古典力学 · 第20回 · 動画5 · インタラクティブ教材

二つの物体と回転する円板：固定軸のまわりの回転とエネルギー保存

I重要な公式

公式	名称	何がわかるか
$U_f + \tfrac{1}{2} I_S\,\omega_f^2 = U_i + \tfrac{1}{2} I_S\,\omega_i^2$	固定軸のまわりの回転のエネルギー保存	内力が保存力だけの閉じた系でのエネルギーの収支。並進する物体があれば、それぞれの $\tfrac{1}{2}mv^2$ を加える
$v = R\omega \;\Rightarrow\; \tfrac{1}{2} I_P\,\omega^2 = \tfrac{1}{2}\dfrac{I_P}{R^2}v^2 = \tfrac{1}{4} m_P v^2$	すべらない条件	円板の運動エネルギーを糸の速さで表す。糸と一緒に動く質量が $\tfrac{1}{2}m_P$ だけ増えたのと同じ
$d = x_2 - x_{2,0} = y_{1,0} - y_1$	糸の拘束条件	両方の物体に共通の一つの距離。物体2が $d$ だけ滑り下り、物体1が $d$ だけ上がる
$v = \sqrt{\dfrac{2gd\,(-m_1 + m_2\sin\theta)}{m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}m_P}}$	$d$ だけ滑った後の速さ	分子：単位距離あたりのポテンシャルエネルギーの減少分。分母：糸が動かすものすべて

ポイント： 円板は $I_P/R^2 = \tfrac{1}{2}m_P$ を通してしかエネルギーの収支に入らないので、その半径は打ち消されます。大きな円板ほど慣性モーメントは大きくなりますが、それに比例して回転がゆっくりになり、 $\omega^2$ が $R^2$ をちょうど打ち消すのです。

II可視化1 — 減少したポテンシャルエネルギーの行き先

静止状態から放すと物体2が滑り下り、減少したポテンシャルエネルギーは3つに分かれます。

物体2を滑らせる 0.00 m

💡 糸の張力はエネルギーの収支に現れません。張力は物体2に負の仕事をし、物体1と円板にちょうど同じ大きさの正の仕事をするので、系にエネルギーを運び込むのは重力だけです。

III可視化2 — 質量の半分として加わる円板

円板は $I_P/R^2 = \tfrac{1}{2}m_P$ としてしか入りません。糸が余分に運ぶ質量です。

滑車の質量 mP 4.0 kg 滑車の半径 R 0.25 m

IV可視化3 — どちら向きに動くか

$-m_1 + m_2\sin\theta$ の符号が運動を決めます。ゼロなら物体はまったく動きません。

ぶら下がった物体の質量 m1 2.0 kg

💡 チャレンジ： $m_1 = 2.0\ \mathrm{kg}$ のとき、系が静止したままになる角度を求めましょう。つり合いの条件 $m_2\sin\theta = m_1$ には $m_P$ が含まれません。円板が決めるのは系が動く速さであって、向きではありません。

V確認クイズ

問1 · 動画の結果を数値で

条件： $m_1 = 2.00\ \mathrm{kg}$ の物体が糸にぶら下がり、 $m_2 = 6.00\ \mathrm{kg}$ の物体が $\theta = 30\degree$ の摩擦のない斜面に置かれています。滑車は質量 $m_P = 4.00\ \mathrm{kg}$ 、半径 $R = 0.25\ \mathrm{m}$ の一様な円板です。糸はすべりません。静止状態から放したとき、物体2が斜面を $d = 1.00\ \mathrm{m}$ だけ滑り下りた後の速さを求めてください。 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とします。

✅ 正解です！

\;v = \sqrt{2(9.8)(1.00)(1.00)/10.0} = \sqrt{1.96} = 1.40\ \mathrm{m/s}

です。動かそうとする質量

1.00\ \mathrm{kg}

が、動く慣性

10.0\ \mathrm{kg}

に対してはたらいています。

❌ 惜しい！ それは分母に滑車の質量をまるごと入れた値です。すべらない条件から

\tfrac{1}{2}I_P\omega^2 = \tfrac{1}{4}m_P v^2

となるので、滑車が寄与するのは

I_P/R^2 = \tfrac{1}{2}m_P = 2.00\ \mathrm{kg}

で、

4.00\ \mathrm{kg}

ではありません。

❌ それは質量の無視できる滑車の答えです。

\tfrac{1}{2}I_P\omega^2

を落とすと、分母には

m_1 + m_2 = 8.00\ \mathrm{kg}

しか残らず、予想される速さが大きすぎてしまいます。

❌ 斜面を確かめましょう。 エネルギーを放出するのは

m_2\vec{g}

の斜面方向の成分だけです。分子は

-m_1 + m_2\sin\theta = -2.00 + 3.00

で、

-m_1 + m_2

ではありません。

解答を見る

ステップ1 — 動く慣性。 すべらないので $\omega = v/R$ となり、滑車の項は次のようになります。

\tfrac{1}{2}I_P\omega^2 = \tfrac{1}{2}\frac{I_P}{R^2}v^2 = \tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}m_P\big)v^2, \qquad \frac{I_P}{R^2} = \tfrac{1}{2}m_P = 2.00\ \mathrm{kg}

