古典力学 · 第20回 · 動画3 · インタラクティブ教材

質量かける距離の二乗：回転の運動エネルギーと一様な棒の慣性モーメント

I重要な公式

公式	名称	意味
$K_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{2}\,I_{\mathrm{cm}}\,\omega_{\mathrm{cm}}^{2}$	回転の運動エネルギー	$m$ の位置に $I_{\mathrm{cm}}$ 、 $v$ の位置に $\omega_{\mathrm{cm}}$ が入る
$I_{\mathrm{cm}} = \displaystyle\int_{\mathrm{body}} r_{dm}^{2}\, dm$	慣性モーメント	各質量要素に距離の2乗の重みをつける。単位は $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}$
$dm = \lambda\, dx, \quad \lambda = \dfrac{m}{L}$	一様な棒の一切れ	単位長さあたりの質量が一定なので $dm$ を $dx$ で表せる。位置 $x$ の一切れでは $r_{dm}^{2} = x^{2}$
$I_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{12}\, m L^{2}$	一様な棒、中心を通る軸	積分を計算した結果

ポイント： 中心のまわりに回る棒では $\tfrac{1}{2}m v_{\mathrm{cm}}^{2} = 0$ ですが、それでも運動エネルギーをもっています。各要素の質量は1乗で、軸からの距離は2乗で入るので、軸から遠い質量は近い質量よりはるかに大きく効き、軸の上の質量はまったく寄与しません。だからこそ $I$ は物体だけで決まるのではなく、物体と軸で決まるのです。

II1本の棒に、たくさんの速さ

質量中心は動きませんが、ほかの一切れはすべて動きます。その速さは軸からの距離で決まります。

回転角 25° ω (rad/s) 2.0 一切れの位置 x (m) 0.6

III一切れの和から積分へ

各一切れは $\Delta m\, x^{2}$ だけ寄与します。切り方を細かくすると、和は $\int x^{2}\, dm$ に落ち着きます。

分割数 N 4

同じ極限が、どんな物体のどんな軸のまわりの $I$ も定義します。同じ棒で軸を一方の端に移すと、積分は $0$ から $L$ までとなり、違う値が得られます。

IV棒の積分を計算する

$x$ に沿った1つの積分で、 $\lambda$ 、 $dx$ 、 $x^{2}$ から $\tfrac{1}{12}mL^{2}$ が得られます。

ステップ 1

ステップ1 — 一切れ

\lambda = \frac{m}{L}, \qquad dm = \lambda\, dx

r_{dm} = |x| \;\Longrightarrow\; r_{dm}^{2} = x^{2}

ステップ2 — 棒全体で積分する

I_{\mathrm{cm}} = \int_{\mathrm{body}} r_{dm}^{2}\, dm = \int_{-L/2}^{L/2} x^{2}\, \lambda\, dx

= \lambda \int_{-L/2}^{L/2} x^{2}\, dx

ステップ3 — 原始関数

= \lambda\, \frac{x^{3}}{3}\, \Big|_{-L/2}^{\,L/2}

ステップ4 — 上端と下端

= \frac{m}{L}\frac{(L/2)^{3}}{3} - \frac{m}{L}\frac{(-L/2)^{3}}{3}

= \frac{mL^{2}}{24} + \frac{mL^{2}}{24} = \tfrac{1}{12}\, m L^{2}

ステップ5 — エネルギーに戻る

K_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{2}\, I_{\mathrm{cm}}\, \omega_{\mathrm{cm}}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{12}\, m L^{2} \omega_{\mathrm{cm}}^{2} = \tfrac{1}{24}\, m L^{2} \omega_{\mathrm{cm}}^{2}

V確認クイズ

問1 · 回る棒のエネルギー

条件： 質量 $m = 4.0\ \mathrm{kg}$ 、長さ $L = 3.0\ \mathrm{m}$ の一様な棒が、中心を通り棒に垂直な軸のまわりに $\omega_{\mathrm{cm}} = 2.0\ \mathrm{rad/s}$ で回っています。その運動エネルギー $K_{\mathrm{cm}}$ を求めてください。

✅ 正解です！

I_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{12}(4.0)(3.0)^{2} = 3.0\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}

なので、

K_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{2}(3.0)(2.0)^{2} = 6.0\ \mathrm{J}

です。

❌ 角速度は2乗されます。

\tfrac{1}{2}(3.0)(2.0) = 3.0

は

\omega^{2}

ではなく

\omega

を使っています。正しくは

\tfrac{1}{2}(3.0)(2.0)^{2} = 6.0\ \mathrm{J}

です。

❌ それでは、すべての質量に端の速さを与えています。

\tfrac{1}{2}m(\omega L/2)^{2} = \tfrac{1}{2}(4.0)(3.0)^{2} = 18\ \mathrm{J}

は、すべての質量が

x = \pm L/2

にあると仮定しています。積分で平均すると

x^{2}

は

L^{2}/4

ではなく

L^{2}/12

になります。

❌ 軸が違います。

\tfrac{1}{3}mL^{2} = 12\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}

は一方の端を通る軸の値です。中心を通る軸では、積分は

\tfrac{1}{12}mL^{2} = 3.0\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}

を与えます。

解答を見る

ステップ1 — 慣性モーメント。 軸は質量中心を通り棒に垂直なので

I_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{12}mL^{2} = \tfrac{1}{12}(4.0\ \mathrm{kg})(3.0\ \mathrm{m})^{2} = 3.0\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}

