古典力学 · 第23回 · 動画1 · インタラクティブ教材

運動量かけるモーメントアーム：点のまわりの質点の角運動量

I重要な公式

公式名称意味
L⃗S=r⃗S×p⃗,p⃗=mv⃗\vec{\mathbf{L}}_S = \vec{\mathbf{r}}_S \times \vec{\mathbf{p}},\qquad \vec{\mathbf{p}} = m\vec{\mathbf{v}}SS のまわりの角運動量SS から質点への位置ベクトルが先、運動量が後。単位は kg⋅m2⋅s−1=N⋅m⋅s=J⋅s\text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1} = \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s} = \text{J}\cdot\text{s}
∣L⃗S∣=∣r⃗S∣ ∣p⃗∣sin⁡θ=rS⊥ ∣p⃗∣=∣r⃗S∣ pS⊥|\vec{\mathbf{L}}_S| = |\vec{\mathbf{r}}_S|\,|\vec{\mathbf{p}}|\sin\theta = r_S^\perp\,|\vec{\mathbf{p}}| = |\vec{\mathbf{r}}_S|\,p_S^\perp大きさと、その2通りの読み方θ\theta は r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S と p⃗\vec{\mathbf{p}} のなす角で、0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi。モーメントアーム（うでの長さ）× 運動量、または距離 × 運動量の垂直な部分
L⃗S=(x py−y px) k^\vec{\mathbf{L}}_S = (x\,p_y - y\,p_x)\,\hat{\mathbf{k}}xx-yy 平面内の運動i^×j^=k^\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}} = \hat{\mathbf{k}}, j^×i^=−k^\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{k}} から得られる。r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S から p⃗\vec{\mathbf{p}} への短いほうの弧が反時計回りなら +k^+\hat{\mathbf{k}}、時計回りなら −k^-\hat{\mathbf{k}}
τ⃗S=dL⃗Sdt,LS,z=IS ωz\vec{\boldsymbol{\tau}}_S = \dfrac{d\vec{\mathbf{L}}_S}{dt},\qquad L_{S,z} = I_S\,\omega_zこの章の行き着く先F⃗ext=dp⃗sys/dt\vec{\mathbf{F}}^{\text{ext}} = d\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}}/dt の回転版。固定軸のまわりの剛体では τS,z=IS αz\tau_{S,z} = I_S\,\alpha_z に戻る

ポイント： 角運動量は、いつも名前をつけた点のまわりの角運動量です。直線上を動く質点でも、経路からはずれた点のまわりでは L⃗S≠0⃗\vec{\mathbf{L}}_S \neq \vec{\mathbf{0}} となり、経路上のどの点のまわりでもちょうど 0⃗\vec{\mathbf{0}} になります。

IIモーメントアームか、運動量の垂直成分か

∣r⃗S∣ ∣p⃗∣sin⁡θ|\vec{\mathbf{r}}_S|\,|\vec{\mathbf{p}}|\sin\theta の2通りの読み方は、どんな位置と運動量に対しても x py−y pxx\,p_y - y\,p_x の大きさを再現します。

III直線運動でも角運動量はある

速度が一定のとき、∣r⃗S∣|\vec{\mathbf{r}}_S| と θ\theta は変わり続けますが、L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S は決して変わりません。SS をどこに選んでもそうです。

💡 チャレンジ： 同じ質点が L⃗S=+12 kg⋅m2⋅s−1 k^\vec{\mathbf{L}}_S = +12\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}\ \hat{\mathbf{k}} をもつような点 SS を見つけましょう。例題の2倍の大きさで、向きは反対です。

IV紙面の奥向きか、手前向きか

r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S と p⃗\vec{\mathbf{p}} の始点をそろえると、そのあいだの短いほうの弧の回る向きが LS,zL_{S,z} の符号を決めます。

