古典力学 · 第20回 · 動画6 · インタラクティブ教材

一つの剛体、一つの角速度：棒と円板の実体振り子（例題16.5）

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$I_S = I_1 + I_{cm} + M_2 L_2^2$	支点のまわりの慣性モーメント	同じ一本の軸のまわりの慣性モーメントは足し合わせられる。円板の $I_{cm}$ は平行軸の定理で $S$ まで移す
$L_{cm} = \dfrac{M_1 \frac{L_1}{2} + M_2 L_2}{M_1 + M_2}$	棒と円板の質量中心（重心）	各部分の質量 × その部分自身の中心の位置、の和を全質量で割る
$(M_1 + M_2)\, g\, L_{cm}\,\big(1 - \cos\theta_i\big) = \tfrac{1}{2} I_S \omega_f^2$	放した瞬間から最下点までのエネルギーの収支	静かに放す。支点は仕事をせず、摩擦はない
$\omega_f = \sqrt{\dfrac{2\left(M_1 \frac{L_1}{2} + M_2 L_2\right) g \big(1 - \cos\theta_i\big)}{I_1 + I_{cm} + M_2 L_2^2}}$	最下点での角速度	前の二つの結果を一つの式にまとめたもの

ポイント： 剛体のポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）は、全質量が質量中心に集まっているかのように計算できますが、運動エネルギーはそうはいきません。だから $L_{cm}$ と $I_S$ は同じ式の両側に分かれて現れるのです。 $I_S$ は、質量の平均の位置だけでなく、支点のまわりに質量がどう分布しているかで決まります。

II可視化1 — 質量がつり合う位置

全体の質量中心は、棒の中点と円板の中心を質量で重みづけした加重平均です。

円板の質量 M₂ (kg) 1.0

III可視化2 — 円板の軸を支点まで移す

円板は自分の中心ではなく $S$ のまわりに回るので、 $I_{cm}$ だけでは円板の寄与になりません。

円板の中心 L₂ (m) 0.80

IV可視化3 — 振れの最下点へ

静かに放された振り子は、質量中心のポテンシャルエネルギーを $\tfrac{1}{2} I_S \omega^2$ に換えていきます。

放す角 θᵢ（度） 30 振れ 30°

💡 $\theta_i = 0$ なら振り子ははじめから傾けられておらず、式も $\omega_f = 0$ を与えます。失われた高さがないので、運動エネルギーに変わるものもありません。

V確認クイズ

問1 · 支点のまわりの慣性モーメント

条件： 支点 $S$ のまわりの慣性モーメントが $I_1 = 0.667\ \mathrm{kg\,m^2}$ の一様な棒に、質量 $M_2 = 1.00\ \mathrm{kg}$ 、自身の中心を通る軸のまわりの慣性モーメントが $I_{cm} = 0.020\ \mathrm{kg\,m^2}$ の円板が、その中心が $S$ から $L_2 = 0.80\ \mathrm{m}$ のところに来るようにしっかり固定されています（棒の長さは $L_1 = 1.00\ \mathrm{m}$ ）。振り子全体の支点のまわりの慣性モーメント $I_S$ を求めてください。

✅ 正解です！

S

のまわりの円板の寄与は

I_{cm} + M_2 L_2^2 = 0.020 + 0.640 = 0.660\ \mathrm{kg\,m^2}

で、棒の

I_1

ははじめから支点のまわりで定義されています。

❌ それは $I_1 + I_{cm}$ です。

M_2 L_2^2

を落とすと、円板の中心が支点にあるかのように扱うことになり、

S

からの距離の分が何も入りません。

❌ 惜しい！項が一つ足りません。

I_1 + M_2L_2^2 = 1.307

では

I_{cm}

が抜けています。平行軸の定理は

M_2 L_2^2

を

I_{cm}

に足すのであって、置き換えるのではありません。

❌ どの距離を2乗したか確かめましょう。 ずらす距離は二つの軸のあいだの距離

L_2 = 0.80\ \mathrm{m}

で、棒の長さ

L_1 = 1.00\ \mathrm{m}

ではありません。

❌ 惜しい！ 同じ一本の軸のまわりの慣性モーメントは足し合わせられます。

I_S = I_1 + \big(I_{cm} + M_2 L_2^2\big)

、つまり三つの項すべてです。

解答を見る

同じ軸のまわりの慣性モーメントは足し合わせられるので、棒と円板を別々に扱い、 $S$ のまわりの寄与を足します。

棒： $I_1$ は支点のまわりの値として与えられているので、手を加える必要はありません。

円板： $I_{cm}$ は円板自身の中心を通る軸のまわりの値です。この軸は支点の軸に平行で（どちらも振れる面に垂直）、支点の軸から $L_2$ だけ離れているので、平行軸の定理が使えます。

