古典力学 · 第23回 · 動画2 · インタラクティブ教材

同じ円運動、違う基準点：角運動量は円錐を描くが z 成分は変わらない

I重要な公式

公式名称意味
L⃗S=r⃗S×p⃗\vec{\mathbf{L}}_S = \vec{\mathbf{r}}_S \times \vec{\mathbf{p}}SS のまわりの角運動量質点の運動と点 SS の両方で決まる
L⃗S=mR2ωz k^=IS ω⃗\vec{\mathbf{L}}_S = mR^2\omega_z\,\hat{\mathbf{k}} = I_S\,\vec{\boldsymbol{\omega}}軌道の中心のまわり軸に沿った1本の動かない矢印。IS=mR2I_S = mR^2
L⃗S=mR2ωz k^−hmRωz r^\vec{\mathbf{L}}_S = mR^2\omega_z\,\hat{\mathbf{k}} - hmR\omega_z\,\hat{\mathbf{r}}中心から高さ hh だけ下の点のまわり軸から傾き、質点と反対の側へ向く
∣L⃗S∣=mRωzh2+R2,tan⁡ϕ=Rh|\vec{\mathbf{L}}_S| = mR\omega_z\sqrt{h^2+R^2}, \quad \tan\phi = \dfrac{R}{h}大きさと傾き大きさは一定。水平から ϕ\phi だけ上向きに立ち上がる

ポイント： 高さが入ってくるのは (h k^)×p⃗(h\,\hat{\mathbf{k}}) \times \vec{\mathbf{p}} の項だけで、k^\hat{\mathbf{k}} との外積には k^\hat{\mathbf{k}} 成分がありません。したがって、軸上のどの点 SS についても LS,z=mR2ωzL_{S,z} = mR^2\omega_z です。SS を軸に沿って動かすと、L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S の向きや、それが時間的に一定かどうかは変わりますが、zz 成分は決して変わりません。

II外積を項ごとに

r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S を R r^+h k^R\,\hat{\mathbf{r}} + h\,\hat{\mathbf{k}} に分けると、L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S は鉛直な部分と水平な部分に分かれます。

ステップ1 — 位置と運動量
r⃗S=R r^+h k^\vec{\mathbf{r}}_S = R\,\hat{\mathbf{r}} + h\,\hat{\mathbf{k}}
p⃗=mRωz θ^\vec{\mathbf{p}} = mR\omega_z\,\hat{\boldsymbol{\theta}}
ここで r^\hat{\mathbf{r}} は右向き、k^\hat{\mathbf{k}} は上向き、θ^\hat{\boldsymbol{\theta}} は紙面の奥向きです。

III1つの軌道、矢印の円錐

中心のまわりでは L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S は動きません。下の点のまわりでは、軌道を一周するごとに円錐を描いて1回まわります。

IVS を軸に沿ってずらす

SS が軸上のどこにあっても、L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S の鉛直な部分は mR2ωzmR^2\omega_z です。変わるのは水平な部分だけです。

💡 1つの質点では、L⃗S∥ω⃗\vec{\mathbf{L}}_S \parallel \vec{\boldsymbol{\omega}} となるのは中心だけです。軌道より上の点のまわりでは、L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S は +r^+\hat{\mathbf{r}} 方向、つまり質点の側へ傾きます。

V確認クイズ

問1 · 中心のまわり

条件： 質量 m=0.20 kgm = 0.20\ \text{kg} の質点が、半径 R=0.50 mR = 0.50\ \text{m} の水平な円の上を、ωz=4.0 rad/s\omega_z = 4.0\ \text{rad/s} で（上から見て）反時計回りに動いています。円の中心のまわりの角運動量の zz 成分を求めてください。