ステップ2 — エネルギー。 すべての要素がただ一つの角速度を共有するので

K_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{2}I_{\mathrm{cm}}\omega_{\mathrm{cm}}^{2} = \tfrac{1}{2}(3.0\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2})(2.0\ \mathrm{rad/s})^{2} = 6.0\ \mathrm{J}

質量中心は動かないので、並進の式では $\tfrac{1}{2}mv_{\mathrm{cm}}^{2} = 0$ になってしまいます。 $6.0\ \mathrm{J}$ はすべて回転のエネルギーです。

問2 · 下端

条件： 棒の積分 $I_{\mathrm{cm}} = \lambda\displaystyle\int_{-L/2}^{L/2} x^{2}\, dx = \lambda\,\frac{x^{3}}{3}\Big|_{-L/2}^{\,L/2}$ について、ある学生は $(-L/2)^{3} = -(L/2)^{3}$ だから左右の半分が打ち消し合うと主張しています。下端が実際に $I_{\mathrm{cm}}$ に寄与する量を求めてください。

✅ 正解です！ 下端での原始関数の値は

-\dfrac{mL^{2}}{24}

で、評価のときにはそれを引きます：

\dfrac{mL^{2}}{24} - \left(-\dfrac{mL^{2}}{24}\right) = \dfrac{mL^{2}}{12}

。

❌ それは原始関数の値で、寄与ではありません。

\lambda\dfrac{(-L/2)^{3}}{3} = -\dfrac{mL^{2}}{24}

は下端で評価した値です。微積分学の基本定理ではそれを引くので、

I_{\mathrm{cm}}

にはプラスの符号で入ります。

❌ ここでは何も打ち消し合いません。 どちらの半分も、実際の距離にある実際の質量でできていて、どこでも

r_{dm}^{2} = x^{2} \ge 0

です。軸から離れたところに質量がある物体の慣性モーメントが、ゼロになることはありません。

❌ それは上端と下端を合わせた合計です。 左右の半分がそれぞれ

\dfrac{mL^{2}}{24}

ずつ寄与し、その和が

\dfrac{mL^{2}}{12}

です。

解答を見る

上端と下端で評価する。 $\lambda = m/L$ を使うと

\lambda\,\frac{(L/2)^{3}}{3} = \frac{m}{L}\cdot\frac{L^{3}}{24} = \frac{mL^{2}}{24}, \qquad \lambda\,\frac{(-L/2)^{3}}{3} = -\frac{mL^{2}}{24}

足すのではなく、引く。

I_{\mathrm{cm}} = \frac{mL^{2}}{24} - \left(-\frac{mL^{2}}{24}\right) = \frac{mL^{2}}{24} + \frac{mL^{2}}{24} = \tfrac{1}{12}mL^{2}

評価のマイナス符号と3乗のマイナス符号が合わさって、2つめの正の項が生まれます。これはまさに対称性から当然の結果です。一様な棒の左右の半分は軸について鏡像の関係にあるので、同じだけ寄与するはずです。

学生が予想した打ち消し合いが起こるのは、一次のモーメント $\displaystyle\int x\, dm$ のほうです。これは質量中心のまわりでは本当にゼロになります。距離を2乗すると、その打ち消し合いはなくなります。

問3 · エネルギーから逆算する

条件： 質量 $m = 3.0\ \mathrm{kg}$ 、長さ $L = 1.2\ \mathrm{m}$ の一様な棒が、中心を通り棒に垂直な軸のまわりに、運動エネルギー $K_{\mathrm{cm}} = 4.5\ \mathrm{J}$ で回っています。角速度と、一方の端の速さを求めてください。