I_{2,S} = I_{cm} + M_2 L_2^2 = 0.020 + (1.00)(0.80)^2 = 0.020 + 0.640 = 0.660\ \mathrm{kg\,m^2}

合計：

I_S = I_1 + I_{cm} + M_2 L_2^2 = 0.667 + 0.020 + 0.640 = 1.327\ \mathrm{kg\,m^2}

ずらしの項だけで $0.640$ 、全体の約 $48\%$ を占めます。円板の質量が支点から $0.80\ \mathrm{m}$ のところにあることのほうが、その質量が円板自身の中心のまわりにどう広がっているかよりも、はるかに大きく効くのです。

問2 · 全体の質量中心

条件： 質量 $M_1 = 2.00\ \mathrm{kg}$ 、長さ $L_1 = 1.00\ \mathrm{m}$ の一様な棒が支点からつり下げられ、質量 $M_2 = 1.00\ \mathrm{kg}$ の円板が、その中心が棒に沿って支点から $L_2 = 0.80\ \mathrm{m}$ のところに来るように取りつけられています。支点から、棒と円板を合わせた全体の質量中心までの距離 $L_{cm}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 平均は

0.500\ \mathrm{m}

と

0.800\ \mathrm{m}

のあいだに来て、棒のほうが2倍重いので棒の側に寄ります。

❌ それは $0.500$ と $0.800$ の単なる中点です。 中点が正しいのは二つの質量が等しいときだけです。ここでは

M_1 = 2M_2

なので、平均は棒の中心のほうへ引き寄せられます。

❌ 重みをかける位置が入れ替わっています。

0.500\ \mathrm{m}

にある棒自身の中心には

M_1

が、

0.800\ \mathrm{m}

にある円板の中心には

M_2

がかかります。

❌ それは分子だけです。

M_1\frac{L_1}{2} + M_2 L_2 = 1.800\ \mathrm{kg\,m}

を、さらに全質量

M_1 + M_2 = 3.00\ \mathrm{kg}

で割る必要があります。

❌ 惜しい！ それぞれの部分が、自分の質量 × 自分の中心の位置を受けもちます。棒は

L_1/2

、円板は

L_2

です。

解答を見る

棒は一様なので、棒自身の質量中心はその中点、つまり支点から $L_1/2 = 0.500\ \mathrm{m}$ のところにあります。円板の質量中心はその中心で、支点から $L_2 = 0.800\ \mathrm{m}$ のところです。どちらも棒の直線上にあるので、全体の質量中心もその直線上にあります。

(M_1 + M_2)\,L_{cm} = M_1\frac{L_1}{2} + M_2 L_2

L_{cm} = \frac{M_1\frac{L_1}{2} + M_2 L_2}{M_1 + M_2} = \frac{(2.00)(0.500) + (1.00)(0.800)}{2.00 + 1.00} = \frac{1.800}{3.00} = 0.600\ \mathrm{m}

二つの極限で式を確かめます。

$M_2 \to 0$ では $L_{cm} \to L_1/2 = 0.500\ \mathrm{m}$ 、つまり棒自身の中心です。
$M_1 \to 0$ では $L_{cm} \to L_2 = 0.800\ \mathrm{m}$ 、つまり円板の中心です。

その中間のどんな質量でも、 $L_{cm}$ はこの二点のあいだにあり、重いほうの部分に近くなります。

問3 · 放した瞬間から最下点まで

条件： 同じ振り子（ $M_1 + M_2 = 3.00\ \mathrm{kg}$ 、 $L_{cm} = 0.600\ \mathrm{m}$ 、 $I_S = 1.327\ \mathrm{kg\,m^2}$ 、 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ ）を $\theta_i = 60\degree$ で静かに放し、 $\theta = 0$ の最下点まで振らせます。

失われるポテンシャルエネルギーはいくらですか？

最下点での角速度 $\omega_f$ はいくらですか？

✅ 正解です！

8.82\ \mathrm{J}

がすべて

\tfrac{1}{2}I_S\omega_f^2

になるので、

\omega_f = \sqrt{2(8.82)/1.327} = 3.65\ \mathrm{rad/s}

です。

❌ 質量中心が下がる高さを確かめましょう。 下がるのは

L_{cm}\big(1 - \cos\theta_i\big)

