古典力学 · 第21回 · 動画2 · インタラクティブ教材

成分で求めるトルク――空間内の力・傾いたてこ・つま先立ちの足首

I重要な公式

公式名称必要なもの
τ⃗S=r⃗S,F×F⃗\vec{\tau}_S = \vec{r}_{S,F}\times\vec{F}（ただし i^×j^=k^\hat{i}\times\hat{j} = \hat{k}、j^×k^=i^\hat{j}\times\hat{k} = \hat{i}、k^×i^=j^\hat{k}\times\hat{i} = \hat{j}、i^×i^=0⃗\hat{i}\times\hat{i} = \vec{0}） 成分で求めるトルク 右手系の単位ベクトル。r⃗S,F\vec{r}_{S,F} は SS から F⃗\vec{F} の作用点へ向かう
xi^×(Fxi^+Fzk^)=−xFz j^x\hat{i}\times(F_x\hat{i} + F_z\hat{k}) = -xF_z\,\hat{j} 空間内の力 i^×k^=−j^\hat{i}\times\hat{k} = -\hat{j}。r⃗\vec{r} に沿った成分 FxF_x は消える
τ⃗S=(Lcos⁡θ i^+Lsin⁡θ j^)×(−Fj^)=−FLcos⁡θ k^\vec{\tau}_S = (L\cos\theta\,\hat{i} + L\sin\theta\,\hat{j})\times(-F\hat{j}) = -FL\cos\theta\,\hat{k} 傾いたてこ θ\theta は水平から上向きに測る。モーメントアームは Lcos⁡θL\cos\theta。−k^-\hat{k} は時計回り
τ⃗S,T=−bTsin⁡α k^\vec{\tau}_{S,T} = -bT\sin\alpha\,\hat{k}, τ⃗S,N=sN k^=12s mg k^\vec{\tau}_{S,N} = sN\,\hat{k} = \tfrac{1}{2}s\,mg\,\hat{k}, τ⃗S,F=0⃗\vec{\tau}_{S,F} = \vec{0} つま先立ちの足首 i^\hat{i} は右向き、j^\hat{j} は上向き、k^=i^×j^\hat{k} = \hat{i}\times\hat{j} は画面の手前向き。F⃗\vec{F} は SS そのものにはたらく

ポイント： トルクを生むのは、F⃗\vec{F} のうち r⃗\vec{r} に垂直な部分だけです。わからない力の作用線上に基準点を置けば、その力は計算から消えます。足が静止していれば足首のまわりの二つのトルクは打ち消し合い、bTsin⁡α=12mg sbT\sin\alpha = \tfrac{1}{2}mg\,s となるので、腱の鉛直方向の引く力は体重の半分の sb\tfrac{s}{b} 倍です。

II可視化1 — 空間内の力

r⃗P,F=xi^\vec{r}_{P,F} = x\hat{i} のとき、トルクは −xFz j^-xF_z\,\hat{j} です。FzF_z には依存しますが、FxF_x にはまったく依存しません。

III可視化2 — 傾いたてこ

水平から θ\theta だけ上に傾いたてこの先端を下向きの力 FF で押すと、∣τ⃗S∣=FLcos⁡θ|\vec{\tau}_S| = FL\cos\theta で時計回りのトルクになります。

IV可視化3 — 足首にはたらく三つの力

足首の関節 SS のまわりでは、脛骨からの力は消え、hh は現れず、腱のトルクが床のトルクを打ち消します。

V確認クイズ

問1 · 直線からはずれた力

条件： 力 F⃗=(3.0 i^+4.0 k^) N\vec{F} = (3.0\,\hat{i} + 4.0\,\hat{k})\ \text{N} が、PP から見て r⃗P,F=2.0 i^ m\vec{r}_{P,F} = 2.0\,\hat{i}\ \text{m} の点にはたらいています。(i^,j^,k^)(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}) は右手系です。PP のまわりのトルク r⃗P,F×F⃗\vec{r}_{P,F}\times\vec{F} を求めてください。

