古典力学 · 第22回 · 動画1 · インタラクティブ教材

トルクかける角度は仕事――回転の仕事と運動エネルギーの関係、回転の仕事率

I重要な公式

公式名称意味
dWrot=τS,z dθ,Wrot=∫θiθfτS,z dθdW_{\text{rot}} = \tau_{S,z}\,d\theta,\qquad W_{\text{rot}} = \displaystyle\int_{\theta_i}^{\theta_f} \tau_{S,z}\,d\theta回転の仕事軸のまわりのトルクかける回った角度。ラジアンは無次元数なので N⋅m×rad=J\text{N}\cdot\text{m} \times \text{rad} = \text{J} となる
Wrot=12Icm ωf2−12Icm ωi2=ΔKrotW_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2} I_{\text{cm}}\,\omega_f^2 - \tfrac{1}{2} I_{\text{cm}}\,\omega_i^2 = \Delta K_{\text{rot}}回転の仕事と運動エネルギーの関係質量中心（重心）を通る軸について成り立つ。ω\omega は2乗で入るので、効くのはその大きさだけ
Prot=τS,z ωz,Pave=ΔWrot/ΔtP_{\text{rot}} = \tau_{S,z}\,\omega_z,\qquad P_{\text{ave}} = \Delta W_{\text{rot}}/\Delta t回転の仕事率単位はワット。トルクが回転と同じ向きなら正、逆向きなら負
Fx→τS,z,m→IS,x→θ,vx→ωzF_x \to \tau_{S,z},\quad m \to I_S,\quad x \to \theta,\quad v_x \to \omega_z並進 → 回転の対応関係上の結果はどれも、この置きかえによって並進運動の結果と対になる

ポイント： 固定軸のまわりに回る剛体に仕事をするのは、力の接線成分だけです。そして riFθ,ir_i F_{\theta,i} は、まさにその力の軸のまわりのトルクです。距離にわたって作用する力の仕事は、角度にわたって作用するトルクの仕事になります。

II力のどの部分が仕事をするか

要素は円に沿って動くので、変位 r Δθ θ^r\,\Delta\theta\,\hat{\theta} への射影をもつのは FθF_\theta だけです。

IIIトルクかける角度は KrotK_{\text{rot}} の変化

I0=0.020 kg⋅m2I_0 = 0.020\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 の車輪が ω0=30 rad/s\omega_0 = 30\ \text{rad/s} で回っているところに、軸のトルクがはたらき始めます。

IV式は一つ、未知数は二つ

ωa=20 rad/s\omega_a = 20\ \text{rad/s} のときに2枚目のワッシャー（Iw=0.01125 kg⋅m2I_w = 0.01125\ \text{kg}\cdot\text{m}^2）が車輪に落とされ、0.50 s0.50\ \text{s} で両者は共通の角速度 ωb\omega_b になります。

💡 ωb\omega_b を実際に決める関係は、後の章で導入する量、角運動量から得られます。そのうえでエネルギーの式は、2枚のワッシャーの間で生じた熱 WslipW_{\text{slip}} を測るのです。

V確認クイズ

問1 · 一定のトルクがする仕事

条件： モーターが一定のトルク τS,z=+0.050 N⋅m\tau_{S,z} = +0.050\ \text{N}\cdot\text{m} で車輪を駆動し、その間に車輪は同じ向きに Δθ=140 rad\Delta\theta = 140\ \text{rad} 回ります。回転の仕事 WrotW_{\text{rot}} を求めてください。

✅ 正解です！ Wrot=τS,z Δθ=(0.050 N⋅m)(140 rad)=7.0 JW_{\text{rot}} = \tau_{S,z}\,\Delta\theta = (0.050\ \text{N}\cdot\text{m})(140\ \text{rad}) = 7.0\ \text{J} です。ラジアンは無次元数なので N⋅m×rad=J\text{N}\cdot\text{m} \times \text{rad} = \text{J} となります。
❌ 惜しい！ それは角度 140140 を回転数に換算してしまった答えです（140 rad=22.3 rev140\ \text{rad} = 22.3\ \text{rev}）。Wrot=τS,z ΔθW_{\text{rot}} = \tau_{S,z}\,\Delta\theta の角度はすでにラジアンなので、そのまま使います。
❌ 換算の向きが違います。 2π2\pi をかけるのは回転数をラジアンに直すときですが、140 rad140\ \text{rad} はすでにラジアンです。換算は必要ありません。
❌ 符号を確かめましょう。 仕事が負になるのは、トルクが回転と逆向きのときだけです。ここではトルクは回転と同じ向きにはたらくので、エネルギーを加えます。Wrot>0W_{\text{rot}} > 0 です。
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トルクは一定なので、そのまま積分の外に出せます。