V確認クイズ

問1 · 外積の成分

条件： 質量 1.5 kg1.5\ \text{kg} の質点が、速度 v⃗=2.0 m⋅s−1 j^\vec{\mathbf{v}} = 2.0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\ \hat{\mathbf{j}} で (4.0 m, 1.0 m)(4.0\ \text{m},\ 1.0\ \text{m}) を通過します。原点 SS のまわりの角運動量を求めてください。

✅ 正解です！ x py−y px=(4.0)(3.0)−(1.0)(0)=12x\,p_y - y\,p_x = (4.0)(3.0) - (1.0)(0) = 12 で、r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S から p⃗\vec{\mathbf{p}} への短いほうの弧は反時計回りです。
❌ 順番を確かめましょう。 それは p⃗×r⃗S\vec{\mathbf{p}}\times\vec{\mathbf{r}}_S です。トルクのときと同じく、位置ベクトルが先です：L⃗S=r⃗S×p⃗\vec{\mathbf{L}}_S = \vec{\mathbf{r}}_S \times \vec{\mathbf{p}}。
❌ 惜しい！ それは r⃗S×v⃗\vec{\mathbf{r}}_S \times \vec{\mathbf{v}} です。角運動量に使うのは運動量 p⃗=mv⃗=3.0 kg⋅m⋅s−1 j^\vec{\mathbf{p}} = m\vec{\mathbf{v}} = 3.0\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\ \hat{\mathbf{j}} です。
❌ sin⁡θ\sin\theta が抜けています。 ∣r⃗S∣ ∣p⃗∣=17⋅3.0≈12.4|\vec{\mathbf{r}}_S|\,|\vec{\mathbf{p}}| = \sqrt{17}\cdot 3.0 \approx 12.4 は、r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S のうち p⃗\vec{\mathbf{p}} に沿った部分まで数えていますが、その部分は何も寄与しません。
❌ 惜しい！ まず p⃗=mv⃗\vec{\mathbf{p}} = m\vec{\mathbf{v}} をつくり、それから r⃗S×p⃗\vec{\mathbf{r}}_S\times\vec{\mathbf{p}} を項ごとに展開しましょう。
解答を見る

運動量：p⃗=mv⃗=(1.5 kg)(2.0 m⋅s−1) j^=3.0 kg⋅m⋅s−1 j^\vec{\mathbf{p}} = m\vec{\mathbf{v}} = (1.5\ \text{kg})(2.0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1})\,\hat{\mathbf{j}} = 3.0\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\ \hat{\mathbf{j}}。SS からの位置：r⃗S=(4.0 i^+1.0 j^) m\vec{\mathbf{r}}_S = (4.0\,\hat{\mathbf{i}} + 1.0\,\hat{\mathbf{j}})\ \text{m}。

L⃗S=(4.0 i^+1.0 j^)×3.0 j^=12 (i^×j^)+3.0 (j^×j^)=+12 kg⋅m2⋅s−1 k^\vec{\mathbf{L}}_S = (4.0\,\hat{\mathbf{i}} + 1.0\,\hat{\mathbf{j}}) \times 3.0\,\hat{\mathbf{j}} = 12\,(\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}}) + 3.0\,(\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{j}}) = +12\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}\ \hat{\mathbf{k}}

モーメントアームで確かめます。運動の線は x=4.0 mx = 4.0\ \text{m} なので、rS⊥=4.0 mr_S^\perp = 4.0\ \text{m}、∣L⃗S∣=(4.0)(3.0)=12|\vec{\mathbf{L}}_S| = (4.0)(3.0) = 12 です。質点は SS の右側を上向きに動くので、反時計回り、つまり紙面の手前向きです。

問2 · どの距離がモーメントアームか

条件： 質点が運動量 p⃗=5.0 kg⋅m⋅s−1 i^\vec{\mathbf{p}} = 5.0\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\ \hat{\mathbf{i}} で直線 y=2.0 my = 2.0\ \text{m} に沿って動いています。この瞬間、質点は x=3.0 mx = 3.0\ \text{m} にあります。原点のまわりの ∣L⃗S∣|\vec{\mathbf{L}}_S| とその向きを求めてください。