✅ 正解です！ r⃗P,F\vec{r}_{P,F} に垂直なのは Fz=4.0 NF_z = 4.0\ \text{N} だけです。大きさは xFz=8.0 N⋅mxF_z = 8.0\ \text{N}\cdot\text{m} で、向きは i^×k^=−j^\hat{i}\times\hat{k} = -\hat{j} です。
❌ 符号を確かめましょう。 巡回の順の積は k^×i^=+j^\hat{k}\times\hat{i} = +\hat{j} なので、順番を逆にすると i^×k^=−j^\hat{i}\times\hat{k} = -\hat{j} です。トルクは −j^-\hat{j} の向きを向きます。
❌ 力全体ではありません。 x∣F⃗∣=(2.0 m)(5.0 N)x|\vec{F}| = (2.0\ \text{m})(5.0\ \text{N}) となるのは、F⃗\vec{F} が r⃗P,F\vec{r}_{P,F} に垂直なときだけです。ここでは FxF_x は r⃗P,F\vec{r}_{P,F} に沿っていて i^×i^=0⃗\hat{i}\times\hat{i} = \vec{0} なので、効くのは FzF_z だけです。
❌ それは r⃗\vec{r} に沿った成分です。 xi^×Fxi^=xFx (i^×i^)=0⃗x\hat{i}\times F_x\hat{i} = xF_x\,(\hat{i}\times\hat{i}) = \vec{0} なので、位置ベクトルに沿った 3.0 N3.0\ \text{N} はトルクを生みません。トルクは FzF_z から生じます。
解答を見る

i^×i^=0⃗\hat{i}\times\hat{i} = \vec{0} と i^×k^=−j^\hat{i}\times\hat{k} = -\hat{j} を使って、項ごとに展開します。

r⃗P,F×F⃗=2.0 i^×(3.0 i^+4.0 k^)=(2.0)(3.0)(i^×i^)+(2.0)(4.0)(i^×k^)=0⃗+8.0 (−j^)\vec{r}_{P,F}\times\vec{F} = 2.0\,\hat{i}\times(3.0\,\hat{i} + 4.0\,\hat{k}) = (2.0)(3.0)(\hat{i}\times\hat{i}) + (2.0)(4.0)(\hat{i}\times\hat{k}) = \vec{0} + 8.0\,(-\hat{j}) r⃗P,F×F⃗=−8.0 j^ N⋅m\vec{r}_{P,F}\times\vec{F} = -8.0\,\hat{j}\ \text{N}\cdot\text{m}

大きさは垂直成分と距離の積、Fz x=(4.0 N)(2.0 m)=8.0 N⋅mF_z\,x = (4.0\ \text{N})(2.0\ \text{m}) = 8.0\ \text{N}\cdot\text{m} です。r⃗P,F\vec{r}_{P,F} に沿った 3.0 N3.0\ \text{N} は何も寄与しません。

問2 · コサインに入れるのはどの角か

条件： 長さ L=0.40 mL = 0.40\ \text{m} のてこが SS を支点として右に傾き、鉛直と 30°30\degree の角をなしています。その先端を、大きさ F=50 NF = 50\ \text{N} の力が真下に押しています。i^\hat{i} を右向き、j^\hat{j} を上向き、k^=i^×j^\hat{k} = \hat{i}\times\hat{j} を画面の手前向きとして、τ⃗S\vec{\tau}_S を求めてください。