Wrot=∫θiθfτS,z dθ=τS,z Δθ=(0.050 N⋅m)(140 rad)=7.0 JW_{\text{rot}} = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \tau_{S,z}\,d\theta = \tau_{S,z}\,\Delta\theta = (0.050\ \text{N}\cdot\text{m})(140\ \text{rad}) = 7.0\ \text{J}

τS,z\tau_{S,z} と Δθ\Delta\theta が同じ向きなので符号は正で、回転の運動エネルギーは 7.0 J7.0\ \text{J} 増えます。I0=0.020 kg⋅m2I_0 = 0.020\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 の車輪が 30 rad/s30\ \text{rad/s} から回り始める場合は、次のようになります。

12(0.020)(30)2+7.0=9.0+7.0=16.0 J=12(0.020) ωf2 ⇒ ωf=40 rad/s\tfrac{1}{2}(0.020)(30)^2 + 7.0 = 9.0 + 7.0 = 16.0\ \text{J} = \tfrac{1}{2}(0.020)\,\omega_f^2 \ \Rightarrow\ \omega_f = 40\ \text{rad/s}

問2 · 軸受の摩擦がする仕事

条件： モーターを切ると、同じ車輪（I0=0.020 kg⋅m2I_0 = 0.020\ \text{kg}\cdot\text{m}^2）は惰性で回り、Δt1=4.0 s\Delta t_1 = 4.0\ \text{s} で ω0=30 rad/s\omega_0 = 30\ \text{rad/s} から ωa=20 rad/s\omega_a = 20\ \text{rad/s} まで遅くなります。惰性で回る間に軸受の摩擦がする仕事を求めてください。

✅ 正解です！ Wf=ΔKrot=4.00−9.00=−5.0 JW_f = \Delta K_{\text{rot}} = 4.00 - 9.00 = -5.0\ \text{J} です。−τf Δθ1=−(0.050)(100 rad)-\tau_f\,\Delta\theta_1 = -(0.050)(100\ \text{rad}) からも同じ値が得られます。
❌ 符号を確かめましょう。 摩擦トルクはいつも回転と逆向きなので、その仕事は負です。回転の運動エネルギーを 5.0 J5.0\ \text{J} 取り去り、軸受で熱エネルギーに変えます。
❌ 2乗するのは差ではありません。 12I0(ω0−ωa)2\tfrac{1}{2}I_0(\omega_0 - \omega_a)^2 は運動エネルギーの変化ではありません。それぞれの角速度を先に2乗してから引きます。(30−20)2(30-20)^2 ではなく ωf2−ωi2=400−900\omega_f^2 - \omega_i^2 = 400 - 900 です。
❌ 惜しい！ 12I0(ω02+ωa2)\tfrac{1}{2}I_0(\omega_0^2 + \omega_a^2) は2つの運動エネルギーを足しています。この関係で必要なのは変化、つまり後の運動エネルギーから前の運動エネルギーを引いたものです。
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はたらくトルクは軸受の摩擦だけなので、回転の仕事と運動エネルギーの関係から、その仕事が直接求まります。

Wf=12I0 ωa2−12I0 ω02=12(0.020)(20)2−12(0.020)(30)2=4.00−9.00=−5.0 JW_f = \tfrac{1}{2} I_0\,\omega_a^2 - \tfrac{1}{2} I_0\,\omega_0^2 = \tfrac{1}{2}(0.020)(20)^2 - \tfrac{1}{2}(0.020)(30)^2 = 4.00 - 9.00 = -5.0\ \text{J}

トルクかける角度で確かめる。 角加速度は一定なので、

τf=I0 ω0−ωaΔt1=(0.020)104.0=0.050 N⋅m,Δθ1=12(ω0+ωa) Δt1=100 rad\tau_f = I_0\,\frac{\omega_0 - \omega_a}{\Delta t_1} = (0.020)\frac{10}{4.0} = 0.050\ \text{N}\cdot\text{m}, \qquad \Delta\theta_1 = \tfrac{1}{2}(\omega_0 + \omega_a)\,\Delta t_1 = 100\ \text{rad} Wf=−τf Δθ1=−(0.050)(100)=−5.0 J ✓W_f = -\tau_f\,\Delta\theta_1 = -(0.050)(100) = -5.0\ \text{J}\ \checkmark

問3 · 衝突の間に回る角度

条件： 惰性で回る車輪が ωa=20 rad/s\omega_a = 20\ \text{rad/s} のとき、2枚目のワッシャーをその上に落とします。Δtint=0.50 s\Delta t_{\text{int}} = 0.50\ \text{s} の間に両者は共通の角速度 ωb=12 rad/s\omega_b = 12\ \text{rad/s} になり、その間ずっと軸受のトルクは τf=0.050 N⋅m\tau_f = 0.050\ \text{N}\cdot\text{m} のままです。衝突を一定の角加速度での回転としてモデル化し、回転子が回る角度と、軸受の摩擦がする仕事を求めてください。

