古典力学 · 第20回 · 動画1 · インタラクティブ教材

剛体の固定軸のまわりの回転――角速度はただ一つ

I重要な公式

公式名称意味
∣r⃗P−r⃗Q∣=constant|\vec{r}_P - \vec{r}_Q| = \text{constant}剛体どの二点間の距離も時間とともに変わらない
ri=∣r⃗i∣r_i = |\vec{r}_i|回転軸からの垂直距離要素 ii が描く円の半径
ω⃗=dθdt k^=ωz k^\vec{\omega} = \dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{\mathbf{k}} = \omega_z\,\hat{\mathbf{k}}角速度物体全体でただ一つのベクトルで、軸に沿う
α⃗=d2θdt2 k^=αz k^\vec{\alpha} = \dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\,\hat{\mathbf{k}} = \alpha_z\,\hat{\mathbf{k}}角加速度αz\alpha_z は同じ θ\theta の二階微分

ポイント： 剛体ではどの二点間の距離も変わらないので、ある要素がほかの要素より角度を稼ぐことはできません。ただ一つの ωz\omega_z とただ一つの αz\alpha_z が物体全体を記述し、質量要素どうしを区別するのは半径 rir_i だけです。

II要素はそれぞれ自分の円を描く

要素が描く円の半径は、中心からの距離ではなく、回転軸からの垂直距離です。

III剛体なら角速度はただ一つ

2つの要素が異なる角速度で回れば、そのあいだの距離が変わってしまいます。剛体ではそれは許されません。

💡 同じ議論で、物体の α⃗\vec{\alpha} もただ一つに決まります。角加速度が異なれば、次の瞬間には角速度が異なってしまうからです。

IVコンパクトディスクの回転が速くなる

モーターが生む αz\alpha_z は ωz(t)\omega_z(t) の傾きで、ディスクが回るにつれて角度 θ\theta が積み重なります。

V確認クイズ

問1 · 要素が描く円の半径

条件： 剛体が固定された zz 軸のまわりに回転しています。ある質量要素は (x,y,z)=(3.0, 4.0, 6.0) m(x, y, z) = (3.0,\ 4.0,\ 6.0)\ \mathrm{m} にあります。この要素が描く円の半径 rir_i を求めてください。

✅ 正解です！ ri=x2+y2=9+16=5.0 mr_i = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.0\ \mathrm{m} で、これが回転軸からの垂直距離です。
❌ 惜しい！ zz は軸から離れる向きではなく、軸に沿った変位を表します。要素を軸に沿って上下にずらしても、円の大きさはまったく変わりません。
❌ 惜しい！それは別の長さです。 32+42+62=7.8 m\sqrt{3^2 + 4^2 + 6^2} = 7.8\ \mathrm{m} は原点からの距離です。rir_i は軸に垂直に測ります。
❌ 惜しい！ 入るのは軸に垂直な2つの座標だけです：ri=x2+y2r_i = \sqrt{x^2 + y^2}。
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要素は zz 軸のまわりの円の上を動くので、その半径は軸からの垂直距離です。

ri=∣r⃗i∣=x2+y2=(3.0)2+(4.0)2=25=5.0 mr_i = |\vec{r}_i| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(3.0)^2 + (4.0)^2} = \sqrt{25} = 5.0\ \mathrm{m}

zz 座標が入っていないのは意図どおりです。xx と yy が同じ物体の点は、高さがいくらであっても、同じ半径 5.0 m5.0\ \mathrm{m} の円を描きます。

比べると、原点からの距離は 9+16+36=61=7.8 m\sqrt{9 + 16 + 36} = \sqrt{61} = 7.8\ \mathrm{m} です。これは固定軸のまわりの回転では何の役割も果たさない長さです。