✅ 正解です！ LS,z=IS ωz=mR2ωz=(0.20)(0.50)2(4.0)=0.20 kg⋅m2/sL_{S,z} = I_S\,\omega_z = mR^2\omega_z = (0.20)(0.50)^2(4.0) = 0.20\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} です。
❌ 惜しい！ 0.40 kg⋅m/s0.40\ \text{kg}\cdot\text{m/s} は運動量 p=mRωzp = mR\omega_z です。角運動量はその RR 倍、RpRp です。
❌ 惜しい！ 質点ではちょうど IS=mR2I_S = mR^2 です。係数 12\tfrac12 がつくのは一様な円板で、1つの質点ではありません。
❌ あと一歩です。 0.050 kg⋅m20.050\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 は IS=mR2I_S = mR^2 です。ωz\omega_z をかけると LS,zL_{S,z} になります。
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中心のまわりでは、r⃗S=R r^\vec{\mathbf{r}}_S = R\,\hat{\mathbf{r}} と p⃗=mRωz θ^\vec{\mathbf{p}} = mR\omega_z\,\hat{\boldsymbol{\theta}} は垂直で、r^×θ^=k^\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}} = \hat{\mathbf{k}} なので、

L⃗S=mR2ωz k^=(0.20)(0.50)2(4.0) k^=0.20 k^ kg⋅m2/s.\vec{\mathbf{L}}_S = mR^2\omega_z\,\hat{\mathbf{k}} = (0.20)(0.50)^2(4.0)\,\hat{\mathbf{k}} = 0.20\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}.

矢印は +k^+\hat{\mathbf{k}} の向きで、どの瞬間も同じです。

問2 · 軌道より下の点

条件： 同じ質点（m=0.20 kgm = 0.20\ \text{kg}、R=0.50 mR = 0.50\ \text{m}、ωz=4.0 rad/s\omega_z = 4.0\ \text{rad/s}）で、今度は基準点 SS を、軸上で軌道の中心から距離 h=1.2 mh = 1.2\ \text{m} だけ下にとります。このとき ∣r⃗S∣=1.3 m|\vec{\mathbf{r}}_S| = 1.3\ \text{m} です。LS,zL_{S,z} を求めてください。

✅ 正解です！ SS を軸に沿って動かしても、加わるのは水平な項だけです。したがって LS,z=mR2ωz=0.20 kg⋅m2/sL_{S,z} = mR^2\omega_z = 0.20\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} で、中心のまわりとまったく同じです。
❌ 惜しい！ hmRωz=0.48hmR\omega_z = 0.48 は −r^-\hat{\mathbf{r}} 方向の水平な部分です。鉛直な部分は R r^×p⃗R\,\hat{\mathbf{r}} \times \vec{\mathbf{p}} から出てきます。
❌ 惜しい！ ∣r⃗S∣ mv=0.52|\vec{\mathbf{r}}_S|\,mv = 0.52 は大きさ ∣L⃗S∣|\vec{\mathbf{L}}_S| 全体です。矢印は傾いているので、その zz 成分はもっと小さくなります。
❌ 惜しい！ 0.077=0.20×0.501.30.077 = 0.20 \times \tfrac{0.50}{1.3} は、zz 成分をもう一度射影しています。LS,z=mR2ωzL_{S,z} = mR^2\omega_z で、hh や ∣r⃗S∣|\vec{\mathbf{r}}_S| の因子は入りません。
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r⃗S=R r^+h k^\vec{\mathbf{r}}_S = R\,\hat{\mathbf{r}} + h\,\hat{\mathbf{k}}、p⃗=mRωz θ^\vec{\mathbf{p}} = mR\omega_z\,\hat{\boldsymbol{\theta}} とすると、

L⃗S=mR2ωz k^−hmRωz r^.\vec{\mathbf{L}}_S = mR^2\omega_z\,\hat{\mathbf{k}} - hmR\omega_z\,\hat{\mathbf{r}}.