衝突の間に回る角度

軸受の摩擦がする仕事

✅ 正解です！ 回転子は Δθ2=12(20+12)(0.50)=8.0 rad\Delta\theta_2 = \tfrac{1}{2}(20 + 12)(0.50) = 8.0\ \text{rad} 回り、軸受のトルクはその回転と逆向きなので、Wf,b=−(0.050)(8.0)=−0.40 JW_{f,b} = -(0.050)(8.0) = -0.40\ \text{J} です。
❌ 角度を確かめましょう。 角加速度が一定なら、角度は平均の角速度かける時間、12(ωa+ωb) Δtint\tfrac{1}{2}(\omega_a + \omega_b)\,\Delta t_{\text{int}} です。初めか終わりの角速度だけを使うのではありません。
❌ 因子 12\tfrac{1}{2} が抜けています。 (ωa+ωb) Δtint=16 rad(\omega_a + \omega_b)\,\Delta t_{\text{int}} = 16\ \text{rad} は角速度の和を使っています。角度に使うのはその平均、12(ωa+ωb) Δtint\tfrac{1}{2}(\omega_a + \omega_b)\,\Delta t_{\text{int}} です。
❌ 仕事を確かめましょう。 (τf)z=−0.050 N⋅m(\tau_f)_z = -0.050\ \text{N}\cdot\text{m}、Δθ2=8.0 rad\Delta\theta_2 = 8.0\ \text{rad} として Wf,b=(τf)z Δθ2W_{f,b} = (\tau_f)_z\,\Delta\theta_2 です。
❌ 符号を確かめましょう。 ここでは反時計回りが正なので、軸受のトルクの zz 成分は −τf-\tau_f で、一方 Δθ2>0\Delta\theta_2 > 0 です。その積、つまり仕事は負になります。
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(a) 角度。 衝突の間の平均の角加速度は α2=(ωb−ωa)/Δtint<0\alpha_2 = (\omega_b - \omega_a)/\Delta t_{\text{int}} < 0 で、等角加速度運動の公式から次が得られます。

Δθ2=ωa Δtint+12α2 Δtint2=ωa Δtint+12(ωb−ωa) Δtint=12(ωa+ωb) Δtint\Delta\theta_2 = \omega_a\,\Delta t_{\text{int}} + \tfrac{1}{2}\alpha_2\,\Delta t_{\text{int}}^2 = \omega_a\,\Delta t_{\text{int}} + \tfrac{1}{2}(\omega_b - \omega_a)\,\Delta t_{\text{int}} = \tfrac{1}{2}(\omega_a + \omega_b)\,\Delta t_{\text{int}} Δθ2=12(20+12)(0.50)=8.0 rad\Delta\theta_2 = \tfrac{1}{2}(20 + 12)(0.50) = 8.0\ \text{rad}

(b) 仕事。 反時計回りを正とすると、軸受のトルクの zz 成分は −τf-\tau_f です。

Wf,b=−τf Δθ2=−(0.050 N⋅m)(8.0 rad)=−0.40 JW_{f,b} = -\tau_f\,\Delta\theta_2 = -(0.050\ \text{N}\cdot\text{m})(8.0\ \text{rad}) = -0.40\ \text{J}

回転を妨げるトルクなので、当然負になります。

問4 · 仕事率と、エネルギーでは決まらないもの

条件： 同じ衝突の間に、回転の運動エネルギーは 12I0 ωa2=4.00 J\tfrac{1}{2}I_0\,\omega_a^2 = 4.00\ \text{J} から 12(I0+Iw) ωb2=2.25 J\tfrac{1}{2}(I_0 + I_w)\,\omega_b^2 = 2.25\ \text{J} に減り、軸受の摩擦は Δtint=0.50 s\Delta t_{\text{int}} = 0.50\ \text{s} の間に Wf,b=−0.40 JW_{f,b} = -0.40\ \text{J} の仕事をします。軸受の摩擦の平均の仕事率と、2枚のワッシャーの間の摩擦がする仕事 WslipW_{\text{slip}} を求めてください。

