 1/3

では、座標系の相対速度がまだ矢印を前へ倒します。

❌ それは教科書に印刷された式です。 その式は

\frac{m_2\sin\Theta_{cm}}{\cos\Theta_{cm} - m_1/m_2}

で、座標系の相対速度を引いていて、余分な

m_2

もあります。前向きの速度を足せば角度は小さくなるしかないので、

\theta_{1,f} < \Theta_{cm} = 60\degree

です。

❌ 惜しい！ 三角形をつくりましょう。入射方向の成分は

v'_{1,f}\cos\Theta_{cm} + v_{cm}

、垂直な成分は

v'_{1,f}\sin\Theta_{cm}

です。

解答を見る

$v'_{1,f} = 3$ m/s、 $v_{cm} = 1$ m/s なので、 $\vec v_{1,f} = \vec v\,'_{1,f} + \vec v_{cm}$ の成分は次のとおりです。

v_{1,f}\cos\theta_{1,f} = 3\cos 60\degree + 1 = 2.500, \qquad v_{1,f}\sin\theta_{1,f} = 3\sin 60\degree = 2.598

割り算をすると $v_{1,f}$ が消えます。

\tan\theta_{1,f} = \frac{2.598}{2.500} = 1.039 \quad\Rightarrow\quad \theta_{1,f} = 46.1\degree

一般の形は、重心系での二つの速さを代入して $m_2$ で割ると得られます。

\tan\theta_{1,f} = \frac{\sin\Theta_{cm}}{\cos\Theta_{cm} + m_1/m_2} = \frac{\sin 60\degree}{\cos 60\degree + \tfrac{1}{3}} = \frac{0.866}{0.833} = 1.039\ \checkmark

二つの方法の結果は一致し、前向きの速度を足したときに必要なとおり $\theta_{1,f} < \Theta_{cm}$ となっています。

問3 · 終わりの速さと失われるエネルギー

条件： 引き続き $m_1 = 1$ kg、静止した $m_2 = 3$ kg、 $v_{1,i} = 4$ m/s、 $\Theta_{cm} = 60\degree$ とします。実験室系での終わりの速さ $v_{1,f}$ と、粒子1の運動エネルギーの変化の割合を求めてください。

実験室系での終わりの速さはいくらですか？

$K_1$ はどれだけの割合で変化しますか？

✅ 正解です！

v_{1,f}^2/v_{1,i}^2 = 13/16

なので、粒子1は運動エネルギーの

13/16

を保ち、

3/16

を標的に渡します。

❌ 速さを確かめましょう。 三角形の直角をはさむ二辺は

2.500

と

2.598

です。斜辺はそのどちらか一方ではなく、

\sqrt{2.5^2 + 2.598^2}

です。

❌ エネルギーを確かめましょう。

K \propto v^2

なので、変化の割合は

\frac{v_{1,f}^2 - v_{1,i}^2}{v_{1,i}^2}

です。速さの2乗の比から1を引きます。静止した標的が相手なら、結果は負になるはずです。

解答を見る

ステップ1 — 終わりの速さ。 三角形の式について、自分自身との内積をとります。

v_{1,f}^2 = v'^{\,2}_{1,f} + 2v'_{1,f}v_{cm}\cos\Theta_{cm} + v_{cm}^2 = \frac{m_2^2 + 2m_1m_2\cos\Theta_{cm} + m_1^2}{(m_1+m_2)^2}\,v_{1,i}^2

v_{1,f} = \frac{\sqrt{9 + 2(1)(3)(\tfrac{1}{2}) + 1}}{4}(4) = \sqrt{13} \approx 3.61\ \text{m/s}

三角形とも一致します： $\sqrt{2.5^2 + 2.598^2} = \sqrt{6.25 + 6.75} = \sqrt{13}$ ✓

ステップ2 — エネルギー。 $K \propto v^2$ なので、

\frac{\Delta K_1}{K_{1,i}} = \frac{v_{1,f}^2 - v_{1,i}^2}{v_{1,i}^2} = \frac{13 - 16}{16} = -\frac{3}{16}

一般の式でも同じ結果になります。

\frac{2m_1m_2\left(\cos\Theta_{cm} - 1\right)}{(m_1+m_2)^2} = \frac{2(1)(3)\left(-\tfrac{1}{2}\right)}{16} = -\frac{3}{16}\ \checkmark

コサインは1を超えないので、この割合が正になることはありません。粒子1が失った分は、標的が得た分です。

問4 · 変換を逆向きにたどる

条件： 同じ組（ $v_{cm} = 1$ m/s）について、検出器が $\theta_{1,f} = 46.1\degree$ と $v_{1,f} = \sqrt{13}$ m/s を測定しました。この結果を生んだ重心系での散乱角 $\Theta_{cm}$ を求めてください。

✅ 正解です！

\tan\Theta_{cm} = \frac{2.598}{2.500 - 1} = \sqrt{3}

なので、往復の検算で最初にとった角度がちょうど戻ってきます。

❌ また印刷された符号です。

+v_{cm}

では分母が

3.5

、比が

0.742

、角度が

36.6\degree

となり、往復の検算が合いません。座標系の相対速度を取り除くとは、それを引くことです。

v_{1,f}\cos\theta_{1,f} - v_{cm}

となります。

❌ 二つの角度は等しくありません。

\theta_{1,f} = \Theta_{cm}

となるのは、標的が非常に重い極限

m_1/m_2 \to 0

のときだけです。ここでは

v_{cm}

は

v'_{1,f}

の3分の1です。

❌ 2倍にしてよいのは質量が等しいときだけです。

\Theta_{cm} = 2\theta_{1,f}

には

m_1 = m_2

が必要です。

m_1/m_2 = 1/3

では、座標系の相対速度をきちんと取り除かなければなりません。

❌ 惜しい！ 入射方向の式を

v_{1,f}\cos\theta_{1,f} - v_{cm} = v'_{1,f}\cos\Theta_{cm}

と変形し、垂直な方向の式をそれで割りましょう。

解答を見る

入射方向の式で $v_{cm}$ を左辺に移し、垂直な方向の式はそのままにします。

v_{1,f}\cos\theta_{1,f} - v_{cm} = v'_{1,f}\cos\Theta_{cm}, \qquad v_{1,f}\sin\theta_{1,f} = v'_{1,f}\sin\Theta_{cm}

今度は、割り算をすると $v'_{1,f}$ が消えます。

\tan\Theta_{cm} = \frac{v_{1,f}\sin\theta_{1,f}}{v_{1,f}\cos\theta_{1,f} - v_{cm}}

$v_{1,f}\sin\theta_{1,f} = 2.598$ 、 $\ v_{1,f}\cos\theta_{1,f} = 2.500$ 、 $v_{cm} = 1$ を代入すると、

\tan\Theta_{cm} = \frac{2.598}{1.500} = 1.732 = \sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad \Theta_{cm} = 60\degree\ \checkmark

$v_{1,f}$ 、 $v_{2,f}$ 、 $\theta_{1,f}$ 、 $\theta_{2,f}$ のどれか一つを決めると残りの三つが決まるので、この式に必要な組は測定1回分の情報にあたります。

正解数：0 / 4