✅ 正解です！ 水平から測ると、てこの角は θ=60°\theta = 60\degree です。したがってモーメントアームは Lcos⁡60°=0.20 mL\cos 60\degree = 0.20\ \text{m} で、下向きに押すと、てこは −k^-\hat{k} の向き、つまり時計回りに回ります。
❌ コサインに入れる角が違います。 FLcos⁡θFL\cos\theta の角 θ\theta は水平から測ります：θ=90°−30°=60°\theta = 90\degree - 30\degree = 60\degree。cos⁡30°\cos 30\degree を使うと FLcos⁡30°≈17.3 N⋅mFL\cos 30\degree \approx 17.3\ \text{N}\cdot\text{m} となりますが、これは水平から 30°30\degree 上に傾いたてこのトルクです。
❌ 向きを確かめましょう。 Lcos⁡θ i^×(−Fj^)=−FLcos⁡θ k^L\cos\theta\,\hat{i}\times(-F\hat{j}) = -FL\cos\theta\,\hat{k} です。SS の右にある先端を下向きに押すと、てこは時計回り、つまり −k^-\hat{k} の向き（画面の奥向き）に回ります。
❌ それはてこが水平なときの値です。 FLFL では全長をモーメントアームとしています。SS から鉛直な作用線までの垂直距離は Lcos⁡60°=0.20 mL\cos 60\degree = 0.20\ \text{m} しかありません。
解答を見る

まず角を換算します。鉛直から 30°30\degree は、水平から上に θ=60°\theta = 60\degree で、cos⁡60°=12\cos 60\degree = \tfrac{1}{2}、sin⁡60°=32\sin 60\degree = \tfrac{\sqrt{3}}{2} です。すると

r⃗S,F=Lcos⁡60° i^+Lsin⁡60° j^=(0.20 i^+0.203 j^) m,F⃗=−50 j^ N\vec{r}_{S,F} = L\cos 60\degree\,\hat{i} + L\sin 60\degree\,\hat{j} = \left(0.20\,\hat{i} + 0.20\sqrt{3}\,\hat{j}\right)\ \text{m}, \qquad \vec{F} = -50\,\hat{j}\ \text{N} τ⃗S=(0.20)(−50)(i^×j^)+(0.203)(−50)(j^×j^)=−10 k^+0⃗=−10 k^ N⋅m\vec{\tau}_S = (0.20)(-50)(\hat{i}\times\hat{j}) + (0.20\sqrt{3})(-50)(\hat{j}\times\hat{j}) = -10\,\hat{k} + \vec{0} = -10\,\hat{k}\ \text{N}\cdot\text{m}

モーメントアームで確かめます。作用線は鉛直で、SS からの水平距離は Lcos⁡60°=0.20 mL\cos 60\degree = 0.20\ \text{m} なので、∣τ⃗S∣=(50 N)(0.20 m)=10 N⋅m|\vec{\tau}_S| = (50\ \text{N})(0.20\ \text{m}) = 10\ \text{N}\cdot\text{m} で、時計回りです。

問3 · つま先立ちのときの腱

条件： 質量 m=60 kgm = 60\ \text{kg} の人が、つま先立ちでしゃがんでいます。体重は両足に均等にかかっています（g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2）。片足について、床との接触点は足首の関節 SS から s=10 cms = 10\ \text{cm} 前、h=7.5 cmh = 7.5\ \text{cm} 下にあります。アキレス腱は SS から b=4.0 cmb = 4.0\ \text{cm} 後ろの、同じ高さの点につき、水平から α=60°\alpha = 60\degree 上の向きに引いています。i^\hat{i} をつま先の向き、j^\hat{j} を上向き、k^\hat{k} を画面の手前向きとして、まず SS のまわりの垂直抗力のトルクを、次に足を静止させておく腱の張力 TT を求めてください。

