古典力学 · 第21回 · 動画1 · インタラクティブ教材

力×モーメントアーム――点のまわりのトルクの定義と符号の決め方

I重要な公式

公式名称意味
τ⃗S=r⃗S,P×F⃗P\vec{\tau}_S = \vec{r}_{S,P} \times \vec{F}_PSS のまわりのトルクSS から PP への位置ベクトルが先、力が後
τS≡∣τ⃗S∣=rFsin⁡θ,  0≤θ≤π\tau_S \equiv |\vec{\tau}_S| = rF\sin\theta,\ \ 0 \le \theta \le \pi大きさ単位は N⋅m\text{N}\cdot\text{m}。θ=0\theta = 0 または θ=π\theta = \pi のとき 0
τS=r⊥F=rF⊥,r⊥=rsin⁡θ,  F⊥=Fsin⁡θ\tau_S = r_\perp F = rF_\perp,\quad r_\perp = r\sin\theta,\ \ F_\perp = F\sin\thetaモーメントアームr⊥r_\perp は SS から作用線までの垂直距離
τ⃗S=+ r⊥F n^1=− r⊥F n^2\vec{\tau}_S = +\,r_\perp F\,\hat{n}_1 = -\,r_\perp F\,\hat{n}_2平面での符号見ている平面内で SS のまわりに反時計回りに回す力の場合：反時計回りを正とすれば ++（n^1\hat{n}_1、手前向き）、時計回りを正とすれば −-（n^2=−n^1\hat{n}_2 = -\hat{n}_1）

ポイント： トルクは必ず、ある点のまわりのトルクです。別の SS のまわりでは、同じ力でもモーメントアームが変わり、符号が逆になることさえあります。平面の問題では、正とする法線の向きと、平面をどちら側から見るかを明示してはじめて、符号が意味をもちます。

II力×モーメントアーム

一つのトルクに二通りの読み方があります：τS=r⊥F=rF⊥\tau_S = r_\perp F = rF_\perp。r⊥r_\perp は SS から作用線までの距離です。

IIIトルクは必ず点のまわりのもの

力は一つで固定されていても、トルクは SS によって変わります。作用線上では 0、その両側では符号が逆です。

IV一つのベクトル、二つの符号

時計回りか反時計回りかは見る側によって変わりますが、ベクトル r⃗S,P×F⃗P\vec{r}_{S,P} \times \vec{F}_P は変わりません。

V確認クイズ

問1 · 斜めに引くスパナ

条件： 整備士がスパナを大きさ F=80 NF = 80\ \text{N} の力で引きます。力がはたらく点は、ボルトの中心 SS から r=∣r⃗S,P∣=0.25 mr = |\vec{r}_{S,P}| = 0.25\ \text{m} のところです。r⃗S,P\vec{r}_{S,P} と F⃗P\vec{F}_P のなす角は θ=30°\theta = 30\degree です。SS のまわりのトルクの大きさ τS\tau_S を求めてください。

✅ 正解です！ τS=rFsin⁡θ=(0.25 m)(80 N)(0.500)=10 N⋅m\tau_S = rF\sin\theta = (0.25\ \text{m})(80\ \text{N})(0.500) = 10\ \text{N}\cdot\text{m} です。これは r⊥F=(0.125 m)(80 N)r_\perp F = (0.125\ \text{m})(80\ \text{N}) と同じです。
❌ 惜しい！ rF=20 N⋅mrF = 20\ \text{N}\cdot\text{m} がトルクになるのは、力が r⃗S,P\vec{r}_{S,P} に垂直なときだけです。30°30\degree では、ボルトを回すのは F⊥=Fsin⁡30°=40 NF_\perp = F\sin 30\degree = 40\ \text{N} だけです。
❌ 惜しい！それはコサインです。 rFcos⁡θrF\cos\theta は r⃗S,P\vec{r}_{S,P} に沿った力の成分からつくられていますが、その成分の作用線は SS をまっすぐ通るので、ボルトを回せません。大きさには sin⁡θ\sin\theta を使います。
❌ 惜しい！ モーメントアームは r⊥=rsin⁡θ=0.125 mr_\perp = r\sin\theta = 0.125\ \text{m} で、r/sin⁡θr/\sin\theta ではありません。SS から作用線への垂線が、rr そのものより長くなることはありません。
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SS のまわりのトルクの大きさは、二つのベクトルの大きさの積に、なす角のサインをかけたものです。