問2 · 一つの物体に一つの角速度

条件： 剛体が固定軸のまわりに回っています。ri=0.10 mr_i = 0.10\ \mathrm{m} にある要素 ii は、この瞬間 ωz=12 rad/s\omega_z = 12\ \mathrm{rad/s} です。要素 jj は rj=0.30 mr_j = 0.30\ \mathrm{m} にあります。同じ瞬間の要素 jj の ωz\omega_z を求めてください。

✅ 正解です！ 剛体では、物体全体が定数のずれを除いてただ一つの角度 θ(t)\theta(t) をもつので、ωz=dθ/dt\omega_z = d\theta/dt は共通です。どの要素でも 12 rad/s12\ \mathrm{rad/s} です。
❌ 惜しい！ ωz\omega_z が半径に比例して変わるなら、一方の要素がもう一方より角度を稼ぎ、そのあいだの距離が変わってしまいます。それこそ剛体では許されないことです。（rr とともに大きくなるのは、円に沿った要素の速さです。これは次の動画のテーマです。）
❌ 惜しい！ 2つの要素のあいだの角度の差を比べましょう。剛体では、それは一定でなければなりません。
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2つの角速度が異なると仮定します。どの瞬間にも速いほうの要素が遅いほうより角度を稼ぐので、二つのあいだの角度の差が変わり、それとともに二つを結ぶ直線距離も変わります。

これは剛体の定義、つまりどの二点のあいだの距離も時間とともに変わらないということに反します。したがって

ωz,j=ωz,i=12 rad/s\omega_{z,j} = \omega_{z,i} = 12\ \mathrm{rad/s}

であり、同じ議論で物体全体の αz\alpha_z もただ一つに決まります。半径 rir_i と rjr_j は入ってきません。半径が区別するのは要素の円であって、角速度ではありません。

問3 · 角度から2つの導関数へ

条件： ディスクが静止状態から回りはじめ、モーターが駆動しているあいだ、その角度は θ(t)=2.0 t2\theta(t) = 2.0\,t^{2}（単位は rad\mathrm{rad}、tt の単位は s\mathrm{s}）にしたがいます。t=3.0 st = 3.0\ \mathrm{s} での ωz\omega_z と、この段階での αz\alpha_z を求めてください。

t=3.0 st = 3.0\ \mathrm{s} での ωz\omega_z はいくらですか？

この段階での αz\alpha_z はいくらですか？

✅ 正解です！ ωz=dθ/dt=4.0 t\omega_z = d\theta/dt = 4.0\,t から t=3.0 st = 3.0\ \mathrm{s} では 12 rad/s12\ \mathrm{rad/s}、そして αz=d2θ/dt2=4.0 rad/s2\alpha_z = d^2\theta/dt^2 = 4.0\ \mathrm{rad/s^2} で、モーターが駆動しているあいだは一定です。
❌ 微分を確かめましょう。 θ(3.0)=18 rad\theta(3.0) = 18\ \mathrm{rad} は回った角度で、変化の割合ではありません。先に微分してから t=3.0 st = 3.0\ \mathrm{s} を代入します。
❌ 二階微分を確かめましょう。 ωz=4.0 t\omega_z = 4.0\,t をもう一度微分します。結果は定数で、最初の係数 2.02.0 ではありません。
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ステップ1 — 角速度は同じ θ\theta の一階微分：

ωz=dθdt=ddt(2.0 t2)=4.0 t⟹ωz(3.0)=4.0(3.0)=12 rad/s\omega_z = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2.0\,t^{2}\right) = 4.0\,t \quad\Longrightarrow\quad \omega_z(3.0) = 4.0(3.0) = 12\ \mathrm{rad/s}

ステップ2 — 角加速度は二階微分：

αz=d2θdt2=ddt(4.0 t)=4.0 rad/s2\alpha_z = \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} = \frac{d}{dt}\left(4.0\,t\right) = 4.0\ \mathrm{rad/s^2}

したがってその瞬間、ω⃗=12 k^ rad/s\vec{\omega} = 12\,\hat{\mathbf{k}}\ \mathrm{rad/s}、α⃗=4.0 k^ rad/s2\vec{\alpha} = 4.0\,\hat{\mathbf{k}}\ \mathrm{rad/s^2} で、どちらもディスクのすべての要素を一度に記述します。

