古典力学 · 第2回 · 動画1 · インタラクティブ教材

大きさと向き：ベクトルが従う規則

I重要な公式

公式 名称 説明
C⃗=A⃗+B⃗\vec{C} = \vec{A} + \vec{B} ベクトルの和（ベクトルの加法） 三角形法（頭から尾への方法）または平行四辺形の法則
∣A⃗+B⃗∣≤∣A⃗∣+∣B⃗∣|\vec{A} + \vec{B}| \leq |\vec{A}| + |\vec{B}| 三角不等式 大きさは単純に足し算にはならない
∣cA⃗∣=∣c∣ ∣A⃗∣|c\vec{A}| = |c|\,|\vec{A}| スカラー倍 ベクトルを伸ばす、縮める、または反転させる
A^=A⃗∣A⃗∣\hat{A} = \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} 単位ベクトル 長さ1の、純粋な向き

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — ベクトルの和

三角形法でつないだとき、C⃗=A⃗+B⃗\vec{C} = \vec{A} + \vec{B} の長さは ∣A⃗∣+∣B⃗∣|\vec{A}| + |\vec{B}| と比べてどうなるでしょうか？

可視化2 — スカラー倍

A⃗\vec{A} にスカラー cc をかけると、ベクトルは伸びたり、縮んだり、反転したりしますが、自分の直線から外れるように回転することは決してありません。

可視化3 — 単位ベクトル

A⃗\vec{A} をそれ自身の長さで割ると、同じ向きで長さがちょうど1のベクトル A^=A⃗/∣A⃗∣\hat{A} = \vec{A}/|\vec{A}| が得られます。

III確認クイズ

問1

次の物理量のうち、スカラー（大きさだけをもち、向きをもたない量）はどれですか？

✅ 正解です！ 質量は大きさだけをもち、向きをもちません。つまりスカラーです。

❌ 惜しい！ その量には向きがあるので、ベクトルです。

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解答：

スカラーは、単位のついた数1つで完全に表せます。大きさだけをもつ量です。

  • 質量（たとえば 5 kg）には向きが要らないので、スカラーです。
  • 速度、力、変位は、どれも大きさと向きの両方をもつので、ベクトルです。

答えは質量です。

問2

箱に2つの力がはたらいています。力 A⃗\vec{A} の大きさは 6 N、力 B⃗\vec{B} の大きさは 8 N で、 2つは異なる（平行でない）向きを向いています。合成ベクトル C⃗=A⃗+B⃗\vec{C} = \vec{A} + \vec{B} の大きさについて、 何が言えますか？

✅ 正解です！ 2つのベクトルは平行でないので、大きさはそのまま足し合わされません。

❌ 惜しい！ 大きさの和が 14 N になるのは、2つのベクトルが同じ向きを向いているときだけです。向きが違えば、合成ベクトルはそれより短くなります。

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解答：

三角不等式より： ∣A⃗+B⃗∣≤∣A⃗∣+∣B⃗∣=6+8=14 N|\vec{A} + \vec{B}| \leq |\vec{A}| + |\vec{B}| = 6 + 8 = 14 \text{ N}

等号が成り立つのは、2つのベクトルがまったく同じ向きを向いているときだけです。ここでは 向きが異なるので、合成ベクトルは真に短くなります： ∣C⃗∣<14 N|\vec{C}| < 14 \text{ N}

ベクトルが平行で同じ向きでない限り、大きさは単純に足し算にはなりません。

答えは |C| < 14 N です。

問3

ベクトル A⃗\vec{A} の大きさは 5 です。ベクトル −2A⃗-2\vec{A} を計算します。結果を正しく表している のはどれですか？

✅ 正解です！ |−2||A| = 10 で、負の符号が向きを反転させます。

❌ 惜しい！ 大きさには |c| を使うので 10 です（負にはなりません）。また、負のスカラーは回転させずに向きを反転させます。

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解答：

大きさは、スカラーの絶対値の倍率で変わります： ∣−2A⃗∣=∣−2∣ ∣A⃗∣=2×5=10|-2\vec{A}| = |-2|\,|\vec{A}| = 2 \times 5 = 10

大きさはつねに 0 以上なので、−10-10 にはなりえません。

スカラーが負なので、向きは反転します（反対の向きになります）。 スカラーがベクトルを回転させることは決してなく、同じ直線上で伸ばすか、縮めるか、反転させるだけです。

答えは大きさ 10、A と反対の向きです。

問4

正しいか誤りか：A^=A⃗/∣A⃗∣\hat{A} = \vec{A}/|\vec{A}| で定義される A⃗\vec{A} の単位ベクトルは、つねに 大きさが 1 で、A⃗\vec{A} と同じ向きを指す。

✅ 正解です！ |A|（正のスカラー）で割ると、長さは 1 になり、向きは保たれます。

❌ 惜しい！ |Â| = |A|/|A| = 1 で、正のスカラーで割っても向きは変わりません。この命題は正しいです。

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解答：

A^\hat{A} の大きさを計算します： ∣A^∣=∣A⃗∣A⃗∣∣=∣A⃗∣∣A⃗∣=1|\hat{A}| = \left|\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}\right| = \frac{|\vec{A}|}{|\vec{A}|} = 1

∣A⃗∣|\vec{A}| で割ることは、正のスカラー 1/∣A⃗∣1/|\vec{A}| をかけることなので、向きは 変わりません。単位ベクトルは大きさを取り去って向きだけを残したもの、つまり長さ1の純粋な向きです。

この命題は正しいです。

正解数：0 / 4