τS=rFsin⁡θ=(0.25 m)(80 N)sin⁡30°=(20 N⋅m)(0.500)=10 N⋅m\tau_S = rF\sin\theta = (0.25\ \text{m})(80\ \text{N})\sin 30\degree = (20\ \text{N}\cdot\text{m})(0.500) = 10\ \text{N}\cdot\text{m}

同じ積の二通りの読み方は一致します。サインを距離の側にまとめると、r⊥=rsin⁡θ=0.125 mr_\perp = r\sin\theta = 0.125\ \text{m} で r⊥F=(0.125 m)(80 N)=10 N⋅mr_\perp F = (0.125\ \text{m})(80\ \text{N}) = 10\ \text{N}\cdot\text{m} です。力の側にまとめると、F⊥=Fsin⁡θ=40 NF_\perp = F\sin\theta = 40\ \text{N} で rF⊥=(0.25 m)(40 N)=10 N⋅mrF_\perp = (0.25\ \text{m})(40\ \text{N}) = 10\ \text{N}\cdot\text{m} です。

問2 · 距離とモーメントアームの違い

条件： 門扉の上の、蝶番 SS から r=0.50 mr = 0.50\ \text{m} の点 PP に、40 N40\ \text{N} の力がはたらきます。力は斜めに加えられているので、その作用線は SS から 0.30 m0.30\ \text{m} のところを通ります。蝶番のまわりのトルクの大きさ τS\tau_S を求めてください。

✅ 正解です！ モーメントアームは SS から作用線までの垂直距離です：τS=r⊥F=(0.30 m)(40 N)=12 N⋅m\tau_S = r_\perp F = (0.30\ \text{m})(40\ \text{N}) = 12\ \text{N}\cdot\text{m}。
❌ 惜しい！ 0.50 m0.50\ \text{m} は SS から PP までの距離で、モーメントアームではありません。rFrF となるのは、力が r⃗S,P\vec{r}_{S,P} に垂直なときだけです。SS から作用線までの垂直距離は 0.30 m0.30\ \text{m} です。
❌ 惜しい！ ここでは sin⁡θ=0.30/0.50=0.60\sin\theta = 0.30/0.50 = 0.60 なので ∣cos⁡θ∣=0.80|\cos\theta| = 0.80 です。rF∣cos⁡θ∣=16 N⋅mrF|\cos\theta| = 16\ \text{N}\cdot\text{m} は r⃗S,P\vec{r}_{S,P} に沿った力の成分からつくられていますが、その成分の作用線は SS を通るので、トルクを生みません。
❌ 惜しい！サインを二重に数えています。 0.30 m0.30\ \text{m} はすでに rsin⁡θr\sin\theta に等しいのです。r⊥Fr_\perp F にさらに sin⁡θ\sin\theta をかけると 7.2 N⋅m7.2\ \text{N}\cdot\text{m} になってしまいます。
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SS から作用線までの垂直距離は、定義によりモーメントアームです：r⊥=0.30 mr_\perp = 0.30\ \text{m}。トルクは力とそのモーメントアームの積です。

τS=r⊥F=(0.30 m)(40 N)=12 N⋅m\tau_S = r_\perp F = (0.30\ \text{m})(40\ \text{N}) = 12\ \text{N}\cdot\text{m}

ほかの読み方で確かめます。 r⊥=rsin⁡θr_\perp = r\sin\theta なので、角は sin⁡θ=0.30/0.50=0.60\sin\theta = 0.30/0.50 = 0.60 を満たします。したがって

rFsin⁡θ=(0.50 m)(40 N)(0.60)=12 N⋅m,rF⊥=(0.50 m)(24 N)=12 N⋅mrF\sin\theta = (0.50\ \text{m})(40\ \text{N})(0.60) = 12\ \text{N}\cdot\text{m}, \qquad rF_\perp = (0.50\ \text{m})(24\ \text{N}) = 12\ \text{N}\cdot\text{m}

ここで F⊥=Fsin⁡θ=24 NF_\perp = F\sin\theta = 24\ \text{N} です。距離 r=0.50 mr = 0.50\ \text{m} は、必ず sin⁡θ\sin\theta と組になって現れます。

問3 · 一つの力と二つの基準点

条件： 紙面の xyxy 平面内で、+x+x 方向を向いた 30 N30\ \text{N} の力が P=(1.0 m, 2.0 m)P = (1.0\ \text{m},\ 2.0\ \text{m}) にはたらいています。反時計回りを正とするので、n^1\hat{n}_1 は紙面の手前向きです。S=(0, 0)S = (0,\ 0) のまわりと S′=(4.0 m, 3.0 m)S' = (4.0\ \text{m},\ 3.0\ \text{m}) のまわりのトルクを求めてください。

