古典力学 · 第21回 · 動画3 · インタラクティブ教材

物体全体に一つの式――ニュートンの第二法則を足し合わせて τ = Iα へ

I重要な公式

公式名称意味
(τ⃗S,i)z=ri Fθ,i(\vec{\tau}_{S,i})_z = r_i\,F_{\theta,i}一つの要素にはたらく軸方向のトルク回転を生むのは接線成分だけ。Fr,iF_{r,i}、Fz,iF_{z,i}、高さ ziz_i は消える
Fθ,i=Δmi ri αzF_{\theta,i} = \Delta m_i\, r_i\,\alpha_z接線方向のニュートンの第二法則aθ,i=ri αza_{\theta,i} = r_i\,\alpha_z から得られ、(τ⃗S,i)z=Δmi ri2 αz(\vec{\tau}_{S,i})_z = \Delta m_i\, r_i^2\,\alpha_z となる
τ⃗S,j,i+τ⃗S,i,j=(r⃗S,i−r⃗S,j)×F⃗j,i\vec{\tau}_{S,j,i} + \vec{\tau}_{S,i,j} = (\vec{r}_{S,i} - \vec{r}_{S,j}) \times \vec{F}_{j,i}内力の一つの組のトルクSS によらない。F⃗j,i\vec{F}_{j,i} が組を結ぶ直線に沿うとき 0
(τS ext)z=IS αz(\tau_S^{\,\text{ext}})_z = I_S\,\alpha_z（ただし IS=∑iΔmi ri2I_S = \sum_i \Delta m_i\, r_i^2）回転の運動方程式剛体であり、内力が各組を結ぶ直線に沿うこと

ポイント： (τS ext)z=IS αz(\tau_S^{\,\text{ext}})_z = I_S\,\alpha_z は F⃗=ma⃗\vec{F} = m\vec{a} と同じ形をしています。力は軸のまわりのトルクに、質量は慣性モーメントに、加速度は角加速度に置きかわります。そして内力が各組を結ぶ直線に沿っていれば、左辺に現れるのは物体の外からの力だけです。

II回転を生むのは接線成分だけ

要素にはたらく合力のうち、軸方向のトルクをもつのは Fθ,iF_{\theta,i} だけです：(τ⃗S,i)z=riFθ,i(\vec{\tau}_{S,i})_z = r_i F_{\theta,i}。

III物体全体で足し合わせる

共通の αz\alpha_z のもとで、各要素には Δmi ri2 αz\Delta m_i\, r_i^2\,\alpha_z のトルクが必要なので、物体全体では IS αzI_S\,\alpha_z が必要です。

💡 どの rir_i も、SS からの距離ではなく、軸からの垂直距離です。高さ ziz_i は項 zik^×F⃗iz_i\hat{k}\times\vec{F}_i とともに消えたので、ISI_S は軸上のどの SS でも同じです。

IV内部トルクが打ち消し合うとき

第三法則の対がおよぼすトルクは (r⃗S,i−r⃗S,j)×F⃗j,i(\vec{r}_{S,i} - \vec{r}_{S,j}) \times \vec{F}_{j,i} です。どの SS のまわりでも同じで、0 になるのは力が組を結ぶ直線に沿うときだけです。

💡 すべての組について足し合わせると、強い形の作用・反作用の法則から τ⃗S int=0⃗\vec{\tau}_S^{\,\text{int}} = \vec{0} となります。したがって τ⃗S=τ⃗S ext\vec{\tau}_S = \vec{\tau}_S^{\,\text{ext}} で、τS,z=IS αz\tau_{S,z} = I_S\,\alpha_z のトルクは外部トルクだけです。

V確認クイズ

問1 · 一つの要素にはたらく軸方向のトルク

条件： 固定された zz 軸のまわりを回転する剛体の一つの要素が、軸から ri=0.40 mr_i = 0.40\ \text{m}、軸上の基準点 SS から高さ zi=0.30 mz_i = 0.30\ \text{m} のところにあります。この要素にはたらく合力の成分は Fr,i=2.0 NF_{r,i} = 2.0\ \text{N}、Fθ,i=3.0 NF_{\theta,i} = 3.0\ \text{N}、Fz,i=6.0 NF_{z,i} = 6.0\ \text{N} です（大きさは 7.0 N7.0\ \text{N}）。(τ⃗S,i)z(\vec{\tau}_{S,i})_z を求めてください。

