古典力学 · 第2回 · 動画2 · インタラクティブ教材

単位ベクトルが場所によって向きを変えるわけ：直交座標と円柱座標

I重要な公式

公式 名称 説明
x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta 極座標 → 直交座標 半径と角から x,yx,y をつくる
r=x2+y2,θ=tan⁡−1(y/x)r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \tan^{-1}(y/x) 直交座標 → 極座標 半径と角を求め直す
r^=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^\hat{r} = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath} 動径方向の単位ベクトル zz 軸から外へ向かう
θ^=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^\hat{\theta} = -\sin\theta\,\hat{\imath} + \cos\theta\,\hat{\jmath} 接線方向（シータ方向）の単位ベクトル 反時計回りに、円の接線方向を向く

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 極座標から点へ

組 (r,θ)(r,\theta) は xyxy 平面のどこに来るでしょうか。また、それを直交座標と結ぶのはどんな直角三角形でしょうか？

可視化2 — 単位ベクトルは位置とともに回転する

r^\hat{r} と θ^\hat{\theta} は、ı^,ȷ^\hat{\imath},\hat{\jmath} と同じように、どの位置でも同じ向きを指すでしょうか？

💡 直交座標の単位ベクトル ı^,ȷ^,k^\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} は空間のどの点でも同じ向きを指します。位置とともに回るのは、極座標の単位ベクトルだけです。

可視化3 — ı^,ȷ^\hat{\imath},\hat{\jmath} から r^\hat{r} と θ^\hat{\theta} を組み立てる

回転する極座標の単位ベクトルは、固定された直交座標の単位ベクトルを cos⁡θ\cos\theta と sin⁡θ\sin\theta の成分で組み合わせたものにすぎません。

III確認クイズ

問1

ある点の極座標は r=2r = 2、θ=60°\theta = 60° です。この点の直交座標 (x,y)(x, y) はいくつですか？

（参考：cos⁡60°=12\cos 60° = \tfrac{1}{2}、sin⁡60°=32\sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}）

✅ 正解です！ x=2cos⁡60°=1x = 2\cos 60° = 1、y=2sin⁡60°=3y = 2\sin 60° = \sqrt{3} です。

❌ 惜しい！ サインとコサインが入れ替わっています。xx にはコサイン、yy にはサインを使います。

❌ 惜しい！ rr に角のコサインをかけると xx、サインをかけると yy になります。

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解答：

x=rcos⁡θx = r\cos\theta と y=rsin⁡θy = r\sin\theta を使います：

x=2cos⁡60°=2⋅12=1x = 2\cos 60° = 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1 y=2sin⁡60°=2⋅32=3y = 2\sin 60° = 2 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

したがって (x,y)=(1,3)(x, y) = (1, \sqrt{3}) です。

問2

正しいか誤りか：円柱座標では、点 P での動径方向の単位ベクトルは、 どこでも ı^P=ı^S\hat{\imath}_P = \hat{\imath}_S となる直交座標と同じように、 つねに点 S での動径方向の単位ベクトルに等しい。

✅ 正解です！ 極座標の単位ベクトルは位置とともに回転するので、一般に r^P≠r^S\hat{r}_P \ne \hat{r}_S です。

❌ 惜しい！ 可視化2をもう一度見てください。r^\hat{r} は角が違えば違う向きを指します。

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解答：

この命題は誤りです。直交座標と円柱座標の決定的な違いは、 極座標の単位ベクトルが位置によって変わることです。

  • r^\hat{r} は zz 軸から放射状に外を向きます。その向きは、角度の位置が違えば 違います。
  • θ^\hat{\theta} は反時計回りに、円の接線方向を向きます。これも位置が違えば 違う向きです。

したがって、一般に r^P≠r^S\hat{r}_P \ne \hat{r}_S、θ^P≠θ^S\hat{\theta}_P \ne \hat{\theta}_S です。 どこでも変わらないのは k^\hat{k} だけです（直交座標と同じです）。

問3

角度の位置が θ=90°\theta = 90° のとき、動径方向の単位ベクトル r^\hat{r} を 直交座標の成分で表すとどうなりますか？

（参考：r^=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^\hat{r} = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath} で、 cos⁡90°=0\cos 90° = 0、sin⁡90°=1\sin 90° = 1）

✅ 正解です！ θ=90°\theta=90° では r^=0 ı^+1 ȷ^=ȷ^\hat{r} = 0\,\hat{\imath} + 1\,\hat{\jmath} = \hat{\jmath} です。

❌ 惜しい！ それは θ=0°\theta = 0° のときです。90°90° では、コサインが 0、サインが 1 です。

❌ 惜しい！ r^=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^\hat{r} = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath} に cos⁡90°=0\cos 90° = 0 と sin⁡90°=1\sin 90° = 1 を代入してください。

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解答：

r^=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^\hat{r} = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath}

θ=90°\theta = 90° では：

r^=cos⁡90° ı^+sin⁡90° ȷ^=0⋅ı^+1⋅ȷ^=ȷ^\hat{r} = \cos 90°\,\hat{\imath} + \sin 90°\,\hat{\jmath} = 0\cdot\hat{\imath} + 1\cdot\hat{\jmath} = \hat{\jmath}

これは図形的にも納得できます。90°90° では点は yy 軸上の真上にあるので、 「放射状に外向き」とは +ȷ^+\hat{\jmath} の向きを指すことになります。

問4

どの角 θ\theta でも、r^\hat{r} と θ^\hat{\theta} が正規直交の組 （どちらも長さ1で、互いに直交する）になることが保証されるのはなぜですか？

条件：r^=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^\hat{r} = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath}、 θ^=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^\hat{\theta} = -\sin\theta\,\hat{\imath} + \cos\theta\,\hat{\jmath}

✅ 正解です！ 三角関数の基本公式 cos²θ + sin²θ = 1 から長さは 1 になり、内積はすべての θ で 0 です。

❌ 惜しい！ 正規直交性は、cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 と r^⋅θ^=0\hat{r}\cdot\hat{\theta} = 0 から来ます。

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解答：

長さが1であること： ∣r^∣2=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1,∣θ^∣2=(−sin⁡θ)2+cos⁡2θ=1|\hat{r}|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1, \qquad |\hat{\theta}|^2 = (-\sin\theta)^2 + \cos^2\theta = 1

直交すること（内積が0になる）： r^⋅θ^=(cos⁡θ)(−sin⁡θ)+(sin⁡θ)(cos⁡θ)=0\hat{r}\cdot\hat{\theta} = (\cos\theta)(-\sin\theta) + (\sin\theta)(\cos\theta) = 0

三角関数の基本公式はすべての θ\theta で成り立つので、2つのベクトルが位置とともに回転しても、 点がどこにあろうと、この組は正規直交のままです。

正解数：0 / 4