検算： θ(3.0)=2.0(9.0)=18 rad\theta(3.0) = 2.0(9.0) = 18\ \mathrm{rad} は角度（約 2.92.9 回転）であって、変化の割合ではありません。

問4 · 軸に沿った2つのベクトル

条件： はずみ車が固定された zz 軸のまわりに θ(t)=8.0 t−0.50 t2\theta(t) = 8.0\,t - 0.50\,t^{2}（単位は rad\mathrm{rad}）で回っています。θ\theta は k^\hat{\mathbf{k}} のまわりに右手の向きに測ります。t=2.0 st = 2.0\ \mathrm{s} での2つのベクトルを求めてください。

t=2.0 st = 2.0\ \mathrm{s} での ω⃗\vec{\omega} はどれですか？

t=2.0 st = 2.0\ \mathrm{s} での α⃗\vec{\alpha} はどれですか？

✅ 正解です！ ωz=8.0−t\omega_z = 8.0 - t は t=2.0 st = 2.0\ \mathrm{s} で +6.0 rad/s+6.0\ \mathrm{rad/s} なので、ω⃗\vec{\omega} は +k^+\hat{\mathbf{k}} の向きです。一方、αz=−1.0 rad/s2\alpha_z = -1.0\ \mathrm{rad/s^2} はどの瞬間でも同じなので、α⃗\vec{\alpha} は −k^-\hat{\mathbf{k}} の向き、つまり ω⃗\vec{\omega} と反対向きです。
❌ 一階微分を確かめましょう。 θ(2.0)=14 rad\theta(2.0) = 14\ \mathrm{rad} は角度で、8.0 rad/s8.0\ \mathrm{rad/s} は t=0t = 0 での値です。必要なのは t=2.0 st = 2.0\ \mathrm{s} での ωz=dθ/dt\omega_z = d\theta/dt です。
❌ 二階微分を確かめましょう。 −0.50 t2-0.50\,t^{2} を2回微分すると因子 22 が出てきます。結果の符号で、α⃗\vec{\alpha} が軸に沿ってどちらを向くかが決まります。
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ステップ1 — 1回微分する：

ωz=dθdt=8.0−1.0 t⟹ωz(2.0)=8.0−2.0=+6.0 rad/s\omega_z = \frac{d\theta}{dt} = 8.0 - 1.0\,t \quad\Longrightarrow\quad \omega_z(2.0) = 8.0 - 2.0 = +6.0\ \mathrm{rad/s}

ステップ2 — もう一度微分する：

αz=d2θdt2=−1.0 rad/s2(どの t でも同じ)\alpha_z = \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} = -1.0\ \mathrm{rad/s^2} \quad (\text{どの } t \text{ でも同じ})

ステップ3 — 向きをつける。 どちらのベクトルも軸に沿っていて、zz 成分の符号が向きを決めます。

ω⃗=ωz k^=6.0 k^ rad/s,α⃗=αz k^=−1.0 k^ rad/s2\vec{\omega} = \omega_z\,\hat{\mathbf{k}} = 6.0\,\hat{\mathbf{k}}\ \mathrm{rad/s}, \qquad \vec{\alpha} = \alpha_z\,\hat{\mathbf{k}} = -1.0\,\hat{\mathbf{k}}\ \mathrm{rad/s^2}

θ\theta を右手の向きに測るので、ωz>0\omega_z > 0 なら ω⃗\vec{\omega} は k^\hat{\mathbf{k}} の向きです。右手の指を θ\theta が増える向きに曲げると、親指がその向きを指します。ここでは αz<0\alpha_z < 0 なので、α⃗\vec{\alpha} は −k^-\hat{\mathbf{k}} の向き、つまり ω⃗\vec{\omega} と反対向きです。

正解数：0 / 4