古典力学 · 第21回 · 動画4 · インタラクティブ教材

重力は一点にはたらく――質量のある滑車では糸の張力が左右で違う

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$\vec{\tau}_O = \displaystyle\sum_i \vec{r}_i \times m_i\vec{g} = \vec{R}_{cm} \times M_T\vec{g}$	重心（重力の作用点）	$\vec{g}$ がどの粒子でも同じであること。このとき全体の重さ $M_T\vec{g}$ は質量中心にはたらく
$\tau_{S,z} = I_S\,\alpha_z, \qquad \|\tau_z^{\text{fric}}\| = I_S\,\dfrac{\omega_i}{\Delta t}$	惰性で止まるときのトルク	慣性モーメントと、一定の角加速度で止まるまでの時間
$R(T_1 - T_2) = I_z\,\alpha_z, \qquad a = R\,\alpha_z$	慣性をもつ滑車	軸のまわりの2つの張力のトルク（おもり1が落ちるときの時計回りを正、 $\hat{k}$ は紙面の奥向き）と、すべらない糸
$a = \dfrac{m_1 g - \mu_k m_2 g}{m_1 + m_2 + I_z/R^2},$ $\qquad T_1 - T_2 = \dfrac{I_z}{R^2}\,a$	つり下げたおもりとすべるおもり	各おもりのニュートンの第二法則を、すぐ上の滑車の式と組み合わせる。 $m_1 > \mu_k m_2$ のときに成り立つ

ポイント： 滑車の両側で張力が等しいのは、 $I_z = 0$ という特別な場合にすぎません。慣性をもつ滑車は、それ自身も加速させなければなりません。滑車は分母に等価質量 $I_z/R^2$ を加え、張力の差 $(I_z/R^2)\,a$ が、滑車を回すのにちょうど必要なトルクを生みます。

II可視化1 — 多くの重さ、1つのトルク

どの原点のまわりでも、各粒子の重さによるトルクの和は、質量中心にはたらく $M_T\vec{g}$ のトルクに等しくなります。

原点O：x (m) −0.2 原点O：y (m) −0.1

💡 この導出で使ったのは、 $\vec{g}$ がどの粒子でも同じベクトルだということだけです。 $\vec{g}$ が物体の中で変化するほど大きな物体では、重心と質量中心が異なる点になることもあります。

III可視化2 — 惰性で止まるまでの時間を測る

軸のまわりのトルクは摩擦だけなので、 $I_S$ に測った減速の割合 $\omega_i/\Delta t$ をかけたものが摩擦トルクです。

時刻 t (s) 0.0 停止時間 Δt (s) 8.0

IV可視化3 — 2つの張力が違う理由

滑車を回転させるには正味のトルク $R(T_1 - T_2) = I_z\alpha_z$ が必要なので、張力が等しくなるのは $I_z = 0$ のときだけです。

滑車の慣性モーメント I_z (kg·m²) 0.030

💡 同じ $I_z/R^2$ は、前回の講義のエネルギーを使う方法にも現れました。滑車の $\tfrac{1}{2}I_z\omega^2$ は、 $\omega = v/R$ を使うと $\tfrac{1}{2}(I_z/R^2)v^2$ になります。糸と一緒に動く余分な質量の運動エネルギーです。

V確認クイズ

問1 · 惰性で止まるときの摩擦トルク

条件：質量 $2.0\ \text{kg}$ 、半径 $0.20\ \text{m}$ の一様な円板とみなせるグラインダーの砥石が、 $60$ rev/min で回っています。モーターを切ると、軸の摩擦によって、一定の角加速度で $10\ \text{s}$ で止まります。摩擦トルクの大きさを求めてください。

✅ 正解です！

I_S = \tfrac{1}{2}(2.0)(0.20)^2 = 0.040\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

、

|\alpha_z| = 2\pi/10 \approx 0.63\ \text{rad/s}^2

なので、

|\tau_z^{\text{fric}}| \approx 2.5 \times 10^{-2}\ \text{N}\cdot\text{m}

です。

❌ 回転数をラジアンに換算していません。

60

rev/min は

1

rev/s で、1回転は

2\pi

rad なので、

\omega_i = 2\pi\ \text{rad/s}

です。

1\ \text{rad/s}

ではありません。

❌ それは薄い輪の慣性モーメントです。 一様な円板では

I_S = \tfrac{1}{2}MR^2 = 0.040\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