S のまわりの垂直抗力のトルク

腱の張力 T

✅ 正解です！ 床のトルク +29.4 k^ N⋅m+29.4\,\hat{k}\ \text{N}\cdot\text{m} は、腱のトルク −bTsin⁡α k^-bT\sin\alpha\,\hat{k} で打ち消されなければなりません。そのためには T≈849 NT \approx 849\ \text{N} が必要で、これは体重全体 mg=588 Nmg = 588\ \text{N} よりも大きな値です。
❌ 符号を確かめましょう。 s i^×Nj^=sN k^s\,\hat{i}\times N\hat{j} = sN\,\hat{k} です。床は SS より前でつま先を押し上げ、足を反時計回り、つまり +k^+\hat{k} の向きに回します。
❌ それは ∣r⃗S,N∣=0.125 m|\vec{r}_{S,N}| = 0.125\ \text{m} をモーメントアームとしています。 r⃗S,N\vec{r}_{S,N} のうち −hj^-h\hat{j} の部分は N⃗\vec{N} に平行で、j^×j^=0⃗\hat{j}\times\hat{j} = \vec{0} なので、hh は消えます。モーメントアームは水平距離 s=0.10 ms = 0.10\ \text{m} です。
❌ それは体重全体です。 体重は両足で分け合っているので、床が片足を押す力は mg=588 Nmg = 588\ \text{N} ではなく N=12mg=294 NN = \tfrac{1}{2}mg = 294\ \text{N} です。
❌ それは引く力の鉛直な部分だけです。 つり合いから決まるのは Tsin⁡α=735 NT\sin\alpha = 735\ \text{N} です。TT そのものを求めるには sin⁡60°\sin 60\degree で割ります。
❌ 成分が違います。 α\alpha は水平から測るので、T⃗\vec{T} のうち r⃗S,T=−b i^\vec{r}_{S,T} = -b\,\hat{i} に垂直な部分は、Tcos⁡αT\cos\alpha ではなく鉛直な Tsin⁡αT\sin\alpha です。
❌ 垂直抗力を確かめましょう。 mg=588 Nmg = 588\ \text{N} とつり合わせると、答えが2倍になってしまいます。片足が支えるのは N=12mg=294 NN = \tfrac{1}{2}mg = 294\ \text{N} だけです。
解答を見る

垂直抗力。 片足は体重の半分 N=12mg=12(60 kg)(9.8 m/s2)=294 NN = \tfrac{1}{2}mg = \tfrac{1}{2}(60\ \text{kg})(9.8\ \text{m/s}^2) = 294\ \text{N} を支え、その力は r⃗S,N=(0.10 i^−0.075 j^) m\vec{r}_{S,N} = (0.10\,\hat{i} - 0.075\,\hat{j})\ \text{m} の点にはたらきます。

τ⃗S,N=(0.10 i^−0.075 j^)×294 j^=(0.10)(294) k^+0⃗=+29.4 k^ N⋅m\vec{\tau}_{S,N} = (0.10\,\hat{i} - 0.075\,\hat{j})\times 294\,\hat{j} = (0.10)(294)\,\hat{k} + \vec{0} = +29.4\,\hat{k}\ \text{N}\cdot\text{m}

腱。 r⃗S,T=−b i^\vec{r}_{S,T} = -b\,\hat{i}、T⃗=Tcos⁡α i^+Tsin⁡α j^\vec{T} = T\cos\alpha\,\hat{i} + T\sin\alpha\,\hat{j} なので、 τ⃗S,T=−bTsin⁡α k^\ \vec{\tau}_{S,T} = -bT\sin\alpha\,\hat{k} です。脛骨からの力は SS にはたらくので、寄与は 0⃗\vec{0} です。静止しているとき、二つのトルクは打ち消し合います。

bTsin⁡α=sN⟹Tsin⁡α=sb N=0.10 m0.040 m (294 N)=735 NbT\sin\alpha = sN \quad\Longrightarrow\quad T\sin\alpha = \frac{s}{b}\,N = \frac{0.10\ \text{m}}{0.040\ \text{m}}\,(294\ \text{N}) = 735\ \text{N} T=735 Nsin⁡60°=4903 N≈849 NT = \frac{735\ \text{N}}{\sin 60\degree} = 490\sqrt{3}\ \text{N} \approx 849\ \text{N}

問4 · 基準点を移す

条件： 同じ足ですが、今度はかかとにある腱の付着点 HH のまわりのトルクを考えます。足首の関節 SS は、同じ高さで HH から水平に距離 bb だけ前にあります。脛骨は SS で足を F⃗=−Fsin⁡β i^−Fcos⁡β j^\vec{F} = -F\sin\beta\,\hat{i} - F\cos\beta\,\hat{j} で押します（下向きかつ後ろ向きで、β\beta は鉛直から測る）。τ⃗H,F\vec{\tau}_{H,F} と、三つの力のうち今度はトルクを生まない力を求めてください。