項 (h k^)×p⃗(h\,\hat{\mathbf{k}}) \times \vec{\mathbf{p}} は k^\hat{\mathbf{k}} に垂直なので、zz 成分をもつのは1つ目の項だけです。

LS,z=mR2ωz=(0.20)(0.50)2(4.0)=0.20 kg⋅m2/s.L_{S,z} = mR^2\omega_z = (0.20)(0.50)^2(4.0) = 0.20\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}.

問3 · 大きさと傾き

条件： 問2と同じ設定です（m=0.20 kgm = 0.20\ \text{kg}、R=0.50 mR = 0.50\ \text{m}、ωz=4.0 rad/s\omega_z = 4.0\ \text{rad/s}、h=1.2 mh = 1.2\ \text{m}）。∣L⃗S∣|\vec{\mathbf{L}}_S| と、L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S が水平から立ち上がる角 ϕ\phi を求めてください。

∣L⃗S∣|\vec{\mathbf{L}}_S| はいくらですか？

ϕ\phi はいくらですか？

✅ 正解です！ ∣L⃗S∣=∣r⃗S∣ mv=(1.3)(0.40)=0.52 kg⋅m2/s|\vec{\mathbf{L}}_S| = |\vec{\mathbf{r}}_S|\,mv = (1.3)(0.40) = 0.52\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} で、軸をはさんで質点と反対の側で、ϕ=arctan⁡(R/h)≈22.6°\phi = \arctan(R/h) \approx 22.6\degree だけ立ち上がります。
❌ 惜しい！ 0.20+0.480.20 + 0.48 は2つの部分を数として足していますが、2つは垂直です。三平方の定理で合成しましょう。
❌ 惜しい！ 0.48=hmRωz0.48 = hmR\omega_z は −r^-\hat{\mathbf{r}} 方向の水平な部分だけです。鉛直な部分 0.200.20 も、三平方の定理によって大きさに加わります。
❌ 惜しい！ 0.20=mR2ωz0.20 = mR^2\omega_z は LS,zL_{S,z} だけです。軌道より下の点のまわりでは水平な部分 0.480.48 もあるので、∣L⃗S∣|\vec{\mathbf{L}}_S| はもっと大きくなります。
❌ 大きさを確かめましょう。 2つの部分 0.20 k^0.20\,\hat{\mathbf{k}} と −0.48 r^-0.48\,\hat{\mathbf{r}} は垂直です。大きさは、それぞれの2乗の和の平方根です。
❌ あと一歩です。 67.4°67.4\degree は L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S ではなく r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S が水平となす角です。L⃗S⊥r⃗S\vec{\mathbf{L}}_S \perp \vec{\mathbf{r}}_S なので、L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S は、r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S が鉛直となす角だけ水平から傾きます。
❌ 角度を確かめましょう。 tan⁡ϕ=LS,z∣LS,r∣=0.200.48=Rh\tan\phi = \dfrac{L_{S,z}}{|L_{S,r}|} = \dfrac{0.20}{0.48} = \dfrac{R}{h} です。どちらの部分もゼロではないので、L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S は水平でも鉛直でもありません。
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2つの部分は LS,z=mR2ωz=0.20L_{S,z} = mR^2\omega_z = 0.20 と LS,r=−hmRωz=−(1.2)(0.20)(0.50)(4.0)=−0.48L_{S,r} = -hmR\omega_z = -(1.2)(0.20)(0.50)(4.0) = -0.48 です（どちらも単位は kg⋅m2/s\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}）。2つは垂直なので、

∣L⃗S∣=0.202+0.482=0.2704=0.52 kg⋅m2/s,|\vec{\mathbf{L}}_S| = \sqrt{0.20^2 + 0.48^2} = \sqrt{0.2704} = 0.52\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s},

これは mRωzh2+R2=(0.40)(1.3)=0.52mR\omega_z\sqrt{h^2+R^2} = (0.40)(1.3) = 0.52 と一致します。向きは、

tan⁡ϕ=−LS,zLS,r=0.200.48=Rh=0.501.2⇒ϕ≈22.6°.\tan\phi = -\frac{L_{S,z}}{L_{S,r}} = \frac{0.20}{0.48} = \frac{R}{h} = \frac{0.50}{1.2} \quad\Rightarrow\quad \phi \approx 22.6\degree.

