古典力学 · 第23回 · 動画4 · インタラクティブ教材

質点系の角運動量：全体を変えるのは外部トルクだけ

I重要な公式

公式名称意味
L⃗S sys=∑jr⃗S,j×p⃗j\vec{\mathbf{L}}_S^{\,\text{sys}} = \sum_j \vec{\mathbf{r}}_{S,j}\times\vec{\mathbf{p}}_j系の角運動量各粒子の寄与のベクトルの和。すべて同じ点 SS のまわりで考える
τ⃗S ext=dL⃗S sysdt\vec{\boldsymbol{\tau}}_S^{\,\text{ext}} = \dfrac{d\vec{\mathbf{L}}_S^{\,\text{sys}}}{dt}系に対するトルクと角運動量の関係式SS のまわりの全体を変えるのは、SS のまわりの外部トルクだけ
L⃗S=2mR2ωzk^=ISω⃗\vec{\mathbf{L}}_S = 2mR^2\omega_z\hat{\mathbf{k}} = I_S\vec{\boldsymbol{\omega}}円周上の対称な二粒子動径方向の部分 ∓hmRωzr^\mp hmR\omega_z\hat{\mathbf{r}} は、どの高さ hh でも打ち消し合う
L⃗A=L⃗B+r⃗A,B×p⃗sys\vec{\mathbf{L}}_A = \vec{\mathbf{L}}_B + \vec{\mathbf{r}}_{A,B}\times\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}}基準点の変更p⃗sys=0⃗\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = \vec{\mathbf{0}} なら、L⃗\vec{\mathbf{L}} はどの点のまわりでも同じ

ポイント： 内部トルクが対ごとに打ち消し合うのは、内力の各対が大きさが等しく逆向きで、しかも2つの粒子を結ぶ直線の向きにはたらくからです。大きさが等しく逆向きというだけでは足りません。その直線からずれた2つの力は偶力をつくり、そのトルクはどの点のまわりでも同じ、0でないベクトルになります。

II可視化1 — 2つの円錐と、変わらない合計

各粒子の SS のまわりの角運動量は円錐を描きますが、対称な二粒子の合計は軸の上に固定されたままです。

III可視化2 — 内部トルクが打ち消し合う理由

大きさが等しく逆向きの内力のトルクの合計が0になるのは、2つの力が粒子を結ぶ直線の向きにもはたらくときだけです。

IV可視化3 — 基準点を変える

基準点を BB から AA に移すと r⃗A,B×p⃗sys\vec{\mathbf{r}}_{A,B}\times\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} が加わり、この項は p⃗sys=0⃗\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = \vec{\mathbf{0}} のとき消えます。

💡 3次元で基準点を円の中心から軸に沿って SS まで下ろすと r⃗A,B=hk^\vec{\mathbf{r}}_{A,B} = h\hat{\mathbf{k}} です。粒子1つなら、余分な項 hk^×mRωzθ^=−hmRωzr^h\hat{\mathbf{k}}\times mR\omega_z\hat{\boldsymbol{\theta}} = -hmR\omega_z\hat{\mathbf{r}} がちょうどその傾きになります。二粒子では p⃗sys=0⃗\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = \vec{\mathbf{0}} なので、傾きは現れません。

V確認クイズ

問1 · 対称な二粒子

条件： 質量がそれぞれ m=2 kgm = 2\ \text{kg} の2つの粒子が、直径の両端に位置しながら、zz 軸のまわりの半径 R=0.5 mR = 0.5\ \text{m} の円の上を ωz=3 rad/s\omega_z = 3\ \text{rad/s} で運動しています。円は原点 SS より h=0.4 mh = 0.4\ \text{m} 上にあります。この二粒子の SS のまわりの角運動量の大きさを求めてください。