H のまわりの脛骨からの力のトルク

H のまわりにトルクを生まないのはどの力ですか？

✅ 正解です！ HH のまわりでは腱は消えますが、わからない FF と β\beta が −bFcos⁡β k^-bF\cos\beta\,\hat{k} を通して入ってきます。SS のまわりではその逆で、残る未知数は TT だけです。だからこそ、SS を選ぶと足首の問題が解けるのです。
❌ 0 になるのは SS のまわりだけです。 F⃗\vec{F} は SS にはたらき、その点は HH から見て r⃗H,F=b i^≠0⃗\vec{r}_{H,F} = b\,\hat{i} \neq \vec{0} にあります。ですから HH のまわりでは、脛骨からの力は 0 でないモーメントアーム bcos⁡βb\cos\beta をもちます。
❌ 成分が違います。 −Fsin⁡β i^-F\sin\beta\,\hat{i} は r⃗H,F=b i^\vec{r}_{H,F} = b\,\hat{i} に沿っていて、i^×i^=0⃗\hat{i}\times\hat{i} = \vec{0} です。回転を生むのは鉛直な部分 −Fcos⁡β j^-F\cos\beta\,\hat{j} です。
❌ 符号を確かめましょう。 b i^×(−Fcos⁡β j^)=−bFcos⁡β k^b\,\hat{i}\times(-F\cos\beta\,\hat{j}) = -bF\cos\beta\,\hat{k} です。HH より前で下向きに押すと、足は時計回りに回ります。
❌ 今度は違います。 F⃗\vec{F} は HH から距離 bb だけ前の SS にはたらくので、HH のまわりのトルクは −bFcos⁡β k^-bF\cos\beta\,\hat{k} です。
❌ N⃗\vec{N} にはまだモーメントアームがあります。 その鉛直な作用線は HH から水平距離 d=b+sd = b + s のところにあるので、τ⃗H,N=dN k^\vec{\tau}_{H,N} = dN\,\hat{k} です。
❌ HH そのものにはたらく力が一つあります。 腱は HH で引くので、r⃗H,T=0⃗\vec{r}_{H,T} = \vec{0}、τ⃗H,T=0⃗\vec{\tau}_{H,T} = \vec{0} です。
解答を見る

脛骨。 HH から見た作用点は r⃗H,F=b i^\vec{r}_{H,F} = b\,\hat{i} です。

τ⃗H,F=b i^×(−Fsin⁡β i^−Fcos⁡β j^)=−bFsin⁡β (i^×i^)−bFcos⁡β (i^×j^)=−bFcos⁡β k^\vec{\tau}_{H,F} = b\,\hat{i}\times(-F\sin\beta\,\hat{i} - F\cos\beta\,\hat{j}) = -bF\sin\beta\,(\hat{i}\times\hat{i}) - bF\cos\beta\,(\hat{i}\times\hat{j}) = -bF\cos\beta\,\hat{k}

腱。 腱は HH で引くので、r⃗H,T=0⃗\vec{r}_{H,T} = \vec{0}、τ⃗H,T=0⃗\vec{\tau}_{H,T} = \vec{0} です。

床。 r⃗H,N=(b+s) i^−h j^\vec{r}_{H,N} = (b + s)\,\hat{i} - h\,\hat{j} なので、τ⃗H,N=(b+s)N k^=dN k^\vec{\tau}_{H,N} = (b + s)N\,\hat{k} = dN\,\hat{k} です。

したがって、HH のまわりのトルクの式には二つの未知数 FF と β\beta が含まれ、求めたかった TT は消えてしまいます。SS のまわりでは消えるのは脛骨からの力で、未知数は TT ただ一つになります。

正解数：0 / 4