で、

L_{cm}

でも

L_{cm}\sin\theta_i

でもありません。

\cos 60\degree = 0.5

なので、下がる高さは

0.300\ \mathrm{m}

です。

❌ 最後のステップの式変形を確かめましょう。

\Delta U = \tfrac{1}{2}I_S\omega_f^2

の両辺に2をかけ、三つの項をすべて含む

I_S

で割ってから、正の平方根をとります。

\omega_f = \sqrt{2\,\Delta U / I_S}

です。

解答を見る

ステップ1：失われるポテンシャルエネルギー。 ポテンシャルエネルギーは、全質量が質量中心に集まっているかのように扱えます。放した瞬間、その点は最下点で到達する高さより $L_{cm}\big(1 - \cos\theta_i\big)$ だけ上にあります。

h = L_{cm}\big(1 - \cos 60\degree\big) = (0.600)(1 - 0.500) = 0.300\ \mathrm{m}

\Delta U = (M_1 + M_2)\, g\, h = (3.00)(9.8)(0.300) = 8.82\ \mathrm{J}

ステップ2：得られる運動エネルギー。 振り子は静止状態から動き出し、支点は仕事をしないので、 $8.82\ \mathrm{J}$ がすべて $S$ のまわりの回転の運動エネルギーになります。棒と円板は一つの剛体で、一つの角速度で回ります。

\tfrac{1}{2} I_S \omega_f^2 = 8.82\ \mathrm{J}

\omega_f = \sqrt{\frac{2(8.82)}{1.327}} = \sqrt{13.30} = 3.65\ \mathrm{rad/s}

運動エネルギーに $L_{cm}$ が使えない理由： $0.600\ \mathrm{m}$ の位置にある質量 $3.00\ \mathrm{kg}$ の質点なら $I = ML_{cm}^2 = 1.08\ \mathrm{kg\,m^2}$ となり、 $\omega_f = 4.04\ \mathrm{rad/s}$ を与えます。実際の物体は、質量が一点に集中せず支点のまわりに広がっているので、 $I_S = 1.327\ \mathrm{kg\,m^2}$ です。

問4 · 円板を輪に取りかえる

条件： 円板を、質量も半径も同じ細い輪に取りかえます。すると、 $0.020\ \mathrm{kg\,m^2}$ の代わりに $I_{cm} = M_2 R_2^2 = 0.040\ \mathrm{kg\,m^2}$ となります。質量、 $L_1$ 、 $L_2$ 、放す角は変わりません。 $L_{cm}$ と $\omega_f$ はどうなりますか？

✅ 正解です！

L_{cm}

は質量と位置しか見ないので

0.600\ \mathrm{m}

のままです。

I_S

は

1.347\ \mathrm{kg\,m^2}

に増え、同じ

\theta_i = 60\degree

で

\omega_f

は

3.646

から

3.619\ \mathrm{rad/s}

に下がります。

❌ $I_S$ が収支の式のどちらの側にあるか確かめましょう。 失われるエネルギーは変わらず、

I_S

は

\omega_f^2 = 2\Delta U / I_S

の分母にあります。慣性が大きいほど振れは遅くなり、速くはなりません。

❌ $I_{cm}$ は $I_S$ の三つの項の一つです。 それが2倍になると

I_S

は

0.020\ \mathrm{kg\,m^2}

増え、収支の式の運動エネルギーの側が変わります。

❌ 質量中心は動きません。 質量も半径も同じ輪と円板では、質量中心は同じ場所にあります。違うのは、その中心のまわりの質量の広がり方だけです。

❌ 惜しい！

L_{cm}

と

I_S

のうち、そもそも

I_{cm}

の変化の影響を受けうるのはどちらかを考えましょう。

解答を見る

ポテンシャルエネルギーの側。 $L_{cm} = \dfrac{M_1\frac{L_1}{2} + M_2L_2}{M_1+M_2}$ に含まれるのは、質量と二つの中心の位置だけです。輪の質量中心は、円板とまったく同じくその中心にあるので、

L_{cm} = 0.600\ \mathrm{m} \quad \text{（変わらない）}, \qquad \Delta U = (3.00)(9.8)(0.600)\big(1 - \cos 60\degree\big) = 8.82\ \mathrm{J} \quad \text{（変わらない）}

運動エネルギーの側。 $I_S$ は影響を受けます。 $I_{cm}$ がその三つの項の一つだからです。

I_S = 0.667 + 0.040 + 0.640 = 1.347\ \mathrm{kg\,m^2} \quad (\text{もとは } 1.327)

\omega_f = \sqrt{\frac{2(8.82)}{1.347}} = 3.619\ \mathrm{rad/s} \quad (\text{もとは } 3.646)

同じエネルギーで、回転に少しだけ強く抵抗する物体を回さなければならないので、振り子は約 $0.8\%$ 遅く最下点を通過します。問題全体の非対称性が、この一手に表れています。失われるエネルギーを決めるのは質量中心ですが、そのエネルギーでどれだけの速さが得られるかを決めるのは、支点のまわりの質量の分布だけなのです。

正解数：0 / 4