S = (0, 0) のまわりのトルク

S′ = (4.0 m, 3.0 m) のまわりのトルク

✅ 正解です！ SS のまわりではモーメントアームは 2.0 m2.0\ \text{m} で、回転は時計回りなので −60 N⋅m n^1-60\ \text{N}\cdot\text{m}\ \hat{n}_1 です。S′S' のまわりでは 1.0 m1.0\ \text{m} で反時計回りなので +30 N⋅m n^1+30\ \text{N}\cdot\text{m}\ \hat{n}_1 です。力は一つでも、トルクは二通りです。
❌ 回転の向きを確かめましょう。 作用線は SS の 2.0 m2.0\ \text{m} 上を通り、力は右を向いているので、SS のまわりに時計回りに回します。n^1\hat{n}_1 方向の成分は負です。
❌ 惜しい！ ∣r⃗S,P∣=(1.0)2+(2.0)2=2.24 m|\vec{r}_{S,P}| = \sqrt{(1.0)^2 + (2.0)^2} = 2.24\ \text{m} は PP までの距離で、モーメントアームではありません。作用線が水平なら、モーメントアームは基準点からその直線までの鉛直距離です。
❌ 惜しい！ 水平方向のずれは作用線に沿って測られます。力を自分の作用線に沿ってずらしても、何も変わりません。モーメントアームは、基準点から直線 y=2.0 my = 2.0\ \text{m} までの垂直（ここでは鉛直）距離です。
❌ 惜しい！ それは SS のまわりのトルクです。S′S' のまわりでは、位置ベクトルも、モーメントアームも、回転の向きさえも変わります。力そのものに固有のトルクというものはなく、あるのは選んだ点のまわりのトルクだけです。
❌ 回転の向きを確かめましょう。 作用線は S′S' の 1.0 m1.0\ \text{m} 下を通ります。回転の中心より下で右向きに押すと反時計回りに回るので、n^1\hat{n}_1 方向の成分は正です。
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ステップ1 — 作用線。 力は P=(1.0 m, 2.0 m)P = (1.0\ \text{m},\ 2.0\ \text{m}) を通って +x+x の向きを向いているので、作用線は水平な直線 y=2.0 my = 2.0\ \text{m} です。どのモーメントアームも、基準点からこの直線までの鉛直距離です。

ステップ2 — S=(0, 0)S = (0,\ 0) のまわり。 モーメントアームは r⊥=2.0 mr_\perp = 2.0\ \text{m} なので、τS=r⊥F=(2.0 m)(30 N)=60 N⋅m\tau_S = r_\perp F = (2.0\ \text{m})(30\ \text{N}) = 60\ \text{N}\cdot\text{m} です。作用線は SS の上を通り、力は右を向いているので、SS のまわりの回転は時計回りです。

τ⃗S=−60 N⋅m n^1\vec{\tau}_S = -60\ \text{N}\cdot\text{m}\ \hat{n}_1

ステップ3 — S′=(4.0 m, 3.0 m)S' = (4.0\ \text{m},\ 3.0\ \text{m}) のまわり。 作用線は S′S' の 1.0 m1.0\ \text{m} 下を通るので、τS′=(1.0 m)(30 N)=30 N⋅m\tau_{S'} = (1.0\ \text{m})(30\ \text{N}) = 30\ \text{N}\cdot\text{m} です。回転の中心より下で右向きに押すので、回転は反時計回りです。

τ⃗S′=+30 N⋅m n^1\vec{\tau}_{S'} = +30\ \text{N}\cdot\text{m}\ \hat{n}_1

外積で確かめます（k^=n^1\hat{k} = \hat{n}_1 は紙面の手前向き）。

r⃗S,P×F⃗P=(1.0 ı^+2.0 ȷ^) m×30 ı^ N=60 N⋅m (ȷ^×ı^)=−60 N⋅m k^\vec{r}_{S,P} \times \vec{F}_P = (1.0\,\hat{\imath} + 2.0\,\hat{\jmath})\ \text{m} \times 30\,\hat{\imath}\ \text{N} = 60\ \text{N}\cdot\text{m}\,(\hat{\jmath} \times \hat{\imath}) = -60\ \text{N}\cdot\text{m}\ \hat{k} r⃗S′,P×F⃗P=(−3.0 ı^−1.0 ȷ^) m×30 ı^ N=−30 N⋅m (ȷ^×ı^)=+30 N⋅m k^\vec{r}_{S',P} \times \vec{F}_P = (-3.0\,\hat{\imath} - 1.0\,\hat{\jmath})\ \text{m} \times 30\,\hat{\imath}\ \text{N} = -30\ \text{N}\cdot\text{m}\,(\hat{\jmath} \times \hat{\imath}) = +30\ \text{N}\cdot\text{m}\ \hat{k}