で、

MR^2

の半分です。

❌ それは $I_S\,\omega_i$ で、トルクではなく角運動量です。 トルクには角加速度

\omega_i/\Delta t

が必要なので、

10\ \text{s}

で割りましょう。

❌ 惜しい！

I_S = \tfrac{1}{2}MR^2

を求め、

60

rev/min を rad/s に換算し、

\Delta t

で割って

|\alpha_z|

を出してから、かけ合わせましょう。

解答を見る

ステップ1：一様な円板の慣性モーメント。

I_S = \tfrac{1}{2}MR^2 = \tfrac{1}{2}(2.0\ \text{kg})(0.20\ \text{m})^2 = 0.040\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

ステップ2：角加速度。 1回転は $2\pi$ rad なので、 $60$ rev/min は $2\pi$ rad/s です。

\alpha_z = \frac{0 - \omega_i}{\Delta t} = -\frac{2\pi\ \text{rad/s}}{10\ \text{s}} \approx -0.63\ \text{rad/s}^2

ステップ3：トルク。 重力は軸上にある重心にはたらき、軸受は軸のところを押すので、どちらも軸のまわりのトルクを生みません。トルクは摩擦だけです。

|\tau_z^{\text{fric}}| = I_S|\alpha_z| = (0.040\ \text{kg}\cdot\text{m}^2)(0.63\ \text{rad/s}^2) \approx 2.5 \times 10^{-2}\ \text{N}\cdot\text{m}

砥石は遅くなっているので $\alpha_z$ は負で、摩擦トルクは回転と逆向きです。

問2 · 机の側の張力

条件：質量 $3.0\ \text{kg}$ のおもり1が糸でつり下がっています。糸は半径 $R = 0.10\ \text{m}$ 、慣性モーメント $I_z = 0.020\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ の滑車にかかり、机の上のおもり2につながっています。糸はすべらず、おもりは $a = 2.8\ \text{m/s}^2$ で加速します（ $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ）。机の側の糸の張力 $T_2$ を求めてください。

✅ 正解です！

T_1 = m_1(g - a) = 21.0\ \text{N}

で、滑車には

T_1 - T_2 = (I_z/R^2)\,a = 5.6\ \text{N}

が必要なので、

T_2 = 15.4\ \text{N}

です。

❌ それは $T_1$ です（質量の無視できる滑車の近道）。 ここでは

I_z \neq 0

かつ

\alpha_z = a/R \neq 0

なので、滑車には正味のトルク

R(T_1 - T_2)

が必要で、2つの張力は等しくなりえません。

❌ 差の符号が逆です。 滑車はおもり1が引く向きに回るので、強く張っているのはつり下げた側です。

T_2 = T_1 - (I_z/R^2)\,a

です。

❌ $R$ のべきを確かめましょう。

R(T_1 - T_2) = I_z\alpha_z

に

\alpha_z = a/R

を入れると

T_1 - T_2 = I_z a/R^2 = 5.6\ \text{N}

です。

I_z a/R

の単位は力ではなく、トルクの単位

\text{N}\cdot\text{m}

です。

❌ 惜しい！ おもり1から

T_1

を求め、滑車のトルクの式が要求する張力の差を引きましょう。

解答を見る

ステップ1：おもり1（下向きを正）：

m_1 g - T_1 = m_1 a \;\Longrightarrow\; T_1 = m_1(g - a) = (3.0\ \text{kg})(9.8 - 2.8)\ \text{m/s}^2 = 21.0\ \text{N}

ステップ2：滑車（おもり1が落ちるときの時計回りを正）。すべらない条件から $\alpha_z = a/R = 2.8/0.10 = 28\ \text{rad/s}^2$ となり、トルクの式 $R(T_1 - T_2) = I_z\alpha_z$ は次のようになります。