✅ 正解です！ 軸のまわりのモーメントアームをもつのは接線成分だけです：riFθ,i=(0.40)(3.0)=1.2 N⋅mr_iF_{\theta,i} = (0.40)(3.0) = 1.2\ \text{N}\cdot\text{m}。
❌ それは riFr,ir_iF_{r,i} です。 動径成分は軸からまっすぐ外を向いていて、r^×r^=0⃗\hat{r}\times\hat{r} = \vec{0} です。どれほど大きくても、軸のまわりのトルクはもちません。
❌ それは SS からの距離を使っています。 ∣r⃗S,i∣=0.302+0.402=0.50 m|\vec{r}_{S,i}| = \sqrt{0.30^2 + 0.40^2} = 0.50\ \text{m} ですが、高さの項 zik^×F⃗iz_i\hat{k}\times\vec{F}_i には zz 成分がありません。モーメントアームは垂直距離 ri=0.40 mr_i = 0.40\ \text{m} です。
❌ それは rir_i に力全体をかけています。 7.0 N7.0\ \text{N} のうち、要素を軸のまわりに回すのは接線方向の 3.0 N3.0\ \text{N} だけです。動径成分と軸方向の成分は、水平なトルクしか生みません。
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二つのベクトルを円柱座標の基底で r⃗S,i=zik^+rir^\vec{r}_{S,i} = z_i\hat{k} + r_i\hat{r}、F⃗i=Fr,ir^+Fθ,iθ^+Fz,ik^\vec{F}_i = F_{r,i}\hat{r} + F_{\theta,i}\hat{\theta} + F_{z,i}\hat{k} と書き、r^×θ^=k^\hat{r}\times\hat{\theta} = \hat{k}、θ^×k^=r^\hat{\theta}\times\hat{k} = \hat{r}、k^×r^=θ^\hat{k}\times\hat{r} = \hat{\theta} を使います。

τ⃗S,i=−ziFθ,i r^+(ziFr,i−riFz,i)θ^+riFθ,i k^\vec{\tau}_{S,i} = -z_iF_{\theta,i}\,\hat{r} + \left(z_iF_{r,i} - r_iF_{z,i}\right)\hat{\theta} + r_iF_{\theta,i}\,\hat{k} τ⃗S,i=(−0.90 r^−1.8 θ^+1.2 k^) N⋅m\vec{\tau}_{S,i} = \left(-0.90\,\hat{r} - 1.8\,\hat{\theta} + 1.2\,\hat{k}\right)\ \text{N}\cdot\text{m}

高さ ziz_i と成分 Fr,iF_{r,i}、Fz,iF_{z,i} は、水平な部分にしか現れません。軸方向のトルクは

(τ⃗S,i)z=riFθ,i=(0.40 m)(3.0 N)=1.2 N⋅m(\vec{\tau}_{S,i})_z = r_iF_{\theta,i} = (0.40\ \text{m})(3.0\ \text{N}) = 1.2\ \text{N}\cdot\text{m}

問2 · 大きさが等しく向きが反対なだけでは足りない

条件： 剛体の内部で、要素 ii と jj が 0.20 m0.20\ \text{m} 離れています。jj が ii におよぼす力の大きさが 5.0 N5.0\ \text{N} で、二つを結ぶ直線に垂直な向きだったとします。ii が jj におよぼす力は大きさが等しく向きが反対で、F⃗i,j=−F⃗j,i\vec{F}_{i,j} = -\vec{F}_{j,i} です。基準点 SS のまわりの、この組のトルクの合計の大きさを求めてください。

✅ 正解です！ この組のトルクは (r⃗S,i−r⃗S,j)×F⃗j,i(\vec{r}_{S,i} - \vec{r}_{S,j})\times\vec{F}_{j,i} で、どの SS のまわりでも大きさは (0.20)(5.0)=1.0 N⋅m(0.20)(5.0) = 1.0\ \text{N}\cdot\text{m} です。二つの力は打ち消し合っても、偶力が残ります。
❌ 力は打ち消し合いますが、トルクは打ち消し合いません。 二つの力は別々の点にはたらき、(r⃗S,i−r⃗S,j)×F⃗j,i(\vec{r}_{S,i} - \vec{r}_{S,j})\times\vec{F}_{j,i} が 0 になるのは F⃗j,i\vec{F}_{j,i} が組を結ぶ直線に平行なときだけです。ここでは垂直です。
❌ それは中点のまわりの、一方の力だけのトルクです。 中点のまわりでは、どちらの力も 0.10 m0.10\ \text{m} のモーメントアームをもち、同じ向きに回すので、足し合わさります：2(0.10)(5.0)=1.0 N⋅m2(0.10)(5.0) = 1.0\ \text{N}\cdot\text{m}。
❌ SS は消えます。 F⃗i,j=−F⃗j,i\vec{F}_{i,j} = -\vec{F}_{j,i} なので組のトルクは (r⃗S,i−r⃗S,j)×F⃗j,i(\vec{r}_{S,i} - \vec{r}_{S,j})\times\vec{F}_{j,i} で、r⃗S,i−r⃗S,j\vec{r}_{S,i} - \vec{r}_{S,j} は SS がどこにあっても jj から ii へ向かうベクトルです。
解答を見る