$m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}m_P = 2.00 + 6.00 + 2.00 = 10.0\ \mathrm{kg}$

ステップ2 — 放出されるエネルギー。 物体2は $d\sin\theta$ だけ下がり、物体1は $d$ だけ持ち上げられます。

-\Delta U = gd\,(-m_1 + m_2\sin\theta) = (9.8)(1.00)\big(-2.00 + 6.00(0.500)\big) = 9.80\ \mathrm{J}

ステップ3 — 解く。 そのすべてが運動エネルギーになります。

\tfrac{1}{2}(10.0)v^2 = 9.80\ \mathrm{J} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2(9.80)}{10.0}} = \sqrt{1.96} = 1.40\ \mathrm{m/s}

同じことを、枠で囲んだ公式から直接求めると：

v = \sqrt{\frac{2gd\,(-m_1 + m_2\sin\theta)}{m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}m_P}} = \sqrt{\frac{2(9.8)(1.00)(1.00)}{10.0}} = 1.40\ \mathrm{m/s}

問2 · 質量が同じで、より大きな円板

条件： 系は同じですが、滑車だけを、質量は同じ $m_P = 4.00\ \mathrm{kg}$ で半径が2倍の $R = 0.50\ \mathrm{m}$ である一様な円板に取りかえます。 $d = 1.00\ \mathrm{m}$ 滑った後の物体2の速さを求めてください。

✅ 正解です！ 結果に半径は現れません。

I_P

は

R^2

に比例して大きくなり、

\omega^2 = v^2/R^2

は同じ割合で小さくなるので、

I_P/R^2 = \tfrac{1}{2}m_P

は変わりません。

❌ 惜しい！ 慣性モーメントは確かに4倍になります。しかし同じ糸の速さでは、大きな円板は半分の速さでしか回らず、

\omega^2

がその4倍をちょうど打ち消します。

❌ 単位を確かめましょう。

I_P = \tfrac{1}{2}m_PR^2 = 0.500\ \mathrm{kg\,m^2}

は慣性モーメントであって、質量ではありません。エネルギーの収支に必要なのは

I_P/R^2 = 2.00\ \mathrm{kg}

です。

❌ 惜しい！ 2つの円板を比べる前に、滑車の運動エネルギーを糸の速さで表しましょう。

解答を見る

$R = 0.50\ \mathrm{m}$ では、慣性モーメントはもとの4倍になります。

I_P = \tfrac{1}{2}m_PR^2 = \tfrac{1}{2}(4.00)(0.500)^2 = 0.500\ \mathrm{kg\,m^2} \quad (\text{もとは } 0.125\ \mathrm{kg\,m^2})

しかし糸はやはり速さ $v$ で動くので、円板は $\omega = v/R$ 、つまり前の半分の速さで回ります。

\tfrac{1}{2}I_P\omega^2 = \tfrac{1}{2}\frac{I_P}{R^2}v^2 = \tfrac{1}{2}\Big(\frac{0.500}{0.250}\Big)v^2 = \tfrac{1}{2}(2.00)v^2

$I_P/R^2 = \tfrac{1}{2}m_P = 2.00\ \mathrm{kg}$ は前とまったく同じなので、分母はやはり $10.0\ \mathrm{kg}$ で、

v = \sqrt{\frac{2(9.8)(1.00)(1.00)}{10.0}} = 1.40\ \mathrm{m/s}

効くのは滑車の質量だけで、半径は決して効きません。

問3 · 運動エネルギーの分け前

条件： もとの系（ $m_1 = 2.00\ \mathrm{kg}$ 、 $m_2 = 6.00\ \mathrm{kg}$ 、 $m_P = 4.00\ \mathrm{kg}$ 、 $R = 0.25\ \mathrm{m}$ 、 $\theta = 30\degree$ ）にもどり、静止状態から物体2が $d = 1.00\ \mathrm{m}$ だけ滑った後を考えます。

