古典力学 · 第2回 · 動画7 · インタラクティブ教材

成分で計算する外積：î×ĵ=k̂から体積まで

I重要な公式

公式	名称	説明
$\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k},\ \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i},\ \hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}$	単位ベクトルの巡回的な積	右手系の巡回。順番を逆にすると符号が反転し、自分自身との積は $0$
$\mathbf{A}\times\mathbf{B}=(A_yB_z-A_zB_y)\hat{i}+(A_zB_x-A_xB_z)\hat{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\hat{k}$	成分の公式	どの成分も自分の軸を飛ばします
$\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert=\lvert\mathbf{A}\rvert\lvert\mathbf{B}\rvert\sin\theta$	大きさ	2つのベクトルが張る平行四辺形の面積
$V=\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})$	スカラー三重積	平行六面体の符号つき体積

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — ベクトルの間の角から面積へ

外積（クロス積）の大きさ $\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert=\lvert\mathbf{A}\rvert\lvert\mathbf{B}\rvert\sin\theta$ は、なぜ $90^\circ$ で最大になり、2つのベクトルが一直線に並ぶと消えるのでしょうか。

|A| 3.0 Bx 1.0 By 2.0

💡 平行なベクトルは面積を張りません。だから $\hat{i}\times\hat{i}=\mathbf{0}$ なのです。

可視化2 — 外積は両方に垂直

成分の公式が与えるベクトルは、 $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ の両方に直角で、2つが張る平面の法線になります。

Ax 2 Ay 3 Az 0 Bx -1 By 2 Bz 0 視点 35°

💡 $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ を大きさで割ると、単位法線ベクトル $\hat{n}=\pm\dfrac{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}{\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert}$ が得られます。面の向きを決める標準的な方法です。

可視化3 — 体積 = 底面積 × 高さ

斜めの辺 $\mathbf{A}$ を横にずらしても体積は変わりません。効くのは、底面の法線方向の高さだけです。

Ax 1.0 Ay 0.5 Az（高さ） 2.5 視点 40°

💡 $\mathbf{B}\times\mathbf{C}$ が底面積をつくり、 $\mathbf{A}$ との内積が高さを取り出します。

III確認クイズ

問1

$\mathbf{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k}$ 、 $\mathbf{B}=5\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ とします。

$\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ の $\hat{i}$ 成分 $A_yB_z-A_zB_y$ はいくつですか。

✅ 正解です！ $(-3)(2)-(7)(1)=-6-7=-13$ です。

❌ 惜しい！ $A_yB_z-A_zB_y$ を使い、 $A_y=-3$ の符号に気をつけましょう。

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解答：

$\hat{i}$ 成分は $A_yB_z-A_zB_y$ で、 $A_y=-3$ 、 $B_z=2$ 、 $A_z=7$ 、 $B_y=1$ です。

$A_yB_z - A_zB_y = (-3)(2) - (7)(1) = -6 - 7 = -13$

したがって、 $\hat{i}$ 成分は $-13$ です（全体の結果は $\mathbf{A}\times\mathbf{B}=-13\hat{i}+31\hat{j}+17\hat{k}$ ）。

問2

右手系の巡回 $\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}$ 、 $\hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}$ 、 $\hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}$ を使うと、 $\hat{j}\times\hat{i}$ は何になりますか。

✅ 正解です！順番を逆にすると符号が反転します： $\hat{j}\times\hat{i}=-\hat{k}$ 。

❌ 惜しい！外積は反交換的です。順番を逆にすると符号が反転します。

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解答：

外積は反交換的です： $\mathbf{B}\times\mathbf{A}=-(\mathbf{A}\times\mathbf{B})$ 。 $\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}$ なので、順番を逆にすると符号が反転します。

$\hat{j}\times\hat{i} = -(\hat{i}\times\hat{j}) = -\hat{k}$

ゼロにはなりません。2つの単位ベクトルは平行ではなく、垂直だからです。

問3

平行六面体の辺のベクトルが $\mathbf{A}=(1,0,4)$ 、 $\mathbf{B}=(2,0,0)$ 、 $\mathbf{C}=(0,3,0)$ です。その体積 $V=\lvert\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\rvert$ はいくつですか。

✅ 正解です！底面積 $6$ × 高さ $4$ で、体積は $24$ です。

❌ 惜しい！ $\mathbf{B}\times\mathbf{C}=(0,0,6)$ を計算してから、 $\mathbf{A}$ との内積をとりましょう。

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解答：

まず、 $\mathbf{B}=(2,0,0)$ 、 $\mathbf{C}=(0,3,0)$ から底面の $\mathbf{B}\times\mathbf{C}$ を計算します。

$\mathbf{B}\times\mathbf{C} = (0\cdot0-0\cdot3,\ 0\cdot0-2\cdot0,\ 2\cdot3-0\cdot0) = (0,0,6)$

次に、 $\mathbf{A}=(1,0,4)$ との内積をとります。

$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = (1)(0)+(0)(0)+(4)(6) = 24$

体積は $\lvert 24\rvert = 24$ です（底面積 $=6$ 、高さ $=4$ ）。

問4

正しいか誤りか：平行でない2つのベクトル $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ を含む平面に垂直な単位ベクトルを求めるには、 $\pm\dfrac{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}{\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert}$ を計算すればよい。 $\pm$ は、反対向きの2つの向きがどちらも垂直であることを表している。

✅ 正解です！外積を大きさで割ると単位法線ベクトルが得られ、反対向きの2通りの選び方があります。

❌ 惜しい！外積は両方のベクトルに垂直で、大きさで割れば単位法線ベクトルになります。

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解答：

正しい。外積 $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ は $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ の両方に垂直なので、 2つが張る平面の法線です。大きさで割れば単位ベクトルになります。

$\hat{n} = \pm\frac{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}{\lvert\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rvert}$

$\pm$ がつくのは、平面には反対向きの単位法線ベクトルが2つあり、どちらも正しい垂直な向きだからです（ $\mathbf{A}\times\mathbf{B}\neq\mathbf{0}$ となるように、 $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が平行でないことが必要です）。

正解数：0 / 4