古典力学 · 第2回 · 動画4 · インタラクティブ教材

成分から座標へ：ベクトルの問題を四題解く

I重要な公式

公式 名称 説明
A⃗=Ax i^+Ay j^+Az k^\vec{A} = A_x\,\hat{i} + A_y\,\hat{j} + A_z\,\hat{k} 成分表示 ベクトルを成分で表す
∣A⃗∣=Ax2+Ay2+Az2\lvert\vec{A}\rvert = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} 大きさ 2乗して足し、ルートをとる
A⃗±B⃗=(Ax±Bx, Ay±By, Az±Bz)\vec{A}\pm\vec{B} = (A_x\pm B_x,\ A_y\pm B_y,\ A_z\pm B_z) 和 / 差 成分ごとに計算する
A^=A⃗∣A⃗∣\hat{A} = \dfrac{\vec{A}}{\lvert\vec{A}\rvert} 単位ベクトル 向きだけをもつ、長さ1のベクトル
(x,y)=(rcos⁡θ, rsin⁡θ)(x, y) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta) 極座標表示 角 θ\theta は +x+x 軸から測る

II可視化1 — 成分・大きさ・向き

直交する2つの成分が決まれば、ベクトルの長さも向きも決まります。

III可視化2 — 方位を標準的な角度に直す

方位を rcos⁡θr\cos\theta と rsin⁡θr\sin\theta に入れる前に、+x+x から測った標準的な角度に直さなければならないのはなぜでしょうか？

💡 方位の角度をそのまま cos⁡\cos や sin⁡\sin に入れると、別の象限に行ってしまいます。必ず先に、+x+x から測った θ\theta に直してください。

IV可視化3 — 線分上の点

点が P1P_1 から P2P_2 へ動くとき、その位置ベクトルは両端の位置ベクトルの加重平均になっています。

V確認クイズ

問1

ベクトル A⃗=2 i^−3 j^+7 k^\vec{A} = 2\,\hat{i} - 3\,\hat{j} + 7\,\hat{k} の 大きさ ∣A⃗∣\lvert\vec{A}\rvert はいくつですか？

✅ 正解です！ 4+9+49=62\sqrt{4+9+49} = \sqrt{62}.

❌ 惜しい！ 足す前に、各成分（負の成分も含めて）を2乗することを忘れないでください。

解答を見る

解答：

各成分を2乗して足し、ルートをとります。 ∣A⃗∣=22+(−3)2+72=4+9+49=62≈7.87\lvert\vec{A}\rvert = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 9 + 49} = \sqrt{62} \approx 7.87

負の成分も、2乗すれば正になります。大きさが負になることはありません。

問2

あるベクトルが、原点から 24 km、東から南へ 18° の位置を指しています （東が +x+x、北が +y+y）。rcos⁡θr\cos\theta と rsin⁡θr\sin\theta に入れる、 x 軸の正の向きから測った標準的な角度 θ\theta はいくつですか？

✅ 正解です！ 東から南へ、は +x 軸より下なので、θ = -18° です。

❌ 惜しい！ 「東から南へ」は x 軸の正の向きから下へ回る向きです。つまり、角度は負になります。

解答を見る

解答：

「東から南へ」は、x 軸の正の向き（東）から出発して、 下向き（南の側）に 18° 回るという意味です。x 軸の正の向きから測ると、 下向きの回転は負になります。 θ=−18°\theta = -18°

よくある間違いは、方位の数字 +18°+18° をそのまま入れてしまうことです。そうすると、 ベクトルは x 軸の下ではなく上を指してしまいます。

問3

沿岸警備隊の船が位置 r1⃗=−21.5 i^+27.6 j^\vec{r_1} = -21.5\,\hat{i} + 27.6\,\hat{j} km に、 ヨットが位置 r2⃗=22.8 i^−7.4 j^\vec{r_2} = 22.8\,\hat{i} - 7.4\,\hat{j} km にいます。 船が進むべき変位ベクトル r2⃗−r1⃗\vec{r_2} - \vec{r_1} はどれですか？

✅ 正解です！ 成分ごとに引くと 44.3 i - 35.0 j km になります。

❌ 惜しい！ 成分ごとに引きます。x 成分のマイナスの二重（22.8 − (−21.5)）に注意してください。

解答を見る

解答：

r2⃗−r1⃗\vec{r_2} - \vec{r_1} を成分ごとに計算します。

x:22.8−(−21.5)=44.3 kmx:\quad 22.8 - (-21.5) = 44.3 \text{ km} y:−7.4−27.6=−35.0 kmy:\quad -7.4 - 27.6 = -35.0 \text{ km}

したがって、r2⃗−r1⃗=44.3 i^−35.0 j^\vec{r_2} - \vec{r_1} = 44.3\,\hat{i} - 35.0\,\hat{j} km です。

大きさは 44.32+35.02≈56.5\sqrt{44.3^2 + 35.0^2} \approx 56.5 km、針路は tan⁡−1(−35.0/44.3)≈−38.3°\tan^{-1}(-35.0/44.3) \approx -38.3°、つまり東から南へ 38.3° です。

問4

P1P_1 から P2P_2 への線分上にある点の位置ベクトルは A⃗=(1−ad)r1⃗+ad r2⃗\vec{A} = \left(1 - \tfrac{a}{d}\right)\vec{r_1} + \tfrac{a}{d}\,\vec{r_2} です。ここで aa は P1P_1 からの距離、dd は線分の長さです。

正しいか誤りか：a=da = d のとき、この式は A⃗=r2⃗\vec{A} = \vec{r_2} を与える（点はちょうど P2P_2 にある）。

✅ 正解です！ a/d = 1 のとき第1項が消え、A = r₂ が残ります。

❌ 惜しい！ a/d = 1 を代入してください。r₁ の係数は 0、r₂ の係数は 1 になります。

解答を見る

解答：

a=da = d、つまり a/d=1a/d = 1 を代入します。 A⃗=(1−1) r1⃗+(1) r2⃗=r2⃗\vec{A} = (1 - 1)\,\vec{r_1} + (1)\,\vec{r_2} = \vec{r_2}

点はちょうど P2P_2 にあります。（同様に、a=0a = 0 なら A⃗=r1⃗\vec{A} = \vec{r_1} です。） これで、この式が両端の間をなめらかに移り変わる加重平均であることが確かめられます。 したがって、この主張は正しいです。

正解数：0 / 4