✅ 正解です！ 経路は SS から 2.0 m2.0\ \text{m} はずれているので ∣L⃗S∣=(2.0)(5.0)=10|\vec{\mathbf{L}}_S| = (2.0)(5.0) = 10 です。SS の上を右向きに動くので、時計回りです。
❌ sin⁡θ\sin\theta が抜けています。 ∣r⃗S∣ ∣p⃗∣=13⋅5.0≈18|\vec{\mathbf{r}}_S|\,|\vec{\mathbf{p}}| = \sqrt{13}\cdot 5.0 \approx 18 は、運動の線までの垂直距離ではなく、距離そのものを使っています。
❌ 距離が違います。 x=3.0 mx = 3.0\ \text{m} は運動の線に沿って測った距離です。モーメントアームは、SS からその線までの垂直距離です。
❌ 向きを確かめましょう。 SS で始点をそろえると、r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S は右上、p⃗\vec{\mathbf{p}} は右を向きます。短いほうの弧は時計回りなので、−k^-\hat{\mathbf{k}} です。
❌ 惜しい！ SS から運動の線に垂線を下ろしましょう。
解答を見る

運動の線は y=2.0 my = 2.0\ \text{m} なので、SS から下ろした垂線は (0, 2.0 m)(0,\ 2.0\ \text{m}) でこの線と交わります：rS⊥=2.0 mr_S^\perp = 2.0\ \text{m}。

∣L⃗S∣=rS⊥ ∣p⃗∣=(2.0 m)(5.0 kg⋅m⋅s−1)=10 kg⋅m2⋅s−1|\vec{\mathbf{L}}_S| = r_S^\perp\,|\vec{\mathbf{p}}| = (2.0\ \text{m})(5.0\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) = 10\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}

成分で計算すると、これが確かめられ、向きもわかります：LS,z=x py−y px=(3.0)(0)−(2.0)(5.0)=−10L_{S,z} = x\,p_y - y\,p_x = (3.0)(0) - (2.0)(5.0) = -10 なので L⃗S=−10 kg⋅m2⋅s−1 k^\vec{\mathbf{L}}_S = -10\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}\ \hat{\mathbf{k}}、紙面の奥向きです。答えは xx によりません。経路上のどの点でも、モーメントアームは同じだからです。

問3 · 例題を新しい数値で

条件： 3.0 kg3.0\ \text{kg} の質点が、一定の速度 v⃗=(2.0 i^+1.0 j^) m⋅s−1\vec{\mathbf{v}} = (2.0\,\hat{\mathbf{i}} + 1.0\,\hat{\mathbf{j}})\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} で動き、(1.0 m, 2.0 m)(1.0\ \text{m},\ 2.0\ \text{m}) を通過します。原点のまわりの L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S を求め、次にモーメントアーム rS⊥r_S^\perp を求めてください。