✅ 正解です！ 動径方向の部分が打ち消し合い、hh によらない L⃗S=2mR2ωzk^=3.0 k^ kg⋅m2/s\vec{\mathbf{L}}_S = 2mR^2\omega_z\hat{\mathbf{k}} = 3.0\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} が残ります。
❌ 惜しい！ mR2ωz=1.5mR^2\omega_z = 1.5 は1つの粒子の角運動量の鉛直な部分です。二粒子なので2つ分あります。
❌ 惜しい！大きさを足しています。 ∣L⃗S,1∣+∣L⃗S,2∣=3.84|\vec{\mathbf{L}}_{S,1}| + |\vec{\mathbf{L}}_{S,2}| = 3.84 は、傾いた2つのベクトルが別々の向きを向いていることを無視しています。ベクトルの和では、水平な部分が打ち消し合います。
❌ 惜しい！ 5.4=3.0+2(1.2)5.4 = 3.0 + 2(1.2) は、2つの動径方向の項を鉛直な部分にただの数として足しています。r^1=−r^2\hat{\mathbf{r}}_1 = -\hat{\mathbf{r}}_2 なので、動径方向の項 −hmRωzr^1-hmR\omega_z\hat{\mathbf{r}}_1 と −hmRωzr^2-hmR\omega_z\hat{\mathbf{r}}_2 は逆向きで、足し合わされるのではなく打ち消し合います。そもそも、水平な部分を鉛直な部分にそのまま足すことはできません。
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各粒子について r⃗S,j=Rr^j+hk^\vec{\mathbf{r}}_{S,j} = R\hat{\mathbf{r}}_j + h\hat{\mathbf{k}}、p⃗j=mRωzθ^j\vec{\mathbf{p}}_j = mR\omega_z\hat{\boldsymbol{\theta}}_j なので、

L⃗S,j=mR2ωzk^−hmRωzr^j.\vec{\mathbf{L}}_{S,j} = mR^2\omega_z\hat{\mathbf{k}} - hmR\omega_z\hat{\mathbf{r}}_j.

足し合わせると、r^1=−r^2\hat{\mathbf{r}}_1 = -\hat{\mathbf{r}}_2 なので動径方向の項は打ち消し合います。

L⃗S=2mR2ωzk^=2(2)(0.5)2(3) k^=3.0 k^ kg⋅m2/s.\vec{\mathbf{L}}_S = 2mR^2\omega_z\hat{\mathbf{k}} = 2(2)(0.5)^2(3)\,\hat{\mathbf{k}} = 3.0\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}.

高さ h=0.4 mh = 0.4\ \text{m} は打ち消し合った項にしか現れないので、答えに影響しません。これは IS=2mR2=1.0 kg⋅m2I_S = 2mR^2 = 1.0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 としたときの ISωzI_S\omega_z です。

問2 · 大きさが等しく逆向きというだけでは足りない

条件： 粒子1は (1,0) m(1, 0)\ \text{m}、粒子2は (3,0) m(3, 0)\ \text{m} にあります。仮に、内力が大きさが等しく逆向きでも、2つを結ぶ直線に垂直だったとします。粒子1には F⃗2,1=2 j^ N\vec{\mathbf{F}}_{2,1} = 2\,\hat{\mathbf{j}}\ \text{N}、粒子2には F⃗1,2=−2 j^ N\vec{\mathbf{F}}_{1,2} = -2\,\hat{\mathbf{j}}\ \text{N} がはたらきます。原点のまわりの内部トルクの合計を求めてください。

✅ 正解です！ この対は偶力で、どの点のまわりでも (r⃗1−r⃗2)×F⃗2,1=−4 k^ N⋅m(\vec{\mathbf{r}}_1 - \vec{\mathbf{r}}_2)\times\vec{\mathbf{F}}_{2,1} = -4\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{N}\cdot\text{m} です。内部トルクが打ち消し合うのは、力が結ぶ直線の向きにはたらくときだけです。
❌ 惜しい！ 大きさが等しく逆向きというだけでは足りません。トルクが打ち消し合うのは、2つの力が粒子を結ぶ直線の上にもあり、1本の作用線を共有するときだけです。
❌ 符号を確かめましょう。 τ1,z=x1Fy=(1)(2)=2\tau_{1,z} = x_1F_y = (1)(2) = 2、τ2,z=x2Fy=(3)(−2)=−6\tau_{2,z} = x_2F_y = (3)(-2) = -6 です。遠いほうの粒子のトルクが勝ちます。
❌ 惜しい！ 2つの力は逆向きなので、トルクの符号も逆です。−2−6-2 - 6 ではなく 2+(−6)2 + (-6) です。
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平面内では τz=xFy−yFx\tau_z = xF_y - yF_x です。2つの粒子について：