二つのトルクを足し、F⃗i,j\vec{F}_{i,j} を −F⃗j,i-\vec{F}_{j,i} で置きかえます。

τ⃗S,j,i+τ⃗S,i,j=r⃗S,i×F⃗j,i+r⃗S,j×(−F⃗j,i)=(r⃗S,i−r⃗S,j)×F⃗j,i\vec{\tau}_{S,j,i} + \vec{\tau}_{S,i,j} = \vec{r}_{S,i}\times\vec{F}_{j,i} + \vec{r}_{S,j}\times\left(-\vec{F}_{j,i}\right) = \left(\vec{r}_{S,i} - \vec{r}_{S,j}\right)\times\vec{F}_{j,i}

r⃗S,i−r⃗S,j\vec{r}_{S,i} - \vec{r}_{S,j} は jj から ii へ向かう長さ 0.20 m0.20\ \text{m} のベクトルで、どの SS でも同じです。そして力はそれに垂直です。

∣τ⃗S,j,i+τ⃗S,i,j∣=(0.20 m)(5.0 N)sin⁡90°=1.0 N⋅m\left|\vec{\tau}_{S,j,i} + \vec{\tau}_{S,i,j}\right| = (0.20\ \text{m})(5.0\ \text{N})\sin 90\degree = 1.0\ \text{N}\cdot\text{m}

この偶力があるからこそ、導出には強い形の作用・反作用の法則が必要なのです。F⃗j,i\vec{F}_{j,i} が組を結ぶ直線に沿っていれば角は 0°0\degree か 180°180\degree で、どの組のトルクも 0 になります。

問3 · 要素から角加速度へ

条件： 剛体の回転子が、固定された鉛直な軸のまわりに回ります。その軽い枠に、三つの小さな質量がついています。2.0 kg2.0\ \text{kg} は軸から 0.30 m0.30\ \text{m}、SS から 0.40 m0.40\ \text{m} 上に、1.0 kg1.0\ \text{kg} は軸から 0.50 m0.50\ \text{m}、SS と同じ高さに、3.0 kg3.0\ \text{kg} は軸から 0.20 m0.20\ \text{m}、SS から 1.20 m1.20\ \text{m} 下にあります。同じ軸についた半径 0.30 m0.30\ \text{m} の軽い滑車の縁を、ベルトが接線方向に 5.5 N5.5\ \text{N} で引いています。軸受が回転軸を押す力は軸に向かう向きと軸に沿った向きだけで、重力は軸に平行です。

慣性モーメント ISI_S はいくらですか？

角加速度 αz\alpha_z はいくらですか？

✅ 正解です！ IS=0.18+0.25+0.12=0.55 kg⋅m2I_S = 0.18 + 0.25 + 0.12 = 0.55\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 です。外部トルクの zz 成分をもつのはベルトだけで 1.65 N⋅m1.65\ \text{N}\cdot\text{m}、よって αz=1.65/0.55=3.0 rad/s2\alpha_z = 1.65/0.55 = 3.0\ \text{rad/s}^2 です。
❌ 半径は2乗しなければなりません。 ∑iΔmiri=1.70 kg⋅m\sum_i \Delta m_i r_i = 1.70\ \text{kg}\cdot\text{m} では単位さえ合いません。rir_i は二回現れます。一回はモーメントアームとして、もう一回は aθ,i=riαza_{\theta,i} = r_i\alpha_z を通してです。
❌ それは高さ ziz_i を使っています。 ∑iΔmizi2=4.64\sum_i \Delta m_i z_i^2 = 4.64 は軸に沿った距離を測っています。高さはトルクの zz 成分から消えたので、効くのは軸からの距離だけです。
❌ それは SS からの距離を使っています。 ∑iΔmi (ri2+zi2)=5.19\sum_i \Delta m_i\,(r_i^2 + z_i^2) = 5.19 は、SS を軸に沿って動かすと変わってしまいます。ISI_S に使うのは垂直距離 rir_i だけです。
❌ それは全質量で割っています。 1.65/6.0≈0.281.65/6.0 \approx 0.28 です。回転の法則では、質量は慣性モーメントに置きかわります：αz=(τS ext)z/IS\alpha_z = (\tau_S^{\,\text{ext}})_z / I_S。
❌ それは 5.19 kg⋅m25.19\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 で割っています。 その和は SS からの距離を使っています。垂直距離を使えば IS=0.55 kg⋅m2I_S = 0.55\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 です。
❌ それはトルクに慣性モーメントをかけています。 (τS ext)z=IS αz(\tau_S^{\,\text{ext}})_z = I_S\,\alpha_z なので、αz\alpha_z はトルクを ISI_S で割ったものです。
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慣性モーメントには、各質量の軸からの垂直距離を使います。SS より上か下かの高さは決して入りません。