T_1 - T_2 = \frac{I_z}{R^2}\,a = \frac{0.020\ \text{kg}\cdot\text{m}^2}{(0.10\ \text{m})^2}\,(2.8\ \text{m/s}^2) = (2.0\ \text{kg})(2.8\ \text{m/s}^2) = 5.6\ \text{N}

ステップ3：机の側の張力。

T_2 = T_1 - 5.6\ \text{N} = 21.0\ \text{N} - 5.6\ \text{N} = 15.4\ \text{N}

トルクを確かめると、 $R(T_1 - T_2) = (0.10\ \text{m})(5.6\ \text{N}) = 0.56\ \text{N}\cdot\text{m}$ 、 $I_z\alpha_z = (0.020\ \text{kg}\cdot\text{m}^2)(28\ \text{rad/s}^2) = 0.56\ \text{N}\cdot\text{m}$ で、一致します。

問3 · 質量のある滑車、すべるおもり、落ちるおもり

条件：おもり1（ $m_1 = 4.0\ \text{kg}$ ）が机の端からつり下がり、おもり2（ $m_2 = 3.0\ \text{kg}$ ）が $\mu_k = 0.40$ で机の上をすべります。滑車は質量 $m_p = 2.0\ \text{kg}$ の一様な円板なので、 $I_{cm} = \tfrac{1}{2}m_p R^2$ です。糸はすべらず、おもりは静止状態から動き出し、おもり1は $t_1 = 1.5\ \text{s}$ に地面に着きます（ $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ）。おもりの加速度と、おもり1が落ちる距離を求めてください。

おもりの加速度は？

おもり1が落ちる距離は？

✅ 正解です！

a = 27.44\ \text{N} / 8.0\ \text{kg} = 3.43\ \text{m/s}^2

、

y_1 = \tfrac{1}{2}(3.43)(1.5)^2 \approx 3.86\ \text{m}

です。

❌ それは質量の無視できる滑車の答えです。

(m_1 - \mu_k m_2)g/(m_1 + m_2)

には滑車が入っていません。滑車の慣性は、分母に

I_z/R^2 = \tfrac{1}{2}m_p = 1.0\ \text{kg}

を加えます。

❌ 滑車を薄い輪として扱っています。

I = m_p R^2

なら

2.0\ \text{kg}

を加えることになりますが、一様な円板は

I_{cm} = \tfrac{1}{2}m_p R^2

なので、加わるのは

I_z/R^2 = 1.0\ \text{kg}

です。

❌ おもり2にはたらく摩擦力が抜けています。 正味の駆動力は

m_1 g - \mu_k m_2 g = 39.2\ \text{N} - 11.76\ \text{N} = 27.44\ \text{N}

で、

39.2\ \text{N}

ではありません。

❌ 加速度を確かめましょう。 分子はおもり1の重さからおもり2にはたらく摩擦力を引いたもの、分母は

m_1 + m_2 + I_z/R^2

です。

❌ 係数 $\tfrac{1}{2}$ が抜けています。 静止状態から一定の加速度で動くときは

y_1 = \tfrac{1}{2}a t_1^2

です。

❌ それは $\tfrac{1}{2}a t_1$ で、速さの単位をもっています。 距離には

t_1^2

が必要です。

y_1 = \tfrac{1}{2}a t_1^2

です。

❌ その距離は、質量の無視できる滑車の加速度 $3.92\ \text{m/s}^2$ を使っています。 質量のある滑車では、加速度は

3.43\ \text{m/s}^2

に下がります。

❌ 距離を確かめましょう。 おもり1は静止状態から、いま求めた一定の加速度で動き出します。

y_1 = \tfrac{1}{2}a t_1^2

です。

解答を見る

ステップ1：滑車の等価質量。 半径は打ち消し合います。

\frac{I_z}{R^2} = \frac{\tfrac{1}{2}m_p R^2}{R^2} = \tfrac{1}{2}m_p = 1.0\ \text{kg}