τ1,z=(1)(2)−(0)(0)=2 N⋅m,τ2,z=(3)(−2)−(0)(0)=−6 N⋅m.\tau_{1,z} = (1)(2) - (0)(0) = 2\ \text{N}\cdot\text{m},\qquad \tau_{2,z} = (3)(-2) - (0)(0) = -6\ \text{N}\cdot\text{m}. τ⃗ int=(2−6) k^=−4 k^ N⋅m.\vec{\boldsymbol{\tau}}^{\,\text{int}} = (2 - 6)\,\hat{\mathbf{k}} = -4\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{N}\cdot\text{m}.

一般に τ⃗ int=(r⃗1−r⃗2)×F⃗2,1=(−2 i^)×(2 j^)=−4 k^\vec{\boldsymbol{\tau}}^{\,\text{int}} = (\vec{\mathbf{r}}_1 - \vec{\mathbf{r}}_2)\times\vec{\mathbf{F}}_{2,1} = (-2\,\hat{\mathbf{i}})\times(2\,\hat{\mathbf{j}}) = -4\,\hat{\mathbf{k}} で、これは基準点によりません。これが0になるのは F⃗2,1\vec{\mathbf{F}}_{2,1} が r⃗1−r⃗2\vec{\mathbf{r}}_1 - \vec{\mathbf{r}}_2 に平行なときだけです。トルクと角運動量の関係式で内力が中心力であることが必要なのは、このためです。

問3 · 基準点から生まれる傾き

条件： 質量 m=0.5 kgm = 0.5\ \text{kg} の粒子が1つ、軸上の点 SS より h=0.3 mh = 0.3\ \text{m} 上の平面内で、zz 軸のまわりの半径 R=0.4 mR = 0.4\ \text{m} の円の上を ωz=5 rad/s\omega_z = 5\ \text{rad/s} で運動しています。L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S の水平な部分（基準点を円の中心から SS まで下ろしたことで加わる余分な項）と、大きさ ∣L⃗S∣|\vec{\mathbf{L}}_S| を求めてください。

L⃗S\vec{\mathbf{L}}_S の水平な部分の大きさは？

大きさ ∣L⃗S∣|\vec{\mathbf{L}}_S| は？

✅ 正解です！ L⃗S=0.4 k^−0.3 r^\vec{\mathbf{L}}_S = 0.4\,\hat{\mathbf{k}} - 0.3\,\hat{\mathbf{r}} で、3-4-5 の直角三角形になり、大きさは 0.5 kg⋅m2/s0.5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} です。
❌ 余分な項を確かめましょう。 それは hk^×mRωzθ^=−hmRωzr^h\hat{\mathbf{k}}\times mR\omega_z\hat{\boldsymbol{\theta}} = -hmR\omega_z\hat{\mathbf{r}} です。粒子1つの運動量は0ではないので、この項は消えません。
❌ それは鉛直な部分です。 mR2ωz=0.4mR^2\omega_z = 0.4 は円の中心のまわりの L⃗B\vec{\mathbf{L}}_B です。水平な部分は余分な項 hmRωzhmR\omega_z です。
❌ 惜しい！大きさを足しています。 鉛直な部分と水平な部分は垂直なので、足すのではなく三平方の定理で合成します。
❌ 大きさを確かめましょう。 互いに垂直な、鉛直な部分 mR2ωzmR^2\omega_z と水平な部分 hmRωzhmR\omega_z を合成します。
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円の中心 BB のまわりでは、角運動量は鉛直な成分だけです：L⃗B=mR2ωzk^=(0.5)(0.4)2(5) k^=0.4 k^\vec{\mathbf{L}}_B = mR^2\omega_z\hat{\mathbf{k}} = (0.5)(0.4)^2(5)\,\hat{\mathbf{k}} = 0.4\,\hat{\mathbf{k}}。

基準点を SS に移すと（A=SA = S、r⃗A,B=hk^\vec{\mathbf{r}}_{A,B} = h\hat{\mathbf{k}}）、次の項が加わります。

hk^×mRωzθ^=−hmRωzr^=−(0.3)(0.5)(0.4)(5) r^=−0.3 r^.h\hat{\mathbf{k}}\times mR\omega_z\hat{\boldsymbol{\theta}} = -hmR\omega_z\hat{\mathbf{r}} = -(0.3)(0.5)(0.4)(5)\,\hat{\mathbf{r}} = -0.3\,\hat{\mathbf{r}}.

