古典力学 · 第2回 · 動画6 · インタラクティブ教材

ベクトルを掛けると新しい次元へ：外積

I重要な公式

公式	名称	説明
$\lvert \mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert = \lvert\mathbf{A}\rvert\,\lvert\mathbf{B}\rvert\sin\theta$	大きさ	$\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が張る平行四辺形の面積に等しい（ $0 \le \theta \le \pi$ ）
右手の法則	向き	指を $\mathbf{A}$ から $\mathbf{B}$ へ曲げると、親指が $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ の向きを指します。向きは2つのベクトルがつくる平面に垂直です
$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = -\,\mathbf{B}\times\mathbf{A}$	反交換性	順番を入れ替えると符号が反転します
$(\mathbf{A}+\mathbf{B})\times\mathbf{C} = \mathbf{A}\times\mathbf{C} + \mathbf{B}\times\mathbf{C}$	分配法則	スカラーはくくり出せ、外積は和に対して分配されます

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 平行四辺形の面積

外積（クロス積）の大きさ $\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert$ は、2つのベクトルが張る平行四辺形の面積です。

|A| 3 |B| 4 θ 90°

💡 チャレンジ： $\lvert\mathbf{A}\rvert$ だけを2倍にして、面積も2倍になるか確かめましょう。

可視化2 — 向きと右手の法則

外積は平面に垂直な向きを指し、順番を逆にすると反対側へひっくり返ります。

計算する積 θ 60°

可視化3 — 角度と大きさ

大きさは $\sin\theta$ に従うので、 $90^\circ$ で最大になり、ベクトルが一直線に並ぶと消えます（ $\lvert\mathbf{A}\rvert = \lvert\mathbf{B}\rvert = 1$ ）。

θ 90°

💡 内積（破線）は $\cos\theta$ に従い、ちょうど外積が消えるところで最大になります。

III確認クイズ

問1

2つのベクトルが $\lvert\mathbf{A}\rvert = 3$ 、 $\lvert\mathbf{B}\rvert = 4$ を満たし、その間の角は $\theta = 90°$ です。

大きさ $\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert$ はいくつですか。

✅ 正解です！90° では sin θ = 1 なので、大きさは 3·4·1 = 12 です。

❌ 惜しい！|A×B| = |A||B|sin θ に sin 90° = 1 を当てはめましょう。

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解答：

大きさの公式を使います。 $\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert = \lvert\mathbf{A}\rvert\,\lvert\mathbf{B}\rvert\sin\theta = 3 \cdot 4 \cdot \sin 90° = 12 \cdot 1 = 12.$

$\theta = 90°$ では $\sin\theta = 1$ となり、この長さの組で可能な最大の大きさになります。これは2つのベクトルが張る長方形の面積に等しくなります。

問2

ベクトル $\mathbf{A}$ と、同じ向きを指す別のベクトルとの外積をとります（2つのベクトルは平行で、 $\theta = 0$ ）。

$\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert$ はいくつですか。

✅ 正解です！平行なベクトルでは sin 0 = 0 なので、外積は消えます。

❌ 惜しい！外積に使うのは cos θ ではなく sin θ です。θ = 0 なら sin 0 = 0 です。

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解答：

平行なベクトルでは $\theta = 0$ で、 $\sin 0 = 0$ なので、 $\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert = \lvert\mathbf{A}\rvert\,\lvert\mathbf{B}\rvert\sin 0 = 0.$

幾何学的には、平行四辺形がつぶれて面積ゼロの線になります。よくある間違いは $\cos\theta$ を使うことです（それは内積です）。外積が使うのは $\sin\theta$ で、ここではゼロです。特に、どんなベクトルも自分自身との外積は必ずゼロです。

問3

正しいか誤りか：任意の2つのベクトルについて $\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \mathbf{B}\times\mathbf{A}$ （外積は内積と同じく交換法則を満たす）。

✅ 正解です！外積は反交換的です：A×B = −B×A。

❌ 惜しい！順番を入れ替えると向きが反転するので、A×B = −B×A です。

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解答：

この主張は誤りです。外積は反交換的です。 $\mathbf{A}\times\mathbf{B} = -\,\mathbf{B}\times\mathbf{A}.$

順番を逆にすると、右手の法則の弧が反対向きになるので、親指はひっくり返って反対を向きます。大きさはそのままで、向きだけが逆になります。交換法則が成り立つ内積とは、はっきり違う点です。

問4

$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \mathbf{C}$ のとき、式 $(2\mathbf{A})\times\mathbf{B} + \mathbf{B}\times\mathbf{A}$ の値は何ですか。

ヒント：スカラーの規則と反交換性を使いましょう。

✅ 正解です！スカラーの規則と反交換性を組み合わせて、2C + (−C) = C です。

❌ 惜しい！(2A)×B = 2C、B×A = −C なので、和は 2C − C = C です。

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解答：

代数的な性質を項ごとに当てはめます。

スカラーの規則： $(2\mathbf{A})\times\mathbf{B} = 2(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = 2\mathbf{C}.$

反交換性： $\mathbf{B}\times\mathbf{A} = -(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = -\mathbf{C}.$

足し合わせます。 $2\mathbf{C} + (-\mathbf{C}) = \mathbf{C}.$

したがって、この式は $\mathbf{C}$ に等しくなります。

正解数：0 / 4