同じ力でも、二つの点のまわりでは大きさが異なり、符号も逆のトルクになります。

問4 · 一つのターンテーブルと二人の観測者

条件： 直径 1.00 m1.00\ \text{m} の水平なガラスのターンテーブルが、中心 SS を通る鉛直な車軸のまわりに回ります。縁の点 PP に、縁の接線に沿って 12 N12\ \text{N} の力がはたらき、上から見下ろす観測者には、台が反時計回りに回るように見えます。2人目の観測者はターンテーブルの下に寝そべって見上げ、自分から見て時計回りを正と決めます。τ⃗S\vec{\tau}_S の向きと、2人目の観測者が記録する符号つきのトルクを求めてください。

S のまわりのトルクの向き

下の観測者が記録する符号つきのトルク

✅ 正解です！ τS=RF=(0.50 m)(12 N)=6.0 N⋅m\tau_S = RF = (0.50\ \text{m})(12\ \text{N}) = 6.0\ \text{N}\cdot\text{m} で、向きは鉛直上向きです。下から見ると回転は時計回りなので、彼女は +6.0 N⋅m+6.0\ \text{N}\cdot\text{m} と記録します。一方、上にいて時計回りを正とした観測者なら、同じベクトルを −6.0 N⋅m-6.0\ \text{N}\cdot\text{m} と記録するでしょう。
❌ 惜しい！ トルクが r⃗S,P\vec{r}_{S,P} と F⃗P\vec{F}_P の平面内にあることはありません。トルクはその平面の法線の方向、ここでは鉛直な車軸の方向を向きます。
❌ 右手の法則を確かめましょう。 上から見て反時計回りに右手の指を曲げると、親指は上、つまり上にいる観測者のほうを向きます。
❌ 惜しい！ モーメントアームは半径の 0.50 m0.50\ \text{m} です。縁での接線は半径に垂直なので、SS からの距離は直径ではなく RR です。
❌ 惜しい！それは、上にいて時計回りを正とする観測者の値です。 下から見ると同じ回転は時計回りに見え、彼女は自分から見た時計回りを正としています。
❌ 惜しい！ モーメントアーム（縁での接線は半径に垂直なので、半径です）と、下から見て台がどちら向きに回るかの両方を確かめましょう。
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ステップ1 — 大きさ。 力は縁に接しているので r⃗S,P\vec{r}_{S,P} に垂直で（θ=90°\theta = 90\degree）、モーメントアームは半径 R=0.50 mR = 0.50\ \text{m} です。

τS=RF=(0.50 m)(12 N)=6.0 N⋅m\tau_S = RF = (0.50\ \text{m})(12\ \text{N}) = 6.0\ \text{N}\cdot\text{m}

ステップ2 — 向き。 上から見て反時計回りに右手の指を曲げると、親指は上を向きます。したがって τ⃗S\vec{\tau}_S は鉛直上向き、車軸に沿った 6.0 N⋅m6.0\ \text{N}\cdot\text{m} です。r⃗S,P\vec{r}_{S,P} と F⃗P\vec{F}_P の平面内には決してありません。

ステップ3 — 下の観測者。 彼女には鏡に映した像が見えるので、台は時計回りに回ります。彼女が正とした向きは、自分から見た時計回りです。指をその向きに曲げると、親指は彼女から遠ざかる向き、つまり上を向きます。トルクは彼女の正の法線の向きを向いているので、彼女が記録する値は

+6.0 N⋅m+6.0\ \text{N}\cdot\text{m}

比較。 上にいて時計回りを正とした観測者は、下向きの法線を使い、−6.0 N⋅m-6.0\ \text{N}\cdot\text{m} と記録するでしょう。トルクのベクトルはどちらの場合も同じで、違うのは正とした法線だけです。だからこそ、符号の約束では、平面をどちら側から見るかを述べなければならないのです。

正解数：0 / 4