S のまわりの角運動量

モーメントアーム

✅ 正解です！ L⃗S=−9.0 k^\vec{\mathbf{L}}_S = -9.0\,\hat{\mathbf{k}}、rS⊥=∣L⃗S∣/∣p⃗∣=9/45=3/5 mr_S^\perp = |\vec{\mathbf{L}}_S|/|\vec{\mathbf{p}}| = 9/\sqrt{45} = 3/\sqrt{5}\ \text{m} です。
❌ 符号のミスです。 j^×i^=−k^\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{k}} なので、y pxy\,p_x の項は引き算になります。3+123 + 12 ではなく 3−123 - 12 です。
❌ 順番を確かめましょう。 それは p⃗×r⃗S\vec{\mathbf{p}}\times\vec{\mathbf{r}}_S です。位置ベクトルが先です。
❌ 惜しい！ それは r⃗S×v⃗\vec{\mathbf{r}}_S\times\vec{\mathbf{v}} です。まず m=3.0 kgm = 3.0\ \text{kg} をかけて運動量にしましょう。
❌ 外積を確かめましょう。 (1.0 i^+2.0 j^)×(6.0 i^+3.0 j^)(1.0\,\hat{\mathbf{i}} + 2.0\,\hat{\mathbf{j}})\times(6.0\,\hat{\mathbf{i}} + 3.0\,\hat{\mathbf{j}}) の4つの積を展開しましょう。
❌ それは ∣r⃗S∣|\vec{\mathbf{r}}_S| です。 モーメントアームは SS から運動の線までの垂直距離 ∣r⃗S∣sin⁡θ|\vec{\mathbf{r}}_S|\sin\theta で、ここでは θ≠90°\theta \neq 90\degree です。
❌ それは yy 軸に沿って測った距離です。 経路は SS の 1.5 m1.5\ \text{m} 上で yy 軸と交わります（∣L⃗S∣/px=9/6.0|\vec{\mathbf{L}}_S|/p_x = 9/6.0 と同じ値です）が、yy 軸は経路に垂直ではありません。モーメントアームはもっと短く、sin⁡α=2/5\sin\alpha = 2/\sqrt{5} として 1.5sin⁡α1.5\sin\alpha です。
❌ 運動量全体で割りましょう。 9/3.0=3.09/3.0 = 3.0 は ∣L⃗S∣|\vec{\mathbf{L}}_S| を pyp_y だけ（または質量）で割っています。モーメントアームは ∣L⃗S∣/∣p⃗∣|\vec{\mathbf{L}}_S|/|\vec{\mathbf{p}}| で、∣p⃗∣=6.02+3.02=35|\vec{\mathbf{p}}| = \sqrt{6.0^2 + 3.0^2} = 3\sqrt{5} です。
❌ モーメントアームを確かめましょう。 ∣p⃗∣=6.02+3.02|\vec{\mathbf{p}}| = \sqrt{6.0^2 + 3.0^2} として、rS⊥=∣L⃗S∣/∣p⃗∣r_S^\perp = |\vec{\mathbf{L}}_S| / |\vec{\mathbf{p}}| を使います。
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r⃗S=(1.0 i^+2.0 j^) m\vec{\mathbf{r}}_S = (1.0\,\hat{\mathbf{i}} + 2.0\,\hat{\mathbf{j}})\ \text{m}、p⃗=mv⃗=(6.0 i^+3.0 j^) kg⋅m⋅s−1\vec{\mathbf{p}} = m\vec{\mathbf{v}} = (6.0\,\hat{\mathbf{i}} + 3.0\,\hat{\mathbf{j}})\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} です。4つの積は次のとおりです。

1.0 i^×6.0 i^=0⃗,1.0 i^×3.0 j^=3 k^,2.0 j^×6.0 i^=−12 k^,2.0 j^×3.0 j^=0⃗1.0\,\hat{\mathbf{i}}\times 6.0\,\hat{\mathbf{i}} = \vec{\mathbf{0}},\quad 1.0\,\hat{\mathbf{i}}\times 3.0\,\hat{\mathbf{j}} = 3\,\hat{\mathbf{k}},\quad 2.0\,\hat{\mathbf{j}}\times 6.0\,\hat{\mathbf{i}} = -12\,\hat{\mathbf{k}},\quad 2.0\,\hat{\mathbf{j}}\times 3.0\,\hat{\mathbf{j}} = \vec{\mathbf{0}} L⃗S=(3−12) k^=−9.0 kg⋅m2⋅s−1 k^（紙面の奥向き）\vec{\mathbf{L}}_S = (3 - 12)\,\hat{\mathbf{k}} = -9.0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}\ \hat{\mathbf{k}}\quad\text{（紙面の奥向き）}