ステップ2：加速度。 $m_1 = 4.0\ \text{kg} > \mu_k m_2 = 1.2\ \text{kg}$ なので、おもりは動きます。

a = \frac{m_1 g - \mu_k m_2 g}{m_1 + m_2 + I_z/R^2} = \frac{39.2\ \text{N} - 11.76\ \text{N}}{4.0 + 3.0 + 1.0\ \text{kg}} = \frac{27.44\ \text{N}}{8.0\ \text{kg}} = 3.43\ \text{m/s}^2

ステップ3：落ちる距離（静止状態から $t_1 = 1.5\ \text{s}$ の間）：

y_1 = \tfrac{1}{2}a t_1^2 = \tfrac{1}{2}(3.43\ \text{m/s}^2)(1.5\ \text{s})^2 = 3.85875\ \text{m} \approx 3.86\ \text{m}

確認として、張力：

T_1 = m_1(g - a) = (4.0)(9.8 - 3.43) = 25.48\ \text{N}, \qquad T_2 = m_2(\mu_k g + a) = (3.0)(3.92 + 3.43) = 22.05\ \text{N}

その差 $3.43\ \text{N}$ は、滑車のトルクの式が要求するとおり、 $(I_z/R^2)\,a = (1.0\ \text{kg})(3.43\ \text{m/s}^2)$ に等しくなっています。

問4 · 水平な位置から放したメートル尺

条件：一様なメートル尺（ $L = 1.00\ \text{m}$ 、質量 $0.20\ \text{kg}$ ）が、一端を通る水平な軸のまわりに自由に回ります。この軸のまわりの慣性モーメントは $I_S = \tfrac{1}{3}ML^2$ です。メートル尺を水平に保ち、静かに放します（ $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ）。放した瞬間の角加速度の大きさを求めてください。

✅ 正解です！ 重さは軸から

L/2

の重心にはたらくので、

|\alpha_z| = \dfrac{Mg\,(L/2)}{\tfrac{1}{3}ML^2} = \dfrac{3g}{2L} = 14.7\ \text{rad/s}^2

です。質量は打ち消し合います。

❌ 重さは反対側の端にはたらくのではありません。

\vec{g}

が一様なら、全体の重さは重心、つまり軸から

L/2

の質量中心にはたらきます。

\tau = Mg\,L/2

です。

❌ $\tfrac{1}{12}ML^2$ は中心のまわりの慣性モーメントです。 メートル尺は端のまわりに回るので、

\tau_{S,z} = I_S\alpha_z

には

I_S = \tfrac{1}{3}ML^2

が必要です。

❌ 重さは質量中心に置けますが、質量は置けません。

M(L/2)^2 = \tfrac{1}{4}ML^2

は、質量がメートル尺に沿って分布していることを無視しています。トルクは

Mg\,L/2

ですが、慣性モーメントは

\tfrac{1}{3}ML^2

のままです。

❌ 惜しい！ トルクは全体の重さを質量中心に置いて求め、慣性モーメントには

\tfrac{1}{3}ML^2

を使い、割り算をしましょう。

解答を見る

ステップ1：軸のまわりの重力のトルク。 メートル尺は軸の右側にあるとし、時計回りを正とします。 $\vec{g}$ が一様なら、メートル尺の各部分の重さは、質量中心にはたらく1つの力 $Mg$ としてはたらきます。そのモーメントアームは、軸から $L/2$ です。

\tau_{S,z} = Mg\,\frac{L}{2} = (0.20\ \text{kg})(9.8\ \text{m/s}^2)(0.50\ \text{m}) = 0.98\ \text{N}\cdot\text{m}

ステップ2：端のまわりの慣性モーメント。

I_S = \tfrac{1}{3}ML^2 = \tfrac{1}{3}(0.20\ \text{kg})(1.00\ \text{m})^2 = \tfrac{1}{15}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

ステップ3：角加速度。

\alpha_z = \frac{\tau_{S,z}}{I_S} = \frac{0.98\ \text{N}\cdot\text{m}}{\tfrac{1}{15}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2} = 14.7\ \text{rad/s}^2 = \frac{3g}{2L}

反対側の端は、接線加速度 $\alpha_z L = 14.7\ \text{m/s}^2 = 1.5g$ で動き出します。自由落下より大きな加速度です。

正解数：0 / 4