IS=∑iΔmi ri2=(2.0)(0.30)2+(1.0)(0.50)2+(3.0)(0.20)2=0.18+0.25+0.12=0.55 kg⋅m2I_S = \sum_i \Delta m_i\,r_i^2 = (2.0)(0.30)^2 + (1.0)(0.50)^2 + (3.0)(0.20)^2 = 0.18 + 0.25 + 0.12 = 0.55\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

外部トルクの zz 成分：ベルトによるものは (0.30 m)(5.5 N)=1.65 N⋅m(0.30\ \text{m})(5.5\ \text{N}) = 1.65\ \text{N}\cdot\text{m} です。軸受の力は動径方向か軸方向で、重力は軸方向なので、どれもトルクの zz 成分をもちません。また内力は各組を結ぶ直線に沿ってはたらくので、そのトルクは組ごとに打ち消し合います。

αz=(τS ext)zIS=1.65 N⋅m0.55 kg⋅m2=3.0 rad/s2\alpha_z = \frac{(\tau_S^{\,\text{ext}})_z}{I_S} = \frac{1.65\ \text{N}\cdot\text{m}}{0.55\ \text{kg}\cdot\text{m}^2} = 3.0\ \text{rad/s}^2

問4 · 外からの力を書き出す

条件： ターンテーブルの回転盤が鉛直なスピンドルのまわりに回り、スピンドルの軸のまわりの慣性モーメントは IS=0.060 kg⋅m2I_S = 0.060\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 です。軸から 0.15 m0.15\ \text{m} の縁を、指が 2.0 N2.0\ \text{N} の力で押します。そのうち 1.6 N1.6\ \text{N} は接線方向（上から見て反時計回り）、1.2 N1.2\ \text{N} は軸に向かう動径方向です。軸受の摩擦は、トルクの zz 成分 −0.048 N⋅m-0.048\ \text{N}\cdot\text{m} を与えます。この摩擦を除けば、スピンドルが回転盤を押す力は軸に向かう向きと鉛直方向だけで、重力は鉛直です。また回転盤の各部分は、最大 50 N50\ \text{N} の内力で互いに引き合っていて、その内力はどれも二つの部分を結ぶ直線に沿っています。αz\alpha_z を求めてください。

✅ 正解です！ トルクの zz 成分をもつのは、指の接線方向の力と摩擦だけです：(0.15)(1.6)−0.048=0.192 N⋅m(0.15)(1.6) - 0.048 = 0.192\ \text{N}\cdot\text{m}、そして 0.192/0.060=3.2 rad/s20.192/0.060 = 3.2\ \text{rad/s}^2 です。
❌ それは 2.0 N2.0\ \text{N} 全体を使っています。 軸のまわりのモーメントアームをもつのは接線方向の 1.6 N1.6\ \text{N} だけです。動径方向の 1.2 N1.2\ \text{N} は軸を向いています。
❌ 摩擦トルクが抜けています。 軸受は回転盤の外にあるので、その −0.048 N⋅m-0.048\ \text{N}\cdot\text{m} は外部トルクです：0.240−0.048=0.192 N⋅m0.240 - 0.048 = 0.192\ \text{N}\cdot\text{m}。
❌ それは動径成分を使っています。 軸に向かう 1.2 N1.2\ \text{N} は、軸のまわりのモーメントアームをもちません。回転盤を回すのは接線方向の 1.6 N1.6\ \text{N} です。
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回転盤の外からはたらく力を書き出し、それぞれについて軸上の SS のまわりのトルクの zz 成分をとります。

  • 指の力の接線方向の部分：(0.15 m)(1.6 N)=0.240 N⋅m(0.15\ \text{m})(1.6\ \text{N}) = 0.240\ \text{N}\cdot\text{m}
  • 指の力の動径方向の部分：00（軸を向いている）
  • 軸受の摩擦：−0.048 N⋅m-0.048\ \text{N}\cdot\text{m}
  • スピンドルが押す力（軸に向かう向きか鉛直）と重力（鉛直）：00

50 N50\ \text{N} の内力は各部分を結ぶ直線に沿ってはたらくので、そのトルクは組ごとに打ち消し合い、決して式に入りません。

(τS ext)z=0.240−0.048=0.192 N⋅m(\tau_S^{\,\text{ext}})_z = 0.240 - 0.048 = 0.192\ \text{N}\cdot\text{m} αz=(τS ext)zIS=0.192 N⋅m0.060 kg⋅m2=3.2 rad/s2\alpha_z = \frac{(\tau_S^{\,\text{ext}})_z}{I_S} = \frac{0.192\ \text{N}\cdot\text{m}}{0.060\ \text{kg}\cdot\text{m}^2} = 3.2\ \text{rad/s}^2

正解数：0 / 4