モーメントアーム：∣p⃗∣=36+9=45=35 kg⋅m⋅s−1|\vec{\mathbf{p}}| = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} なので、

rS⊥=∣L⃗S∣∣p⃗∣=935=35 m≈1.34 mr_S^\perp = \frac{|\vec{\mathbf{L}}_S|}{|\vec{\mathbf{p}}|} = \frac{9}{3\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}\ \text{m} \approx 1.34\ \text{m}

図形による確認：経路は (1,2)(1, 2) を通る傾き 12\tfrac{1}{2} の直線なので、1.5 m1.5\ \text{m} で yy 軸と交わります。その線分は経路と角 α\alpha（sin⁡α=2/5\sin\alpha = 2/\sqrt{5}）で交わるので、rS⊥=1.5⋅2/5=3/5 mr_S^\perp = 1.5 \cdot 2/\sqrt{5} = 3/\sqrt{5}\ \text{m} です。

問4 · まず点を名指しする

条件： 動画の質点です。p⃗=(6.0 i^+6.0 j^) kg⋅m⋅s−1\vec{\mathbf{p}} = (6.0\,\hat{\mathbf{i}} + 6.0\,\hat{\mathbf{j}})\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} で、(2.0 m, 3.0 m)(2.0\ \text{m},\ 3.0\ \text{m}) を通る直線 y=x+1 my = x + 1\ \text{m} に沿って動いています。L⃗=+6 kg⋅m2⋅s−1 k^\vec{\mathbf{L}} = +6\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}\ \hat{\mathbf{k}} となるのは、どの点のまわりですか？

✅ 正解です！ (−1,1)(-1, 1) は、経路をはさんで原点と反対側に、モーメントアーム 12 m\tfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{m} だけ離れています。そのため向きが反転します。
❌ それは例題です。 原点のまわりでは L⃗S=−6 k^\vec{\mathbf{L}}_S = -6\,\hat{\mathbf{k}} です。大きさは合っていますが、向きが反対です。
❌ その点は経路上にあります。 1=0+11 = 0 + 1 なので r⃗\vec{\mathbf{r}} は p⃗\vec{\mathbf{p}} と平行で、その点のまわりの角運動量は 0⃗\vec{\mathbf{0}} です。
❌ 惜しい！ (2,1)(2, 1) は原点と同じ側にありますが、経路からの距離は2倍です：L⃗=−12 k^\vec{\mathbf{L}} = -12\,\hat{\mathbf{k}}。
❌ 惜しい！ 候補の点 PP それぞれについて、Lz=(x−xP) py−(y−yP) pxL_z = (x - x_P)\,p_y - (y - y_P)\,p_x を計算しましょう。
解答を見る

点 P=(xP,yP)P = (x_P, y_P) のまわりでは、位置ベクトルは (2−xP) i^+(3−yP) j^(2 - x_P)\,\hat{\mathbf{i}} + (3 - y_P)\,\hat{\mathbf{j}} なので、

LP,z=6(2−xP)−6(3−yP)=6 (yP−xP−1)L_{P,z} = 6(2 - x_P) - 6(3 - y_P) = 6\,(y_P - x_P - 1)
  • (0,0)(0, 0): 6(0−0−1)=−66(0 - 0 - 1) = -6
  • (−1,1)(-1, 1): 6(1+1−1)=+66(1 + 1 - 1) = +6 ✓
  • (0,1)(0, 1): 6(1−0−1)=06(1 - 0 - 1) = 0（経路上）
  • (2,1)(2, 1): 6(1−2−1)=−126(1 - 2 - 1) = -12

因子 yP−xP−1y_P - x_P - 1 は、PP から経路までの符号つき距離の 2\sqrt{2} 倍です。したがって LP,zL_{P,z} はモーメントアーム × ∣p⃗∣=62|\vec{\mathbf{p}}| = 6\sqrt{2} で、符号は PP が経路のどちら側にあるかで決まります。同じ質点でも、点が違えば角運動量も違うのです。

正解数：0 / 4