問4 · 軌道より上の点

条件： 同じ質点が平面 z=0z = 0 内を ωz=4.0 rad/s\omega_z = 4.0\ \text{rad/s}（上から見て反時計回り）で回っています。今度は基準点を軌道より上の S=(0, 0, 1.2 m)S = (0,\,0,\,1.2\ \text{m}) にとり、この瞬間、質点は (0, 0.50 m, 0)(0,\,0.50\ \text{m},\,0) にあります。L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S を kg⋅m2/s\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} の単位で求めてください。

✅ 正解です！ SS が上にあるので、−hmRωz r^-hmR\omega_z\,\hat{\mathbf{r}} の中で h=−1.2 mh = -1.2\ \text{m} です。したがって水平な部分は +r^=+j^+\hat{\mathbf{r}} = +\hat{\mathbf{j}} の向き、つまり質点の側を向きます。LS,zL_{S,z} は変わらず 0.200.20 です。
❌ 惜しい！ それは SS が軌道の 1.2 m 下にあるときの答えです。上から測ると r⃗S\vec{\mathbf{r}}_S には −1.2 k^-1.2\,\hat{\mathbf{k}} の部分があり、これが水平な部分の符号を反転させます。
❌ 惜しい！ zz 成分は、SS が軸上のどこにあるかによりません。R r^×p⃗R\,\hat{\mathbf{r}} \times \vec{\mathbf{p}} はやはり +mR2ωz k^+mR^2\omega_z\,\hat{\mathbf{k}} を与えます。
❌ あと一歩です。 r^\hat{\mathbf{r}} は軸から質点へ向かう向きです。(0, 0.50, 0)(0,\,0.50,\,0) では、それは i^\hat{\mathbf{i}} ではなく j^\hat{\mathbf{j}} です。
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速度：v⃗=ω⃗×r⃗=4.0 k^×0.50 j^=−2.0 i^ m/s\vec{\mathbf{v}} = \vec{\boldsymbol{\omega}} \times \vec{\mathbf{r}} = 4.0\,\hat{\mathbf{k}} \times 0.50\,\hat{\mathbf{j}} = -2.0\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{m/s} なので、p⃗=−0.40 i^ kg⋅m/s\vec{\mathbf{p}} = -0.40\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{kg}\cdot\text{m/s} です。

SS からの位置：r⃗S=0.50 j^−1.2 k^\vec{\mathbf{r}}_S = 0.50\,\hat{\mathbf{j}} - 1.2\,\hat{\mathbf{k}}。j^×i^=−k^\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{k}} と k^×i^=j^\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}} = \hat{\mathbf{j}} を使って項ごとに計算すると、

L⃗S=(0.50 j^)×(−0.40 i^)+(−1.2 k^)×(−0.40 i^)=0.20 k^+0.48 j^.\vec{\mathbf{L}}_S = (0.50\,\hat{\mathbf{j}}) \times (-0.40\,\hat{\mathbf{i}}) + (-1.2\,\hat{\mathbf{k}}) \times (-0.40\,\hat{\mathbf{i}}) = 0.20\,\hat{\mathbf{k}} + 0.48\,\hat{\mathbf{j}}.

これは h=−1.2 mh = -1.2\ \text{m}、r^=j^\hat{\mathbf{r}} = \hat{\mathbf{j}} とした mR2ωz k^−hmRωz r^mR^2\omega_z\,\hat{\mathbf{k}} - hmR\omega_z\,\hat{\mathbf{r}} です。矢印は質点の側へ傾き、その zz 成分は変わりません。

正解数：0 / 4