角速度はいくらですか？

一方の端はどれだけの速さで動きますか？

✅ 正解です！

I_{\mathrm{cm}} = 0.36\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}

から

\omega_{\mathrm{cm}} = \sqrt{2K/I} = 5.0\ \mathrm{rad/s}

です。端は

r = L/2 = 0.60\ \mathrm{m}

にあるので、

v = \omega r = 3.0\ \mathrm{m/s}

です。

❌ 質量を $I$ の代わりには使えません。

\sqrt{2K/m} = \sqrt{3.0} = 1.7

の単位は

\mathrm{rad/s}

ではなく

\mathrm{m/s}

です。回転の式には

I_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{12}mL^{2}

が必要です。

❌ 端を通る軸の値を使っています。

\tfrac{1}{3}mL^{2} = 1.44\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}

からは

2.5\ \mathrm{rad/s}

が得られます。ここでの軸は中心を通るので、

I_{\mathrm{cm}} = 0.36\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}

です。

❌ それは $\omega^{2}$ です。

2K/I = 25\ \mathrm{rad^{2}/s^{2}}

の平方根をとる必要があります。

❌ 式の変形を確かめましょう。

K = \tfrac{1}{2}I\omega^{2}

を変形すると

\omega = \sqrt{2K/I}

で、

I = \tfrac{1}{12}mL^{2}

です。

❌ 半径は棒の長さの半分です。 端は軸から

L = 1.2\ \mathrm{m}

ではなく

L/2 = 0.60\ \mathrm{m}

のところにあるので、

v = \omega L/2 = 3.0\ \mathrm{m/s}

です。

❌ それは速さではなく半径です。

0.60\ \mathrm{m}

は

L/2

です。速さを得るには

\omega_{\mathrm{cm}}

をかけます。

❌ 静止しているのは中心だけです。

v_{\mathrm{cm}} = 0

が成り立つのは

x = 0

です。一切れの速さは

|x|\omega

で、両端で最大になります。

❌ 半径を確かめましょう。 位置

x

の一切れは

|x|\omega_{\mathrm{cm}}

の速さで動き、端では

|x| = L/2

です。

解答を見る

ステップ1 — 慣性モーメント。

I_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{12}mL^{2} = \tfrac{1}{12}(3.0)(1.2)^{2} = 0.36\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}

ステップ2 — エネルギーの式を逆に解く。

\omega_{\mathrm{cm}} = \sqrt{\frac{2K_{\mathrm{cm}}}{I_{\mathrm{cm}}}} = \sqrt{\frac{2(4.5)}{0.36}} = \sqrt{25} = 5.0\ \mathrm{rad/s}

ステップ3 — 端の速さ。 端は $|x| = L/2 = 0.60\ \mathrm{m}$ にある質量要素で、どの要素も速さ $v = |x|\omega_{\mathrm{cm}}$ で円を描きます。

v = (0.60\ \mathrm{m})(5.0\ \mathrm{rad/s}) = 3.0\ \mathrm{m/s}

検算。 もし棒全体が $3.0\ \mathrm{m/s}$ で動いていたら、エネルギーは $\tfrac{1}{2}(3.0)(3.0)^{2} = 13.5\ \mathrm{J}$ となり、本当の値 $4.5\ \mathrm{J}$ の3倍になります。棒全体での $x^{2}$ の平均は $L^{2}/12$ で、端での値 $L^{2}/4$ の3分の1だからです。

問4 · 同じ質量、同じ長さ、違う物体

条件： 質量 $m$ 、長さ $L$ の一様な棒と、質量 $m/2$ の2つの質点を長さ $L$ の質量のない棒でつないだダンベルが、どちらも中心を通り垂直な軸のまわりに回っています。比 $I_{\text{ダンベル}} / I_{\text{棒}}$ を求めてください。

✅ 正解です！

I_{\text{ダンベル}} = 2\left(\tfrac{m}{2}\right)\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{4}mL^{2}

で、

\tfrac{1}{4}mL^{2} \big/ \tfrac{1}{12}mL^{2} = 3

です。

❌ 質量が等しくても $I$ が等しいとは限りません。 質量は物体に1つだけ決まる数ですが、

I = \int r^{2} dm

はその質量がどこにあるかにもよります。ダンベルの質量はすべて

L/2

にありますが、棒の質量の大部分はもっと軸の近くにあります。

❌ 比が逆さまです。 質量を外側に移すと

I

は大きくなるだけです。すべての質量が最大の距離にあるダンベルのほうが、慣性モーメントは大きいはずです。

❌ 質量を確かめましょう。 両端の質量はそれぞれ

m

ではなく

m/2

です：

\tfrac{1}{2}mL^{2}

ではなく

2\left(\tfrac{m}{2}\right)\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{4}mL^{2}

。

解答を見る

ダンベル。 質量はすべて $|x| = L/2$ にあるので、積分は2項の和になります。

I_{\text{ダンベル}} = \sum_i \Delta m_i r_i^{2} = \frac{m}{2}\left(\frac{L}{2}\right)^{2} + \frac{m}{2}\left(\frac{L}{2}\right)^{2} = \frac{mL^{2}}{4}

棒。質量は $x$ に沿って一様に広がっていて、積分から

I_{\text{棒}} = \tfrac{1}{12}mL^{2}

比。

\frac{I_{\text{ダンベル}}}{I_{\text{棒}}} = \frac{mL^{2}/4}{mL^{2}/12} = 3

したがって同じ $\omega$ で回すと、同じ質量が同じ角速度で回っているのに、ダンベルは棒の3倍の運動エネルギーをたくわえます。効いているのは距離の2乗だけです。棒の質量の $x^{2}$ の平均は $L^{2}/12$ 、ダンベルではどこでも $L^{2}/4$ です。

正解数：0 / 4