軸受の摩擦の平均の仕事率

ワッシャーの間のすべり摩擦がする仕事

✅ 正解です！ Pf=Wf,b/Δtint=−0.80 WP_f = W_{f,b}/\Delta t_{\text{int}} = -0.80\ \text{W} で、(τf)z ωave=−(0.050)(16)=−0.80 W(\tau_f)_z\,\omega_{\text{ave}} = -(0.050)(16) = -0.80\ \text{W} と一致します。また Wslip=ΔKrot−Wf,b=−1.75+0.40=−1.35 JW_{\text{slip}} = \Delta K_{\text{rot}} - W_{f,b} = -1.75 + 0.40 = -1.35\ \text{J} です。
❌ 仕事率を確かめましょう。 平均の仕事率は、仕事を時間間隔で割ったものです。Pf=Wf,b/ΔtintP_f = W_{f,b}/\Delta t_{\text{int}} で、単位はワットです。
❌ 時間をかけてしまっています。 Wf,b ΔtintW_{f,b}\,\Delta t_{\text{int}} の単位は J⋅s\text{J}\cdot\text{s} です。仕事率は割合なので、仕事を時間間隔で割ります（−0.40/0.50-0.40/0.50）。
❌ 符号を確かめましょう。 大きさは合っていますが、軸受のトルクは回転と逆向きなので、負の仕事をします。Wf,b=−0.40 JW_{f,b} = -0.40\ \text{J} なので Pf=−0.80 WP_f = -0.80\ \text{W} です。エネルギーはその割合で回転子から失われています。
❌ 使っている角速度が違います。 (τf)z ωa=−1.0 W(\tau_f)_z\,\omega_a = -1.0\ \text{W} は、衝突の始まりでの瞬間の仕事率です。衝突全体で平均すると、回転子は 12(ωa+ωb)=16 rad/s\tfrac{1}{2}(\omega_a + \omega_b) = 16\ \text{rad/s} で回っています。
❌ エネルギーの式を確かめましょう。 ΔKrot=Wf,b+Wslip\Delta K_{\text{rot}} = W_{f,b} + W_{\text{slip}} なので、ΔKrot=2.25−4.00\Delta K_{\text{rot}} = 2.25 - 4.00 として Wslip=ΔKrot−Wf,bW_{\text{slip}} = \Delta K_{\text{rot}} - W_{f,b} です。
❌ それはエネルギーの変化全体です。 −1.75 J-1.75\ \text{J} は ΔKrot\Delta K_{\text{rot}} で、その一部は軸受に行きました。軸受の分 Wf,b=−0.40 JW_{f,b} = -0.40\ \text{J} を引いて、すべりの項だけを取り出します。
❌ 符号を確かめましょう。 2枚のワッシャーの間のすべり摩擦は、いつも運動エネルギーを熱エネルギーに変えるので、Wslip<0W_{\text{slip}} < 0 です。2枚にエネルギーを加えることは決してありません。
❌ 移項で符号を間違えています。 ΔKrot=Wf,b+Wslip\Delta K_{\text{rot}} = W_{f,b} + W_{\text{slip}} から Wf,bW_{f,b} を引きますが、それ自体が負です。−1.75−(−0.40)=−1.35 J-1.75 - (-0.40) = -1.35\ \text{J} となります。
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平均の仕事率。 仕事率は、仕事がなされる割合です。

Pf=Wf,bΔtint=−0.40 J0.50 s=−0.80 WP_f = \frac{W_{f,b}}{\Delta t_{\text{int}}} = \frac{-0.40\ \text{J}}{0.50\ \text{s}} = -0.80\ \text{W}

Δtint\Delta t_{\text{int}} は Δθ2\Delta\theta_2 の中に隠れているものと打ち消し合うので、Prot=τS,z ωzP_{\text{rot}} = \tau_{S,z}\,\omega_z を平均の角速度で評価しても同じ値になります。

Pf=−τf⋅12(ωa+ωb)=−(0.050)(16)=−0.80 WP_f = -\tau_f\cdot\tfrac{1}{2}(\omega_a + \omega_b) = -(0.050)(16) = -0.80\ \text{W}

すべりの仕事。 衝突の間、回転子とワッシャーからなる系に仕事をするトルクは2つあるので、回転の仕事と運動エネルギーの関係は次のようになります。

12(I0+Iw) ωb2−12I0 ωa2=Wf,b+Wslip\tfrac{1}{2}(I_0 + I_w)\,\omega_b^2 - \tfrac{1}{2} I_0\,\omega_a^2 = W_{f,b} + W_{\text{slip}} 2.25−4.00=−0.40+Wslip ⇒ Wslip=−1.35 J2.25 - 4.00 = -0.40 + W_{\text{slip}} \ \Rightarrow\ W_{\text{slip}} = -1.35\ \text{J}

この式にできないことに注意しましょう。ωb\omega_b が未知なら、式には ωb\omega_b と WslipW_{\text{slip}} の2つの未知数があるので、エネルギーだけでは共通の角速度を予言できません。WslipW_{\text{slip}} を落とせば解ける二次方程式が残りますが、それが表すのは内部での損失がない衝突で、この衝突はそうではありません。足りない関係は角運動量が与えます。そのうえでエネルギーの式は熱の量を教えてくれます。ワッシャーの間で生じた熱は 1.35 J1.35\ \text{J} です。

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