運動エネルギーのうち、回転する円板にたくわえられている割合はどれだけですか？

その運動エネルギーは何ジュールですか？

✅ 正解です！ 3つの運動エネルギーの比は

m_2 : m_1 : \tfrac{1}{2}m_P = 6 : 2 : 2

なので、円板がもつのは

9.80\ \mathrm{J}

の

20\%

、つまり

1.96\ \mathrm{J}

です。

❌ 割合を確かめましょう。 どの項にも同じ

\tfrac{1}{2}v^2

がつくので、割合は

m_1

、

m_2

、

\tfrac{1}{2}m_P

をそれらの和

10.0\ \mathrm{kg}

で割ったものにすぎません。そして滑車の分は

\tfrac{1}{2}m_P

で、

m_P

ではありません。

❌ ジュールの値を確かめましょう。 運動エネルギーの合計は、減少したポテンシャルエネルギー

9.80\ \mathrm{J}

に等しくなります。これに円板の割合をかけるか、

\tfrac{1}{4}m_Pv^2

を

v = 1.40\ \mathrm{m/s}

で直接計算しましょう。

解答を見る

割合。 どの運動エネルギーの項にも、同じ係数 $\tfrac{1}{2}v^2$ がつきます。

K = \tfrac{1}{2}m_1v^2 + \tfrac{1}{2}m_2v^2 + \tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}m_P\big)v^2, \qquad \frac{K_P}{K} = \frac{\tfrac{1}{2}m_P}{m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}m_P} = \frac{2.00}{10.0} = 0.200

ジュール。 合計は放出されたエネルギー $K = -\Delta U = gd(-m_1 + m_2\sin\theta) = 9.80\ \mathrm{J}$ なので、

K_P = 0.200 \times 9.80 = 1.96\ \mathrm{J}

$v = 1.40\ \mathrm{m/s}$ 、 $\omega = v/R = 5.60\ \mathrm{rad/s}$ を使って直接確かめます：

K_P = \tfrac{1}{2}I_P\omega^2 = \tfrac{1}{2}(0.125)(5.60)^2 = 1.96\ \mathrm{J} = \tfrac{1}{4}m_Pv^2\ \checkmark

内訳をすべて書くと、 $K_2 = 5.88\ \mathrm{J}$ 、 $K_1 = 1.96\ \mathrm{J}$ 、 $K_P = 1.96\ \mathrm{J}$ で、合計は $9.80\ \mathrm{J}$ です。

問4 · そもそも動くのはどんなときか

条件： 質量と滑車は同じ（ $m_1 = 2.00\ \mathrm{kg}$ 、 $m_2 = 6.00\ \mathrm{kg}$ 、 $m_P = 4.00\ \mathrm{kg}$ ）ですが、斜面の角度は自由に設定できます。静止状態から放したとき、物体2が斜面を滑り下りるのは、角度がいくらより大きいときですか？

✅ 正解です！

\sin\theta > m_1/m_2 = 1/3

から

\theta > 19.47\degree

です。

m_P

が含まれないのは、滑車が変えるのは系が動く速さであって、向きではないからです。

❌ 質量の組み合わせが違います。 それは

\sin\theta = m_1/(m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}m_P)

です。

v

の分母は質量の和なのでいつも正です。符号は分子

-m_1 + m_2\sin\theta

だけで決まります。

❌ 惜しいですが、それは $\tan\theta = 1/3$ です。 物体2の重さの斜面方向の成分は

m_2g\sin\theta

で、

m_2g\tan\theta

ではありません。

❌ 成分が違います。

m_2g\cos\theta

は面を押す成分で、仕事をしない垂直抗力とつり合います。エネルギーを放出するのは、斜面に沿った

m_2g\sin\theta

です。

解答を見る

平方根の中身 $v^2$ は負になれません。

v^2 = \frac{2gd\,(-m_1 + m_2\sin\theta)}{m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}m_P} \;\ge\; 0

分母は質量の和なので、符号はすべて $d\,(-m_1 + m_2\sin\theta)$ で決まります。物体2が滑り下りる、つまり $d > 0$ となるのは、ちょうどかっこの中が正のときです。

m_2\sin\theta > m_1 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin\theta > \frac{m_1}{m_2} = \frac{2.00}{6.00} = \frac{1}{3}

\theta > \arcsin\tfrac{1}{3} = 19.47\degree

3つの場合の読み方：

$\theta > 19.47\degree$ ：斜面方向の成分 $m_2g\sin\theta$ が物体1の重さ $m_1g$ を上回り、物体2が下り、物体1は持ち上げられます。
$\theta < 19.47\degree$ ：物体1が下がって、物体2を斜面の上へ引き上げます。このとき $d$ は負で、両方の因子の符号が反転するので、同じ式でやはり速さが求まります。
$\theta = 19.47\degree$ ：二つの重さは糸に沿ってつり合い、どの $d$ でも $v = 0$ です。物体は最初の位置から動きません。

$\theta = 30\degree$ はこのしきい値より大きいので、問1では実数の速さが得られたのです。

正解数：0 / 4