したがって L⃗S=0.4 k^−0.3 r^\vec{\mathbf{L}}_S = 0.4\,\hat{\mathbf{k}} - 0.3\,\hat{\mathbf{r}} で、

∣L⃗S∣=0.42+0.32=0.5 kg⋅m2/s.|\vec{\mathbf{L}}_S| = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = 0.5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}.

検算：r⃗S⊥p⃗\vec{\mathbf{r}}_S \perp \vec{\mathbf{p}} なので、∣r⃗S∣∣p⃗∣=0.42+0.32 (0.5)(0.4)(5)=(0.5)(1.0)=0.5|\vec{\mathbf{r}}_S||\vec{\mathbf{p}}| = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2}\,(0.5)(0.4)(5) = (0.5)(1.0) = 0.5 です。

問4 · 回転しながら動く二粒子

条件： 1 kg1\ \text{kg} の質量2つからなるダンベルが空中を飛んでいます。ある瞬間、その質量中心 BB は点 AA から r⃗A,B=4 j^ m\vec{\mathbf{r}}_{A,B} = 4\,\hat{\mathbf{j}}\ \text{m} の位置にあって速度 3 i^ m/s3\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{m/s} で動いており、BB のまわりの角運動量は L⃗B=2 k^ kg⋅m2/s\vec{\mathbf{L}}_B = 2\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} です。L⃗A\vec{\mathbf{L}}_A を求めてください。

✅ 正解です！ L⃗A=2 k^+(4 j^)×(6 i^)=2 k^−24 k^=−22 k^\vec{\mathbf{L}}_A = 2\,\hat{\mathbf{k}} + (4\,\hat{\mathbf{j}})\times(6\,\hat{\mathbf{i}}) = 2\,\hat{\mathbf{k}} - 24\,\hat{\mathbf{k}} = -22\,\hat{\mathbf{k}} です。
❌ 惜しい！ L⃗\vec{\mathbf{L}} がどの点のまわりでも同じになるのは、p⃗sys=0⃗\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = \vec{\mathbf{0}} のときだけです。このダンベルは動いているので p⃗sys=6 i^ kg⋅m/s\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = 6\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{kg}\cdot\text{m/s} となり、余分な項が残ります。
❌ 外積を確かめましょう。 j^×i^=−k^\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{k}} で、+k^+\hat{\mathbf{k}} ではありません。
❌ 運動量を確かめましょう。 p⃗sys\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} には全質量 2 kg2\ \text{kg} を使います：p⃗sys=(2)(3) i^=6 i^\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = (2)(3)\,\hat{\mathbf{i}} = 6\,\hat{\mathbf{i}}。
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系の運動量は p⃗sys=Mv⃗cm=(2 kg)(3 i^ m/s)=6 i^ kg⋅m/s\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = M\vec{\mathbf{v}}_{\text{cm}} = (2\ \text{kg})(3\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{m/s}) = 6\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{kg}\cdot\text{m/s} です。

L⃗A=L⃗B+r⃗A,B×p⃗sys=2 k^+(4 j^)×(6 i^)\vec{\mathbf{L}}_A = \vec{\mathbf{L}}_B + \vec{\mathbf{r}}_{A,B}\times\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = 2\,\hat{\mathbf{k}} + (4\,\hat{\mathbf{j}})\times(6\,\hat{\mathbf{i}}) =2 k^+24(j^×i^)=2 k^−24 k^=−22 k^ kg⋅m2/s.= 2\,\hat{\mathbf{k}} + 24(\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}}) = 2\,\hat{\mathbf{k}} - 24\,\hat{\mathbf{k}} = -22\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}.

質量中心のまわりのスピンは、質量中心が AA のそばを通り過ぎることによる「軌道」の項に比べて小さいので、L⃗A\vec{\mathbf{L}}_A は逆向きを向いてしまいます。

正解数：0 / 4